2019年徐州中考数学专题复习-题型六 二次函数综合题课件

不在坐标轴上的顶点作坐标轴
的垂线
【温馨提示】求四边形的面积时，先判断四边形是否为规则四边形．①规
则四边形直接用面积公式求解；②不规则的四边形用分割法求解．
2. 面积倍数关系：先求出其中一个图形面积，再用含未知数的式子表示
所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；
或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程
∵点P与点C不重合，
∴xP≠0.
∴满足条件的点P有3个，坐标分别为(1＋ 7 ，3)或(1－ 7 ，3)或(2，
－3)；
(3)连接BM，CM，求△BCM的面积；
【思维教练】要求△BCM的面积，可将△BCM的面积转化为求两个同底三
角形的面积和．过点M作MN⊥x轴交BC于点N，求得N点坐标，即可求得
面积，而N点坐标通过直线BC解析式可得；
2. 求线段和的最小值或周长最小值时不妨先联想到用“对称性质”，把要求
的某些线段集中在一起，根据“两点之间线段最短”来解决．有以下两种模
型：
(1)一线两点型(如图①)
已知一直线及直线同侧两点，在直线上找一点使其到已知两点的距离的和
最小，通常作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线
的交点即为所求点．
1 2 5 1 ∴MH＝－ 2 m ＋ 2 m－2－ 2 m＋2 1 ＝－ 2 m2＋2m ＝－ 1 (m－2)2＋2， 2
1 2
m2＋
5 2
1 m－2)，点H坐标为(m，2
m－2)，
∴当m＝2时，MH有最大值，最大值为2；
(3)设点G是y轴上一点，点D是抛物线的顶点，是否存在点G，使得GD＋
GB的值最小；若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
第二部分 徐州中考重难题型研究
二、解答重难题型研究
题型六 二次函数综合题
类型一 线段最值问题
满分技法 1. 解决线段最值问题的方法： 首先设出关键点的坐标(通常是一个跟所求线段关系紧密的点)，通过
题目中的函数和图形关系，用该点的坐标表示出有关线段的长，通过二次
函数的性质求最值，进而得到线段的最大值或最小值．
线上，
设直线l与直线BC平行，则直线l的解析式可设为y＝x＋t，
①当直线l过点M时，则－4＝1＋t， 解得t＝－5，∴此时直线l的解析式为y＝x－5，
与抛物线y＝x2－2x－3联立，
得x2－3x＋2＝0，
解得x＝2或x＝1(舍)，
则此时点P1的坐标为(2，－3)；
②当直线l不过点M，如解图②，设直线l与抛
满分技法
1. 面积最值问题： 描述 三角形有一条边在坐标轴上： 以在坐标轴上的边为底边，过 顶点作垂线 S△ABC＝ AB· |yC|
1 2
图形
面积表示
三角形的边都不在坐标轴上：
过某顶点作平行于坐标轴的直
1 S△PAC＝ 2
PP′·|xC－xA|
线(应用最多)
四边形有两边在坐标轴上：过 S四边形COBP＝S四边形EOBP＋ S△CEP
∵点B与点A关于抛物线对称轴对称，
∴直线AC与抛物线对称轴的交点即为所求的点F，
如解图②所示，连接AC、BF，
例1题解图②
5 1 将x＝ 2 代入直线AC的解析式y＝ 2 1 5 3 得y＝ 2 × 2 －2＝－ 4 ， 5 3 ∴点F的坐标为( 2 ，－ 4 )，
x－2中，
在Rt△AOC中，AO＝4，OC＝2，根据勾股定理得AC＝2 5 ，
1 ＝2 1 ＝ 2
· BO· MN
×3×2＝3；
例2题解图①
(4)已知点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使得S△BCP＝S△BCM？若存
在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；
【思维教练】△BCP与△BCM同底，要使其面积相等，等高即可，由
△BCM为直角三角形可知CM的长为高，即作一条平行于BC且到BC的距离
图①
(2)两线一点型(如图②)
已知两直线及两直线之间的一点，在两直线
上分别找一点使其与已知点顺次连接的线段
和(三角形周长)最小，通常分别作该点关于
两直线的对称点，连接两对称点，与两条直
线的交点即为满足条件的点．
图②
3. 更多内容详见P53～P54方法突破精讲练——垂线段最短，P107～P108
方法突破精讲练——对称问题．
典例精讲
例1 如图，对称轴为直线x＝
5 2
的抛物线与x轴交于点A，B(1，0)，与y轴
交于点C(0，－2)． (1)求抛物线的解析式； 【思维教练】要求抛物线的解析式，可先设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx ＋c，利用对称轴及B点坐标可求A点坐标，
从而将A、B、C三点坐标代入抛物线解析式
求解即可．
等于CM的长的直线，与抛物线的交点即为P点．
分两种情况讨论：①P点在BC下方，此时直线
过M点；②P点在BC上方；
例2题图④
解：存在．
∵C(0，－3)，B(3，0)，M(1，－4)，
∴MC＝ 2 ，BC＝3 2，MB＝2 5，
∴MC2＋BC2＝MB2，∴△MBC是直角三角形，
要使S△BCM＝S△BCP，则点P在平行于BC，且到BC的距离等于MC的长的直
，
∴抛物线的解析式为y＝－
1 2
x2＋
5 2
x－2；
(2)M为第一象限内抛物线上的一点，过点M作MG⊥x轴于点G，交直线AC
于点H，求线段MH的最大值；
【思维教练】由点A、C的坐标易得直线AC的解析式，然后设出点M和点
H的坐标，表示出MH的长度，根据二次函数的性质即可求出线段MH的最
大值．
例1题图②
的值最小，由点A、B关于抛物线的对称轴对称可知，AC与抛物线的对称
轴的交点即为所求点，此时可使得CF＋BF最小．
例1题图④
解：存在，要使△FBC的周长最小，即BC＋BF＋CF的值最小．
在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，
由勾股定理得BC＝ OB2 OC 2 5 ，为定值，
∴只需BF＋CF最小，
解：设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵A(4，0)，C(0，－2)，
将其代入y＝kx＋b(k≠0)中得，
1 4k b 0 ，解得 k 2 b 2 b 2
，
∴直线AC的解析式为y＝
1 2
x－2，
∵点M在抛物线上，点H在直线AC上，
∴设点M坐标为(m，－
例2题解图②
物线的交点为点P2，过点P2作P2T⊥BC于点T，作P2S∥AB交BC于点S，
∵P2S∥AB，∴∠P2ST＝∠ABC＝45°，
又∵P2T⊥l，∴∠TP2S＝45°， ∴△P2TS是等腰直角三角形，TS＝P2T＝MC＝ 2 ，
∴P2S＝2，
例2题图①
(2)若点P是抛物线上不同于点C的一点，S△ABC＝S△ABP，求点P的坐标；
【思维教练】△ABC与△ABP同底，要使其面积相等，等高即可，即P点
纵坐标的绝对值等于OC的长，列方程即可得到，从而可得点P的坐标；
例2题图②
解：令y＝x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4，
3 ∴直线AD的解析式为y＝－ 4 x＋3， 4 则直线CP的解析式为y＝ 3 x－2，
4 y x2 3 联立方程组得， y 3 x 3，解得 12 6 4 即J( ， )，
5
12 x 5 y 6 ， 5
5
∴CJ＝
2 2 3 12 6 2 ＝4，∴ 5 5 5
【思维教练】求线段和的最小值，解决办法为找其中一点的对称点，将两
条直线段转化为一条线段求解．
例1题图③
解：存在，如解图①，设点B关于y轴的对称点为B′，
连接B′D，直线B′D与y轴的交点即为所求的点G，此时GD＋GB最小．
设直线B′D的解析式为y＝k1x＋d(k1≠0)，
1 2 5 1 5 2 9 ∵y＝－ 2 x ＋ 2 x－2＝－ 2 (x－ 2 ) ＋ 8 ， 5 9 5 9 ∴D( 2 ， ) ，将 B ′( － 1 ， 0) 、 D ( ， ) 分别代入得， 8 2 8 9 k1 d 0 k 1 28 5 9 9 ， k d 1 ，解得 d 8 2 28
∴△BCF周长的最小值为BC＋AC＝ 5 ＋2 5 ＝3 5 ；
(5)设抛物线的顶点为D，若点P为x轴上一点，则
4 ________.
3 5
PA＋PC的最小值＝
【思维教练】连接AD，过点C作CJ⊥AD于点J，根据直角三角函数关系可
将
3 5
PA转化为PJ的长度，所以
3 5
3 5
PA＋PC＝PJ＋PC＝CJ，根据垂线段最
例1题图①
解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∵抛物线的对称轴为直线x＝
5 2
，抛物线与x轴交于点B(1，0)，
∴A(4，0)，
∴将A(4，0)、B(1，0)、C(0，－2)三点代入抛物线解析式得，
1 a 16a 4b c 0 2 ，解得 5 a b c 0 b c 2 2 c 2
求解．
典例精讲
例2 如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a－4与x轴交于A，B两点(A在B的左
侧)，交y轴于点C(0，－3)，顶点为M，连接CB.
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
【思维教练】要求抛物线的解析式，即要求a值，将点C(0，－3)代入解析
式可得；要求顶点M坐标，把一般式化为顶点式即可求解； 解：(1)将C(0，－3)代入抛物线y＝ax2－2ax＋a－4中， 得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，化为顶 点式为y＝(x－1)2－4，∴顶点M的坐标为(1，－4)；
∵C(0，－3)，∴OC＝3，
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵S△ABC＝S△ABP，
∴ AB· OC＝
1 2
1 2
AB· |yP|，
∴yP＝3或yP＝－3，
①当yP＝3时，x2－2x－3＝3，
解得x1＝1＋ 7 ，x2＝1－ 7 ，
②当yP＝－3时，x2－2x－3＝－3，
解得x3＝0，x4＝2，
例2题图③
解：设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点坐标代入，
得
3k b 0 k 1 ，解得 b 3 b 3
，
∴直线BC的解析式为y＝x－3.
如解图①，过M作MN⊥x轴交BC于点N，则点N的坐标为(1，－2)，
∵BO＝3，MN＝2，
∴S△BCM＝S△BNM＋S△CMN
时，CN的长度最大，
5 2 9 ，8
∵D(
)，
9 8
∴圆D的半径为
2
，
2
∴CD＝

5 41 5 9 2 8 2 8
5 41 9 ＋ 8 8
，
5 41 9 ＝ 8
∴CN＝CD＋DQ＝
.
类型二 面积问题
(2018.27(2)，2015.28(3)，2013.28(3)，2011.28(2)，2010.28(3))
PA＋PC的最小值为4；
(6)设抛物线的顶点为D，以D为圆心的圆与x轴相切于点Q.若点N为圆上一
5 41 9 动点，则CN的最大值＝________ ． 8
【思维教练】当C、D、N三点共线时，CN有最值，根据线段关系CN＝
CD＋DN即可求出CN的最大值．
例1题图⑥
【解法提示】根据题意可知，当C、D、N三点共线，且N在CD的延长线上
3 ＝2 3 5
，
∴sin∠PAJ＝sin∠DAK＝
，
PA，∴
PA＋PC＝PJ＋PC＝CJ，
PA＋PC的最小值为CJ，
例1题解图③
3 根据垂线段最短可知 5
设直线AD的解析式为y＝mx＋n，
将A(4，0)，D(，)分别代入得，
4m n 0 3 m 9 5 4 m n ，解得 n 3 ， 8 2
∴直线B′D的解析式为y＝
9 9 令x＝0，得y＝ ，∴点G的坐标为(0， )； 28 28
9 x＋ 28
9 ， 28
例1题解图①
(4)设点F在抛物线对称轴上，△FBC的周长是否存在最小值？若存在，
求出最小值，并求出此时点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】因为BC长为定值，要使△FBC的周长最小，即要使CF＋BF
短即可确定
PA＋PC的最小值．
例1题图⑤
【解法提示】由(3)得顶点D的坐标为(
5 9 ， 2 8
)，
如解图③，连接AD，过C作CJ⊥AD于点J，交x轴于点P，设抛物线对称轴
与x轴交于点K，则DK⊥AB，
∵DK＝
9 8
，AK＝4－
∴tan∠DAK＝
3 ∴PJ＝ 5
DK 3 ， AK 4
3 5
5 2