2021年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程检测题(A)北师大版选修2-1

2021年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程检测题（A ）北师大版选修2-1
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知双曲线x 2a 2－y 2
5＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A ．31414
B ．324
C ．32
D ．43
[答案] C
[解析] 本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题． 由双曲线的右焦点(3,0)知c ＝3，即c 2＝9， 又c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2.
∴离心率e ＝c a ＝3
2
.
关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a 2
和b 2
，若所给方程为x 2a －y 2
5
＝1，很多
同学易出现把a 和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误．
2．已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
[答案] D
[解析] 由题意，得m －2>10－m ，且10－m >0，于是6<m <10.再由(m －2)－(10－m )＝22
，得m ＝8.
3．抛物线y 2
＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3
B ．2
C ． 3
D ．1
[答案] D
[解析] 由y 2
＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12
＋
－3
2
＝1.
4．(xx·浏阳高二检测)如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，
e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )
A ．e 1＜e 2＜e 4＜e 3
B ．e 1＜e 2＜e 3＜e 4
C ．e 2＜e 1＜e 3＜e 4
D ．e 2＜e 1＜e 4＜e 3
[答案] A
5．若直线l 过点(3,0)与双曲线4x 2
－9y 2
＝36只有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
[答案] C
[解析] 双曲线为x 29－y 2
4＝1，焦点在x 轴上，(3,0)为双曲线右顶点，故过(3,0)有3
条直线与双曲线只有一个公共点．
6．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M 、
O 、N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A ．3
B ．2
C ． 3
D ． 2
[答案] B
[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e 的求法．设椭圆长轴长为2a ，则双曲线
实半轴长为2a 4＝a 2，所以离心率的比值e 1e 2＝c a
2
c
a
＝2.
对于圆锥曲线要熟练掌握椭圆和双曲线的异同点．
7．(xx·长春市期末调研)经过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点，倾斜角为60°的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为( )
A ．2
B ． 3
C ． 2
D ． 5
[答案] A
[解析] 由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，
∴b a
＝tan60°＝3，∴b ＝3a ，代入a 2＋b 2＝c 2中得4a 2＝c 2，∴e 2
＝4，∵e>1，∴e ＝2，故选A ．
8．若直线y ＝2(x －1)与椭圆x 25＋y 2
4＝1交于A 、B 两点，则|AB |＝( )
A ．53
B ．
53 C ．55
3
D ．
33 [答案] C
[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －1x 25＋y
2
4
＝1消去y 整理得3x 2
－5x ＝0，
∴x 1＝0，x 2＝53，∴y 1＝－2，y 2＝4
3.
∴|AB |＝
x 1－x 2
2
＋y 1－y 22
＝
5
3
5. 9．(xx·江西文)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相
交于A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A ．x 24－y 2
12＝1
B ．x 27－y 29＝1
C ．x 28－y 2
8
＝1
D ．
x 2
12
－y 2
4
＝1
[答案] A
[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝b a
x (也可设为y ＝－b a
x )，
由题意知，以F 的半径的圆过点O ，A ， ∴|FA |＝|FO |＝r ＝4.
∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝b a
x 的交点， ∴可求得A 点坐标为A (a ，b )．
∴在Rt △ABO 中，|OA |2
＝OB 2
＋AB 2
＝a 2
＋b 2
＝c ＝|OF |＝4，
∴在△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23，
∴双曲线的方程为x 24－y 2
12
＝1，故选A ．
解答本题关键是要找出A 与O 、B 、F 连线的几何关系．
10．点P 在椭圆7x 2
＋4y 2＝28上，则点P 到直线3x －2y －16＝0的距离的最大值为( ) A ．1213
13 B ．
1613
13 C ．2413
13
D ．
2813
13
[答案] C
[解析] 利用数形结合法，设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为l ：y ＝3
2x ＋b ，与
椭圆方程联立消一元后，令Δ＝0可求得b ＝±4，然后求直线l 与3x －2y －16＝0的距离即得所求的最大值．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．椭圆x 24＋y 2
3＝1的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使∠F 1PF 2＝90°的点P 有
________________个．
[答案] 0
[解析] 设a >b >0，c ＝a 2
－b 2
，以O 为圆心，以c 为半径画圆；当c <b 时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c ＝b 时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当c >b 时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a 2
＝4，b 2
＝3，∴c ＝1，b ＝3，因此这样的点P 不存在．
12．在△ABC 中，已知|BC |＝8，则满足|sin C －sin B |＝1
2sin A 的动点A 的轨迹方程是
__________________．
[答案]
x 2
4
－
y 2
12
＝1(y ≠0) [解析] 由正弦定理得：
||AB |－|AC ||＝4<|BC |，据定义可得．
A 点的轨迹为双曲线(除掉顶点)
由题意知2a ＝4，∴a 2
＝4
2c ＝8，∴c 2
＝16，∴b 2
＝c 2
－a 2
＝12， ∴方程为x 24－y 2
12
＝1(y ≠0)．
13．椭圆C 1：x 24＋y 2
3＝1的左准线是l ，左、右焦点分别是F 1、F 2，抛物线C 2的准线也
是l ，一个焦点为F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2|的值等于____________________．
[答案]
83
[解析] P 是椭圆上的点，则|PF 2|e 1＝|PF 2|
1
2＝2|PF 2|＝P 到椭圆右准线的距离，P 是抛物
线上的点，
则|PF 2|＝P 到左准线l 的距离，
∴|PF 2|＋2|PF 2|＝2·a 2c ＝8，∴|PF 2|＝8
3
.
14．若椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2
＝1有相同的焦点，
则该椭圆的方程为__________________．
[答案]
x 24
＋y 2
2
＝1 [解析] 双曲线x 2
－y 2
＝1的焦点为(－2，0)(2，0)，所以由条件知a 2
－b 2
＝2① 又∵抛物线的焦点为(2,0)∴a ＝2，∴a 2
＝4，b 2
＝2， ∴椭圆方程x 24＋y 2
2
＝1.
15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，
连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝4
5
，则C 的离心率e ＝________________.
[答案]
57
[解析] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题． 在△ABF 中，由余弦定理得，
cos ∠ABF ＝|AB |2
＋|BF |2
－|AF |2
2|AB |·|BF |
，∴|BF |2
－16|BF |＋64＝0，∴|BF |＝8，设右焦点为
F 1，
因为直线过原点，∴|BF 1|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF 1|＝14，∴a ＝7， ∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点， ∴|OF |＝12|AB |＝5，∴c ＝5，∴e ＝5
7
.
三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知中心在坐标原点的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若平行于OA 的直线l 与椭圆有公共点，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．
[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，代入点A (2,3)，4a 2＋9a 2－4
＝1，解得a 2
＝16.
∴椭圆方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)设直线l 的方程y ＝32x ＋b ，代入x 2
16＋y
2
12＝1，
得3x 2
＋3bx ＋b 2
－12＝0，Δ＝(3b )2
－12(b 2
－12)≥0， ∴－43≤b ≤4 3.
17．已知圆C ：x 2
＋(y －3)2
＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程． [解析] 解法一：(直接法)
如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°.
设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2
＋|QC |2
＝|OC |2
， 即x 2
＋y 2
＋[x 2
＋(y －3)2
]＝9， 所以x 2
＋(y －32)2＝94(去掉原点)．
解法二：(定义法)
如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2
＋(y －32)2＝94
(去掉原点)．
解法三：(代入法)
设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意得，
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 12，y ＝y 1
2，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝2x ，
y 1＝2y .
又因为x 2
1＋(y 1－3)2
＝9， 所以4x 2
＋4(y －32)2＝9，
即x 2
＋(y －32)2＝94
(去掉原点)．
18．(xx·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0<b <1)的左、右焦
点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．
(1)求|AB |.
(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3.
(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2
，
设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ＋c ，x 2＋y 2
b 2＝1，
消去y 化简得(1＋b 2
)x 2
＋2cx ＋1－2b 2
＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b
2
1＋b
2.
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即4
3＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2 ＝41－b
2
1＋b
2
2
－
4
1－2b
2
1＋b
2
＝8b 4
1＋b
2， 解得b ＝
22
. 19．已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，
点A 关于x 轴的对称点为D ．
(1)证明：点F 在直线BD 上； (2)设FA →·FB →＝8
9
，求直线l 的方程．
[解析] 设直线l 与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点D 的坐标为(x 1，－y 1)，由题意得l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)．
(1)证明：将x ＝my －1代入y 2
＝4x 并整理，得y 2
－4my ＋4＝0， 从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4.① 直线BD 的方程为y －y 2＝
y 2＋y 1
x 2－x 1
·(x －x 2)， 即y －y 2＝4y 2－y 1·(x －y 2
24)．令y ＝0，得x ＝y 1y 2
4＝1.
所以点F (1,0)在直线BD 上． (2)由①，知
x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.
因为FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →
＝(x 2－1，y 2)，
所以FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2
， 故8－4m 2
＝89，解得m ＝±43
.
所以l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.
20．(xx·新课标Ⅰ理)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，F
是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为
23
3
，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． [解析] (1)设F (c,0)， 由条件知，2c ＝23
3，得c ＝ 3.
又c a ＝
32
，所以a ＝2，b 2－a 2－c 2
＝1. 故E 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)当l ⊥x 轴时不合题意，
故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
将y ＝kx －2代入x 2
4＋y 2
＝1得
(1＋4k 2
)x 2
－16kx ＋12＋0. 当Δ＝16(4k 2
－3)>0， 即k 2
>34时，x 1,2＝8k ±24k 2
－34k 2
＋1
从而|PQ |＝k 2
＋1|x 1－x 2|
＝k 2＋1·4k 2－34k 2
＋1
. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝
2
k 2＋1
，
所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2
－3
4k 2
＋1. 设4k 2
－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝
4t t 2
＋4＝4
t ＋
4
t
. 因为t ＋4
t
≥4，当且仅当t ＝2，
即k ＝±
7
2
时等号成立，且满足Δ>0. 此时S △OPQ max ＝1，
所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为
y ＝
72x －2或y ＝－7
2
x －2. 21．已知椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →
，求直线AB 的方程．
[解析] (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2
4
＝1(a >2)，
其离心率为32，故a 2
－4a ＝3
2，则a ＝4，
故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4
＝1.
(2)解法一：设A 、B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →
及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 2
4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2
＝4，
所以x 2
A ＝
4
1＋4k
2， 将y ＝kx 代入y 216＋x 2
4
＝1中，得(4＋k 2)x 2
＝16， 所以x 2
B ＝164＋k
2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2
A ， 即
164＋k 2＝161＋4k
2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
解法二：设A 、B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →
及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 2
4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2
＝4，
所以x 2
A ＝
4
1＋4k
2， 由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2
B ＝16k 2
1＋4k 2，
将x 2
B 、y 2
B 代入y 216＋x 2
4＝1中，得4＋k
2
1＋4k
2＝1，
即4＋k 2＝1＋4k 2
，解得k ＝±1.
故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .23266 5AE2 嫢n|26561 67C1 柁_F24159 5E5F 幟38532 9684 隄33982 84BE 蒾33536 8300 茀 29602 73A2
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