2020版高考数学一轮复习课后限时集训8指数与指数函数理含解析北师大版2

课后限时集训(八)　指数与指数函数
(建议用时：60分钟)
A 组　基础达标
一、选择题
1．设a ＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
a 2
a ·3a 2A ．a B ．a 12 56
C ．a
D ．a 76
3
2
C [＝＝Error!＝Error!＝a 2－＝a .故选C.]a 2
a ·3a 2a 2a ·a 56 76
2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
A [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图像可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.4
0.2＜1，所以a ＞b
.综上，a ＞b ＞c .]
3．函数y ＝(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )xa x
|x |
A B
C D
D [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝＝Error!当x ＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a ＜xa x
|x |
1，所以函数递减；当x ＜0时，函数图像与指数函数y ＝a x (x ＜0)的图像关于x 轴对称，函数递增，所以应选D.]
4．若2x 2＋1≤x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )
(14)A. B.[18
，2)
[18，2]C. D ．[2，＋∞)(－∞，18]B [因2x 2＋1≤
x －2＝24－2x ，则x 2＋1≤4－2x ，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1，所以
(14)18≤y ≤2.]5．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞)D [不等式2x (x －a )＜1可变形为x －a ＜x
.在同一平面直角坐标系中作出直线y ＝x －a 与y (12
)＝x 的图像．由题意知，在(0，＋∞)内， 直线有一部分在y ＝x (12)(12)
图像的下方．
由图可知，－a ＜1，所以a ＞－1.]
二、填空题
6．计算：－×0＋8×－Error!＝________.(32)13(－76)
14 422　[原式＝Error!×1＋2×2－Error!＝2.](23)34 14 (23)
7．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)．若f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．
(－∞，4]　[令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间上递增，在区间上递[m 2，＋∞)(－∞，m 2
]减．而y ＝2t 在R 上递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上递增，则有≤2，即m ≤4，m
2
所以m 的取值范围是(－∞，4]．]
8．(2019·西安八校联考)设函数f (x )＝Error!则满足f (x )＋f (x －1)＞1的x 的取值范围是________．
(0，＋∞)　[画出函数f (x )的大致图像如图，易知函数f (x )在(－∞，
＋∞)上递增．又
x ＞x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )
＋f (x －1)＞1成立，则结合函数f (x )的图像知只需x －1＞－1，解得x ＞0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．
(1)求f (x )的表达式；
(2)若不等式x ＋x
－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．(1a )(1b )[解]　(1)因为f (x )的图像过A (1,6)，B (3,24)，所以Error!所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .
(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，x ＋x －m ≥0恒成立，即m ≤x ＋x 在(－∞，1](12)(13)
(12)(13)上恒成立．又因为y ＝x 与y ＝x 均为减函数，所以y ＝x ＋x 也是减函数，(12)(13)(12)(13)
所以当x ＝1时，y ＝x ＋x
有最小值.所以m ≤.(12)(13)
5656即m 的取值范围是.(－∞，56]10．已知函数f (x )＝－＋3(－1≤x ≤2)．14x λ2
x －1(1)若λ＝，求函数f (x )的值域；32
(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．
[解]　(1)f (x )＝－＋314x λ2
x －1＝2x －2λ·x ＋3(－1≤x ≤2)．(12)(12)
设t ＝x ，(12
)得g (t )＝t 2－2λt ＋3.(14≤t ≤2)
当λ＝时，g (t )＝t 2－3t ＋332
＝2＋.(t －32)34(14≤t ≤2)
所以g (t )max ＝g ＝，(14)3716
g (t )min ＝g ＝.(32)34
所以f (x )max ＝，f (x )min ＝，371634
故函数f (x )的值域为.[34，3716]
(2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3
＝(t －λ)2＋3－λ2，(14≤t ≤2)
①当λ≤时，g (t )min ＝g ＝－＋，14(14)
λ24916令－＋＝1，得λ＝＞，不符合，舍去；λ2491633814
②当＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，14
令－λ2＋3＝1，得
λ＝；
2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)
③当λ＞2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，
令－4λ＋7＝1，得λ＝＜2，不符合，舍去．32
综上所述，实数λ的值为.
2B 组　能力提升
1．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( )
A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
A [∵f (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－[x (e －x ＋e x )]＝－f (x )，
∴f (x )是奇函数．任取x 2＞x 1＞0，则e x 2
－e x 1＞0，e x 2＋x 1＞1，e x 2
＋e －x 2
－(e x 1
＋e －x 1)＝(e x 1
－e x 1
)＞0，(1－1e x 1＋x 2)
f (x 2)＞f (x 1)，
∴f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A.]
2．设函数f (x )＝Error!则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )
A. B ．[0,1][23
，1]
C. D ．[1，＋∞)[23，＋∞)C [令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .
当t ＜1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2，当t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )在(－∞，1)上递增，即g (t )＜g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解．
当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，即当a ＜1时，3a －1≥1，解得≤a ＜1；或a ≥1时，2a ≥1，23
解得a ≥1.
综上可得a 的取值范围是a ≥.]23
3．若32＋2x －3x 2＋x
＞2＋2x －x 2＋x ，则x 的取值范围是________．
(14)(14)(－1,2)　[∵32＋2x －3
x 2＋x
＞2＋2x －x 2＋x ，(14)(14)∴32＋2x －2＋2x ＞3x 2＋x －x 2＋x
，(*)
(14)(14)观察知，不等式两边结构相同，故构造函数F (t )＝3t －t ，则F (t )为R 上的增函数，而(*)(14
)式可以写成，F (2＋2x )＞F (x 2＋x )，根据F (x )递增，得2＋2x ＞x 2＋x ，即x 2－x －2＜0，解得x ∈(－1,2)．]
4．已知定义域为R 的函数f (x )＝是奇函数．－2x ＋b 2x ＋1＋a
(1)求a ，b 的值；
(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0.
[解]　(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，
即＝0，解得b ＝1，－1＋b 2＋a
所以f (x )＝.－2x ＋12x ＋1＋a
又由f (1)＝－f (－1)知＝－，解得a ＝2.－2＋14＋a －12＋11＋a
(2)由(1)知f (x )＝＝－＋.－2x ＋12x ＋1＋21212x ＋1
由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是
减函数)．
又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．
所以t 2－2t ＞－2t 2＋1，即3t 2－2t －1＞0.解得t ＞1或t ＜－，所以该不等式的解集为13
.{tt ＞1或t ＜－13}。