2022年全国高考(新高考II卷)数学真题+答案 逐题解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试
（新高考全国Ⅱ卷）数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}
1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A.{1,2}- B.{1,2}
C.{1,4}
D.{1,4}
-【答案】B 【解析】
【分析】求出集合B 后可求A B .
【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.
2.(22i)(12i)+-=（）A.
24i -+ B.24i -- C.62i + D.62i
-【答案】D 【解析】
【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.
3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别
为1111
12
31111
,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====，若123,,k k k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）
A.0.75
B.0.8
C.0.85
D.0.9
【答案】D 【解析】
【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且1111
1111
0.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，
所以
30.530.3
0.7254k +-=，故30.9k =，
故选：D
4.已知(3,4),(1,0),t ===+
a b c a b ，若,,<>=<>
a c
b
c ，则t =（）A.6- B.5
- C.5
D.6
【答案】C 【解析】
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c = ,即
931635t t c c
+++= ,解得5t =,故选：C
5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排
列方式有多少种（）A.12种 B.24种
C.36种
D.48种
【答案】B 【解析】
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B
6.角,αβ满足sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫
+++=+ ⎪⎝
⎭
，则（）A.tan()1αβ+= B.tan()1αβ+=-C.tan()1αβ-= D.tan()1
αβ-=-【答案】D 【解析】
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：
()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,
即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=,所以()tan 1αβ-=-,故选：D
7.正三棱台高为1，上下底边长分别为积是（）A.100π B.128π
C.144π
D.192π
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以122,2sin 60sin 60
r r =
=
，即
123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，
2d =121d d -=或121d d +=1=或
1=，解得2
25R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．
故选：A．
8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则22
1
()k f k ==
∑（）A.3- B.2
- C.0
D.1
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的
()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．
【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，
()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即
()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，
()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知
()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即
()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．
因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，
()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以
一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，
所以
()()()()()22
1
123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象以2π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，则（）A.y =
()f x 在5π0,
12⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递减B.y =()f x 在π11π,1212⎛
⎫-
⎪⎝⎭
有2个极值点C.直线7π
6
x =是一条对称轴
D.直线2
y x =-是一条切线【答案】AD 【解析】
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ，即4π
π,3
k k ϕ=-
+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=
，故2π()sin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
对A，当5π0,
12x ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上是单调递减；
对B，当π11π,1212x ⎛⎫
∈-
⎪
⎝⎭
时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π
232x +=，解得5π12x =，即5π12
x =为函数的唯一极值点；对C，当7π6x =
时，2π23π3x +=，7π()06
f =，直线7π
6x =不是对称轴；
对D，由2π2cos 213y x ⎛
⎫'=+
=- ⎪⎝
⎭得：2π1cos 232x ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，解得2π2π22π33x k +
=+或2π4π
22π,33
x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或π
π,3
x k k =
+∈Z ,所以函数()y f x =在点30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，
切线方程为：(0)2y x -=--即2
y x =-．故选：AD．
10.已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）
A.直线AB 的斜率为
B.||||
OB OF =C.||4||AB OF > D.180OAM OBM ∠+∠<︒
【答案】ACD 【解析】
【分析】由AF AM =及抛物线方程求得36(
)42
p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得6(,33
p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512
p
AB =
即可判断C 选项；由0OA OB ⋅< ，0MA MB ⋅< 求得AOB ∠，AMB ∠为钝角即可判断D 选项.
【详解】
对于A，易得(
,0)2
p
F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为32
24
p p
p +=，代入抛物线可得2
233242p y p p =⋅
=，则36(,)42
p A ，则直线AB
的斜率为62342
p p =-，A 正确；对于
B，由斜率为可得直线AB
的方程为2p x y =+
，联立抛物线方程得
220y py p -=，设11(,)B x y ，则16626p y p +=，则163y =-，代入抛物线得2
1623p x ⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝
⎭，解得13p x =
，则(,)33
p B -，
则732
p
OB OF =≠=，B 错误；对于C，由抛物线定义知：325244312
p p p AB p p OF =
++=>=，C 正确；对于D，2
3663663(,(,)0423343234
p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭ ，则
AOB ∠为钝角，
又
26262665(,(,0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则AMB ∠为钝角，
又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确.故选：ACD.
11.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V
，则（）
A.322V V =
B.312V V =
C.312V V V =+
D.31
23V V =【答案】CD 【解析】
【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由
3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.
【详解】
设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则
()2
311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，
()2
32111223323
ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易
得BD AC ⊥，
又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D = ，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，
又1
2
BM DM BD ==
=，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===
，
则,EM FM =
==
，
3EF a =，
2
2
2
EM FM EF +=
，则EM FM ⊥，213222
EFM S EM FM a =
⋅= ，AC =，则331
23
A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅= ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A、
B 错误；C、D 正确.故选：CD.
12.对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤ B.2x y +≥-C.222x y +≤ D.221
x y +≥【答案】BC 【解析】
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为2
2222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪
⎝⎭
（,a b ÎR ），由22
1+-=x y xy 可变形为，()
2
2
1332x y x y xy +⎛⎫
+-=≤ ⎪⎝⎭
，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，
2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；
由2
2
1+-=x y xy 可变形为()22
2
2
12
x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当
1x y ==±时取等号，所以C 正确；
因为221+-=x y xy 变形可得2
23124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,
x y θθθ==
，因此
2222511
cos sin cos 12cos 2
333x y θθθθ=θ-θ+=+++
42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤
=
+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33
x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量X 服从正态分布(
)2
2,N σ
，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则
( 2.5)P X >=____________．
【答案】0.14##7
50
．【解析】
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为(
)2
2,X N σ
，所以()()220.5P X P X <=>=，因此
()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．
故答案为：0.14．
14.写出曲线ln ||y x =过坐标原点的切线方程：____________，____________．【答案】①.1e
y x =
②.1e
y x =-
【解析】
【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解：因为ln y x =，
当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x
'=
，所以0
01|x x y x ='=，所以切线方程为()000
1
ln y x x x x -=
-，又切线过坐标原点，所以()000
1
ln x x x -=
-，解得0e x =，所以切线方程为()1
1e e y x -=
-，即1e
y x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()
11,ln x x -，由1
y x
'=
，所以111|x x y x ='=，所以切线
方程为()()111
1
ln y x x x x --=
-，又切线过坐标原点，所以()()111
1
ln x x x --=
-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=
+-，即1e
y x =-；故答案为：1e y x =；1
e y x
=-15.已知点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =的对称直线与圆
22(3)(2)1x y +++=存在公共点，则实数a 的取值范围为________．
【答案】13,32⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【解析】
【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a
=
上，
所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为3
2
a y x a -=
+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()2
2
:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离
1d =
，
即()()22
25532a a -≤-+，解得
1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
；故答案为：13,32
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
16.已知椭圆22
163
x y +
=，直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，与x 轴，
y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA
NB MN ==
l 的方程为___________．【答案】0x +-=【解析】
【分析】令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1
2
OE AB k k ⋅=-
，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；
【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163
x y +=，22
22
631x y +=，
所以2222
121206633x x y y -+-=，即()()()()12121
212063
x x x x y y y y -++-+=所以
()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即1
2
OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-
，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
即1222m
k m k
⨯=--
，解得k =22k =（舍去），
又MN =，即
MN =，解得2m =或2m =-（舍去）
，所以直线2
:22
AB y x =-
+
，即0
x +-=
；
故答案为：0
x +-=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；
（2）求集合{}
1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】
【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．
【小问1详解】
设数列{}n a 的公差为d ，所以，()
11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112d
b a ==，
所以原命题得证．【小问2详解】由（1）知，112
d b a ==，所以()1
111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]2
2
1,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合
{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．
18.记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S
，已知1231
23
S S S B -+==．（1）求ABC 的面积；
（2）若sin sin 3
A C =，求b ．【答案】（1）28
（2）1
2【解析】
【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由1233
2
S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac
B A C
=
，即可求解.【小问1详解】
由题意得22221231,,22444S a a S b S c =
⋅⋅===，则2221233333
4442
S S S a b c -+=
-+=
，
即2
2
2
2a c b +-=，由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，
又1sin 3
B =
，
则cos 3B ==，132cos 4ac B ==，则12sin 28ABC S ac B == ；【小问2详解】由正弦定理得：
sin sin sin b a c
B A C
==，则2
232
94sin sin sin sin sin 4
23
b a
c ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数
据频率分布直方图．
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）
【答案】（1）44.65岁；（2）0.89；（3）0.0014．【解析】
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式
()1(P A P A =-即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．【小问1详解】
平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯550.020650.012750.006850.002)1044.65+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）．
【小问2详解】
设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以
()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．
【小问3详解】
设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得
()0.1%0.023100.0010.23
(|)0.00143750.0014()16%0.16
P BC P C B P B ⨯⨯⨯=
===≈．
20.如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．
（1）求证：//OE 平面PAC ；
（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）
1113
【解析】
【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，
根据三角形全等得到OA OB =，
再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；
（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【小问1详解】
证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，
因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，
又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，
又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD
∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以
//OE PD ，
又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC
【小问2详解】
解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =
-=，
又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，
所以12AC =，所以()
23,2,0O ，()43,0,0B ，()
23,2,3P ，()0,12,0C ，所以
33,1,2E ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ ，()
3,0,0AB =
，()0,12,0AC = ，
设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则33302430
n AE x y z n
AB x ⎧⋅=++=⎪
⎨⎪⋅==⎩
，令2z =，则
3y =-，0x =，所以()0,3,2n =-
；
设平面AEC 的法向量为(),,m a b c = ，则3330
2120
m AE a b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令3a =6c =-，0b =，所以)
3,0,6m =-
；
所以
1243cos ,131339n m n m n m
⋅==-⨯
设二面角C AE B --为θ，由图可知二面角C AE B --为钝二面角，所以43cos 13
θ=-
，所以2
11sin 1cos 13θθ=-=
故二面角C AE B --的正弦值为
1113
；21.设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为(2,0)F
，渐近线方程为y =．
（1）求C 的方程；
（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P
且斜率为的直线与过Q
M ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）2
2
1
3
y x -=（2）见解析【解析】
【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③
|AM |=|BM |等价分析得到200283
k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合
双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率0
3x m y =
，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一
个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】
右焦点为(2,0)F ，∴2c =
,∵渐近线方程为y =
，∴
b
a
=
b =，∴222244
c a b a =+==，∴1a =
，∴b =．∴C 的方程为：2
2
13
y x -=；
【小问2详解】
由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；
总之，直线AB 的斜率存在且不为零.
设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2
000022y k x ky k x =-⇔=-；
两渐近线的方程合并为2230x y -=,
联立消去y 并化简整理得：(
)
2
222
3440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则
()23422
26,2233
N N N x x k k
x y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,
则条件③AM BM =等价于()()()()2
2
2
2
03030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：
()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，
()()34
03403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,
即2
00283
k x ky k +=-；
由题意知直线PM 的斜率为,直线QM
∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,
∴)121202y y x x x -=+-,
所以直线PQ
的斜率)120121212
2x x x y y m x x x x +--==---,
直线)00:PM y x x y =-+
,即00y y =,
代入双曲线的方程22330x y --=
,即
)
3y y +-=中，
得：(
)()00003y y ⎡⎤+-+=⎣⎦,
解得P
的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭
,
同理：200x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭
，
∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴00
3x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，
综上所述：
条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；
条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于2
00283
k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：22
00002228,433
k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，2
0263
k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：20223k x k =-，2
0263
k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.
22.已知函数()e e ax x f x x =-．
（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；
（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；
（3）设n *∈N
ln(1)n ++>+ ．
【答案】（1）()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.（2）1
2
a ≤（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求出()
f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ''，先讨论12
a >时题设中的不等式不成立，再就102
a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t
t <-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-<任意的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【小问1详解】
当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e x
f x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()
0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.
【小问2详解】
设()e e 1ax x
h x x =-+，则()00h =，
又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax x
g x ax =+-，则()()
22e e ax x g x a a x '=+-，若12
a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，
故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()
0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，
故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102
a <≤，则()()()ln 11e e e e ax ax ax x x h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，
证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x
-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.
由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，
故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，
所以()()01h x h <=-.
当0a ≤时，有()e e e 1100ax x ax h x ax '=-+<-+=，
所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12
a ≤.【小问3详解】取12a =
，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，
故22ln 1t t t <-即12ln t t t
<-对任意的1t >恒成立.
所以对任意的*n N ∈，有2ln <
整理得到：
()
ln1ln
n n
+-<，
()
ln2ln1ln3ln2ln1ln
n n
+>-+-+++-
()
ln1
n
=+，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.。