矩阵的初等变换

矩阵初等变换
初等行变换：
（1）对调两行（对调,i j 两行，记作i j r r ↔）
（2）以数0k ≠乘某一行中所有元素（第i 行乘k ，记作i r k ⨯）
（3）把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去（第j 行的k 倍加到
第i 行上，记作i j r kr +）
初等列变换：把上面的行变成列，即得初等矩阵列变换的定义。

初等变换：矩阵的初等行变换和初等列变换。

三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换： （1） 变换i j r r ↔的逆变换是其本身；
（2） 变换i r k ⨯的逆变换为1
i r k
⨯（记作i r k ÷）；
（3） 变换i j r kr +的逆变换为()i j r k r +-（记作i j r kr -）。

矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵B ，称矩阵A 与B 行等价；矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵B ，称矩阵A 与B 列等价；矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，称矩阵A 与B 等价，记作A
B 。

矩阵4B 和5B 都为行阶梯矩阵，其特点是：线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的个数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。

行阶梯矩阵5B 还称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。

对行最简形矩阵再进行初等列变换，可变成形状更简单的矩阵，成为标准形。

矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是，F的左上角是一个单位阵，其余元素全为0。

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归纳上面的讨论，可得：
矩阵的秩
初等变换不改变矩阵的秩。

线性方程组的解。