高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理(一)学案苏教版选修1-2(2021学年)

2017-201８版高中数学第2章推理与证明 2.1.1 合情推理(一)学案苏教版选修1-2
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２.1．1 合情推理(一）
学习目标 1．了解归纳推理的含义,能利用归纳推理进行简单的推理。

2.了解归纳推理在数学发展中的作用.
知识点归纳推理
思考1 若ａ1＝1
2
，a2=错误!，a3＝错误!,a4=错误!，你能猜想出数列｛aｎ｝的通项公式ａn吗？
思考２直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是1８0°，你能猜想出什么结论?
１．推理
从一个或几个_________＿__得出另一个_______＿__的思维过程称为推理．
2.归纳推理
(1）定义:从_＿＿_____＿___中推演出__＿＿＿__＿__的结论，像这样的推理通常称为归纳推理.
(2)思维过程：
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
3.归纳推理的特点
(1）归纳推理的前提是几个已知的＿__________＿,归纳所得的结论是尚属未知的__＿＿______＿_，该结论超越了前提所包容的范围.
(2）由归纳推理得到的结论具有_＿_＿_＿__的性质,结论是否真实，还需经过_＿_＿___＿____和实践检验.
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理。

类型一代数中数、式的归纳推理
命题点一数列中的归纳推理
例1 设｛ａn｝是首项为1的正项数列，且(n+1)·a错误!－na错误!+a n+1a n=0(n∈N*),则它的通项公式为aｎ=___＿__＿_。

反思与感悟（1)在数列中,常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式;要认真观察数列中各项数字间的规律,分析每一项与对应的项数（序号n)之间的关系,这是解题的关键.
（2)归纳推理具有由特殊到一般,由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些共同的特征;
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
跟踪训练1 已知数列｛aｎ｝满足a1=1,aｎ+1＝2a n＋１(n＝１,2，3,…).
（１）求a２,ａ3，a4;(2）归纳猜想通项公式a n.
命题点二算式中的归纳推理
例2 观察下列等式:
由此推测第n个等式为_________＿___＿＿_＿__＿＿＿＿______＿＿＿___＿______＿__＿_____
__＿___＿____＿____＿__＿_________＿＿＿____＿＿＿______＿_＿＿________＿________＿＿____。

反思与感悟对于运算式的猜测和推广,这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共同结构特点,其次是式子中出现的字母之间的关系,还有化简或运算的结果等等．另外要注意对较为复杂的运算式,不要化简,这样便于观察运算规律和结构上的共同点．
跟踪训练 2 已知:1>错误!；1＋错误!＋错误!>１;1+错误!＋错误!+错误!+错误!+错误!+错误!>
错误!;1+错误!+错误!+…＋错误!＞2;…
根据以上不等式的结构特点,请你归纳一般结论.
类型二几何问题中的归纳推理
例３数一数图中的凸多面体的面数Ｆ、顶点数V和棱数E,然后用归纳推理得出它们之间的关系.
反思与感悟(1）在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、图形的增加情况常用归纳推理解决，通过比较,寻找规律是解决该类问题的关键.
(2）应用归纳推理，注意两点:①从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量关系;②从图形
的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较,数值发生了怎样的变化．
跟踪训练３平面内有n条直线(n=3，4，5,…),其中有且只有两条直线平行，任意三条直线不过同一点,记f(n)表示这n条直线的交点个数．
(１)求f(3),ｆ(４),f(5);(2）猜测ｆ(n)的表达式.
１.由数列1,１0，100，1 0０0，…，猜测该数列的第n项可能是_＿＿＿____.
２．如图所示是由火柴杆拼成的一列图形,第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现:第4个图形中，火柴杆有__＿_____根；第ｎ个图形中，火柴杆有＿＿＿____＿根．
３．观察下列等式:
（1＋1）=2×１,
（2＋１)(２+2)=2２×1×3,
(3+１）(3＋2)(３+3)＝2３×1×3×５，
…
照此规律,第n个等式可为＿_＿______＿＿__＿_＿＿________＿__＿＿____＿＿__＿___＿______．
4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1，３,６，10，…，第ｎ
个三角形数为n n＋1
2
＝＼ｆ(1,2)n2＋错误!ｎ,记第ｎ个k边形数为N(n,ｋ)(k≥3），以下列
出了部分ｋ边形数中第n个数的表达式:
三角形数N(n，3)=错误!n2＋错误!n，
正方形数N（n,4）=n２，
五边形数N（n,5)=错误!ｎ2-错误!ｎ，
六边形数Ｎ(n，6)＝2ｎ2－n
…
可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)＝__＿___.
归纳推理的一般步骤:
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质;
(２）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题,提出带有规律性的结论，即猜想.注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.
提醒:完成作业2。

1。

1(一）
答案精析
问题导学
知识点
思考１a n＝＼ｆ（1,2n)(n∈N＊).
思考２三角形的内角和都是１8０°。

1.已知命题新命题
2.(1)个别事实一般性
3．(1）特殊现象一般现象 (2)猜测逻辑证明
题型探究
例1 错误!
解析由2a错误!-a错误!+ａ1a2＝0,a1＝1，得a2=错误!错误!。

由3a错误!－2a错误!+a2a３=0,得a3＝错误!错误!。

由4a错误!-3ａ错误!＋ａ3a4＝0,得ａ4＝错误!错误!。

所以推测a n＝错误!，代入等式验证,等式成立.故ａｎ=错误!。

跟踪训练１解（１）由a1＝１,且aｎ+1=2a n+1(n∈Ｎ＊），
令ｎ＝1，得a2＝3，
令ｎ=2,ｎ＝3,进而得ａ３=7,ａ４＝15，
（2)由a2＝２2-１，ａ３=23-１,a４=24-1。

可归纳猜想，得a n＝2n-1（ｎ∈N＊).
例2 12－2２+32-４2+…+（－1）n－1ｎ2＝（－１)n－1·（1＋2＋3+…+ｎ)
解析由1-22=(－1）1(１＋2)，
12－2２+（-1)2３2＝(-1)２(1＋２＋3)，
12－２2+3２+（-1)3４2=（－１)3(１+2＋３＋４）,
由此可得,第n个等式为
12-22+32－4２＋…+(-1）ｎ－１n２＝(-１）n－1(1＋2＋３+…＋n）．
跟踪训练 2 解 1=2１－１,3＝２２-１,7=２３－１,15＝24-1,…，猜想不等式的左边共有２n-1项,最后一项的分母为2n-1,右边为错误!,由此可得一般性结论:1＋错误!+错误!+…+错误!>错误! (n∈N*).
例3 解正方体：Ｆ＝6，V=8，E=12；
三棱柱：F=５，V=６,E＝9；
五棱柱:F＝7,V＝1０，E=15;
四棱锥:F＝5,V＝5，E=8;
两个同底面的四棱锥组成的组合体:F=8,V＝6，E=12。

通过以上观察发现Ｆ，V，Ｅ满足Ｆ＋V-Ｅ＝2。

所以归纳得:在凸多面体中,面数F、顶点数Ｖ和棱数Ｅ满足以下关系:
F+V－Ｅ=2。

跟踪训练3 解(1）f（３）＝2，ｆ（４）=５，ｆ(5）＝9。

(2)由（1)归纳可知,ｆ（4)＝f(３）+3,
f(５）＝ｆ(4)＋４=f(３）＋3＋4,
所以可以猜测f（n）＝f（3）＋3+４+…＋（n-１)＝错误!(ｎ=3,4，5,…）．
达标检测
1.１0n-1
解析该数列可整理为１０0,１０1，1０２,103,….
2．1３ 3n+1
解析设ａｎ表示第n个图形中的火柴杆数,易知ａ1＝4，a2=4+３=7，a3=7＋3=10,a4=10+3＝13，…,
∴a n＝3ｎ+1.
３．（n+1)（n+2)…（n＋n)=2ｎ×1×3×…×(２ｎ-1)
解析从给出的规律可看出，左边的连乘式中,连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始,逐项加１递增，右边连乘式中从第二个乘数开始,组成以1为首项,２为公差的等差数列,项数与第几等式保持一致，则照此规律,第n个等式可为(n+1)(n＋２)…（n+n)＝2n×1×3×…×（2n－1)．4.1 000
解析由N（n，４)=n２，N(n,6)＝2ｎ2-n，
可以推测：当k为偶数时,N(n，ｋ)=＼f(ｋ-2，2)n2＋4-k
2
ｎ,
∴N(1０，24）=错误!×100+错误!×10 =1 100－1０0=１０00。

以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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