三角函数的公式运用习题含答案解析

三角函数、同角三角函数基本关系、三角函数的诱导公式
三角函数
要点一：三角函数定义
设α是一个任意角,它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ,则r =，那么:
(1)
y
r
做α的正弦,记做sin α,即sin y r α=；
(2) x
r
叫做α的余弦,记做cos α,即cos x r α=；
(3)y
x
叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠.
类型一：三角函数的定义
例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值．
【解析】 5||r a ==． 若a ＞0，则r =5a ，α是第二象限角，则
33
sin 55y a r a α===，
44
cos 55x a r a α-===-，
33
tan 44
y a x a α===--，
若a ＜0，则r =－5a ，α是第四象限角，则
3sin 5α=-，4cos 5α=，3
tan 4
α=-．
举一反三：
【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值．
【答案】
1221
22
--
【解析】因为角α的终边在直线y =上，
所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点．
则2||r a ==（a ≠0）． 若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以
sin 22
a α=
=， 1cos 22
a a α=
=，
tan a
α=
=． 若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a ，所
以sin 22
a α=
=--，1
cos 22
a a α=-
=-
，tan a α==． 要点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
类型二：三角函数的符号
例2．判断下列各三角函数值的符号
（1）17tan 6π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°．
【解析】 （1）因为177466πππ-
=-+，且7
6
π是第三象限角，所以176π-是第三象限角．所以17tan 06π⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
．
（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0． ∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0． ∴tan120°·sin269°＞0． （3）∵191°是第三象限的角，
∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0． 举一反三： 【变式1】
（1）若sin α=―2cos α，确定tan α的符号；
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
（2）已知α为第二象限角，判断3sin αcos α+2tan α的符号； （3）若sin α＜0，cos α＞0，则α是第几象限角？ 【答案】（1）负（2）负（3）四 【解析】（1）由sin α=―2cos α，知sin α与cos α异号，故α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，tan α＜0；当α是第四象限角时，tan α＜0．综上知，tan α＜0．
（2）因为α为第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，所以3sin αcos α+2tan α＜0．
（3）因为sin α＜0，所以α为第三或第四象限角， 又cos α＞0，所以α为第一或第四象限角， 所以α为第四象限角．
类型三：三角函数定义域的求法
例3．求函数sin 1tan y x x =+-的定义域．
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式．
【解析】 由题意得sin 0tan 1()2
x x x n n Z π
π⎧
⎪≥⎪
≤⎨⎪⎪≠+∈⎩．
由图可知：
sin x ≥0时，角x 的终边落在图中横线阴影部分； tan x ≤1时，角x 的终边落中图中竖线阴影部分． 从终边落在双重阴影部分的角中排除使2()2
x n n Z π
π=+∈的角即为所求．
∴该函数的定义域为：
22,22,42x n x n n Z x n x n n Z πππππππ⎧⎫⎧⎫
≤≤+∈+<≤+∈⎨⎬⎨
⎬⎩⎭⎩⎭
． 【注意】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数
轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画
法及意义．（2）不可忽略正切函数自身的定义域|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
．
举一反三： 【变式1】求函数sin cos tan x x
y x
+=
的定义域：
【答案】|,2k x x k Z π⎧⎫
≠∈⎨⎬⎩⎭
【解析】 要使函数有意义，需tan x ≠0，
∴2
x k π
π≠+
（k ∈Z ）且x ≠k π（k ∈Z ）
∴2
k
x π≠（k ∈Z ）．
∴函数的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫
≠∈⎨⎬⎩⎭
．
角三角函数基本关系
要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：22sin cos 1αα+=
(2)商数关系：sin tan cos α
αα
= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅= 要点诠释：
2sin α是2(sin )α的简写；
要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形：
2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±
2．商数关系式的变形
sin sin cos tan cos tan α
ααααα
=⋅=
，。

类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．若4
sin 5α=-，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值。

【思路点拨】由sin α求cos α，可利用公式22sin cos 1αα+=，同时要注意角所在的象限。

【解析】 ∵4
sin 5α=-，α是第三象限，
∴3cos 5α===-，
sin 454
tan cos 533
ααα⎛⎫=
=-⨯-= ⎪⎝⎭。

举一反三：
【变式1】已知3
sin 5
α=-，求cos α，tan α的值。

【解析】因为3
sin 05
α=-<，所以α是第三或第四象限角。

由sin 2α+cos 2α=1得
2
22316
cos 1sin 1525αα⎛⎫=-=--=
⎪⎝⎭。

当α是第三象限角时，cos α＜0
，于是4cos 5
α==-， 从而sin 353tan cos 544
ααα⎛⎫⎛⎫=
=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当α是第四象限角时，cos α＞0
，于是4cos 5α=
=， 从而sin 353
tan cos 544
ααα⎛⎫=
=-⨯=- ⎪⎝⎭。

类型二：利用同角关系求值 例2．已知：tan cot 2,θθ+=求：
（1）sin cos ⋅θθ的值；（2）sin cos θθ+的值； （3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值 【解析】（1）由已知
sin cos 2cos sin θθ
θθ
+= 22sin cos 2sin cos θθ
θθ
+∴
= 1sin cos 2
θθ∴=
（2）
()2
sin cos 12sin cos 112θθθθ+=+=+=
sin cos θθ∴+=
（3）
()
2
sin cos 12sin cos 110θθθθ-=-=-=
sin cos 0θθ∴-=
（4
）由sin cos sin cos 0θθθθ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，解得sin 2cos 2θθ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
或sin 2cos 2
θθ⎧=-⎪⎪
⎨⎪
=-⎪⎩
【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了22sin cos 1θθ+=这个隐含条件。

举一反三：
【变式1】
已知sin cos αα-= （1）tan α+cot α；（2）sin 3α－cos 3α。

【解析】
由sin cos αα-=两边平方得1sin cos 2
αα⋅=-。

（1）22sin sin cos 1
tan cot 2cos sin cos sin cos αααααααααα
++=
+==-⋅⋅。

（2）3322sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )αααααααα-=-++
(sin cos )(1sin cos )2
αααα=-+=。

例3．已知：1
tan 2
θ=-，求：
（1）sin cos sin 3cos θθθθ+-；
（2）22
12sin cos sin cos θθθθ+-； （3）222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。

【解析】（1）原式=11
tan 11
21tan 37
32
θθ-++==----
（2）原式=
()()()2
sin cos sin cos tan 11
sin cos sin cos sin cos tan 13
θθθθ
θθθθθθθθ+++==
=-+---
（3）原式=22222sin 3sin cos 5cos sin cos θθθθ
θθ--+
=222tan 3tan 5
tan 1
θθθ--+
=13
25
42114⨯+-+=125-
举一反三：
【变式1】已知
tan 1tan 1
A
A =--，求下列各式的值.
(1)
sin 3cos ;sin 9cos A A
A A -+
(2)2sin sin cos 2A A A ++
【解析】1
tan ,2
A =
sin 3cos tan 35;sin 9cos tan 919
A A A A A A --∴==-++ 222
222
sin sin cos tan tan 13sin sin cos 222.5sin cos tan 1
A A A A A A A A A A A ++∴++=+=+=++ 类型三：利用同角关系化简三角函数式
例4．化简：
（1
；
（2）若
322
π
απ<< 【解析】
（1）原式=
|cos10sin10|cos10sin101sin10cos10sin10cos10︒-︒︒-︒
===-︒-︒︒-︒。

（2）∵
322
π
απ<<，∴sin α＜0，
∴原式=
=|1cos ||1cos |
|sin ||sin |αααα-+=+ ∵sin α＜0，
∴原式1cos 1cos 2
sin sin sin ααααα
-+=--=-。

举一反三： 【变式1】化简
（1）
2,2sin cos 2k k k Z πθππθθ⎛⎫
∈-∈ ⎪-⎝⎭
；
（2
【答案】（1）－1（2）cos2sin 2--
【解析】（1）原式|sin cos |1sin cos θθθθ
-==--
（2）原式|cos2||sin 2|cos2sin 2=-=-- 三角函数的诱导公式 要点一：诱导公式 诱导公式一：
sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，
tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈
诱导公式二：
sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，
tan()tan αα-=-，其中k Z ∈
诱导公式三：
sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈
诱导公式四：
sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭。

sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，其中k Z ∈ 要点诠释：
(1)要化的角的形式为α±⋅ 90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
要点二：诱导公式的记忆
诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数
名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．
因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.
类型一：利用诱导公式求值
例1．求下列各三角函数的值：
（1）10sin 3π⎛⎫
- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．
【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛
⎫=-+=- ⎪
⎝⎭
sin sin sin 333ππππ⎛⎫⎛
⎫=-+=--==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）3177cos
cos 4cos 666ππππ⎛
⎫=+= ⎪
⎝
⎭cos cos 662πππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝
⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°
+45°)=tan45°=1． 【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一。

（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．
举一反三：
【变式1】求sin(―1200°)·cos1290°+cos(―1020°)·sin(―1050°)+tan945°的值． 【答案】2 【解析】原式=－sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)－cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)+tan(2×360°+225°)=―sin(180°―60°)·cos(180°+30°)―cos(360°―60°)·sin(360°―30°)+tan(180°
+45°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°111222
=
+⨯+=．
例2．（1）已知cos 6πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭，求25cos sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．
（2）已知1
cos(75)3
α-︒=-，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值．
【解析】（1）∵5cos cos 66
ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 63πα⎛⎫
=--=-
⎪⎝⎭， 2
2222sin sin 1cos 166633πππααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭
∴2522cos sin 66333ππαα⎛⎫⎛⎫+--=--=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． （2）∵1
cos(75)03
α-︒=-<，且α为第四象限角，
∴α―75°是第三象限角，
∴sin(75)α-︒===，
∴sin(105)sin[180(75)]sin(75)ααα︒+=︒+-︒=--︒= 举一反三：
【变式1】 已知1
cos(75)3
α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―
α)+sin(α―105°)的值．
【答案】
1
3
【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=
13
-, sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，
∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．
又cos(75°+α)=1
3
＞0，∴75°+α为第四象限，
∴sin(75)3α︒+===-．
∴11cos(105)sin(105)333
αα︒-+-︒=-+=．
要点三：三角函数的三类基本题型
(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.
(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号. 类型一：利用诱导公式求值
例1．求下列各三角函数的值：
（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）． 【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．
【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭
sin sin sin 333ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
（2）3177cos cos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 66πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭
（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．
举一反三：
【变式1】求sin(―1200°)·cos1290°+cos(―1020°)·sin(―1050°)+tan945°的值．
【答案】2
【解析】原式=－sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)－cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)+tan(2×360°+225°)=―sin(180°―60°)·cos(180°+30°)―cos(360°―60°)·sin(360°―30°)+tan(180°
+45°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°111222
=+⨯+=．
例2．（1）已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求25cos sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． （2）已知1cos(75)3
α-︒=-，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值．
【解析】（1）∵5cos cos 66
ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 63πα⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 2
2222sin sin 1cos 16663πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭
∴2522cos sin 66333ππαα⎛⎫⎛⎫+--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）∵1cos(75)03
α-︒=-<，且α为第四象限角， ∴α―75°是第三象限角，
∴sin(75)α-︒=
3==-，
∴sin(105)sin[180(75)]sin(75)3
ααα︒+=︒+-︒=--︒=
． 举一反三： 【变式1】 已知1cos(75)3
α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．
【答案】13
【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13
-, sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)，
∵α为第三象限角，
∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．
又cos(75°+α)=13
＞0，∴75°+α为第四象限，
∴sin(75)α︒+===．
∴1cos(105)sin(105)3αα︒-+-︒=-=． 类型二：利用诱导公式化简
例3．化简 (1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)
αααααα-++--+++-+-； (2) cos sin(5)cos(8)2cos(3)sin(3)sin(4)
πθθππθπθθπθπ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⋅⋅----. 【解析】
(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--=
=-=-+-； (2) 原式sin(5)sin cos cos()sin(3)sin(4)
πθθθπθπθπθ--=⋅⋅----+
sin()sin cos cos sin()sin πθθθθπθθ--=⋅⋅----sin sin cos 1cos sin sin θθθθθθ
-=⋅⋅=--- 【总结升华】诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； 举一反三：
【变式1】（1）sin cos(3)tan()2cos cos()2παπαπαπααπ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭
； （2
）sin 250cos 790︒+︒
； 【答案】（1）1（2）-1
【解析】（1）原式
cos cos()tan cos (cos )tan cos sin 1sin cos()sin (cos )sin cos απααααααααπααααα
--===⋅=+-． （2
）原式=
sin 70cos701cos70sin 70cos70sin 70︒-︒====-︒-︒︒-︒
．。