贵州省凯里市第一中学高三数学下学期开学考试试题 理(

贵州省凯里市第一中学2017届高三数学下学期开学考试试题理（扫描版）
凯里市第一中学2017届高考适应性月考卷（五）
理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
D
C
C
B
B
D
A
C
A
C
B
【解析】
1．(){35}A B =I ∵，，(){
1246}U A B =I ∴，，，ð，故选A ． 2．3i
12i 1i
z -=
=-+，故选D ． 3．||||a b a b +=-r r r r ∵，a b ⊥r r
∴，||13a b -=r r ∴，故选C ． 4．2sin23sin b A a B =∵，4sin sin cos 3sin sin B A A A B =∴，3
cos 4
A =
∴，7tan 3A =∴，故选C ．
5．3252C A 20=，故选B ．
6．执行程序框图可得4x =-，0y =，故选B ． 7．补形为长方体，得长方体外接球的半径为
14
2
，所以外接球的表面积为14π，故选D ． 8．1
ln 22y x y k x '===∵，∴，∴，∴切线方程为21y x =-，故选A ．
9．画图可得最优解为(44)，，∴最大利润为2000元，故选C ．
10．当点P 为椭圆的左顶点时||MP u u u r 的值最大，22||82215MP =-=u u u r
，故选A ．
11．PC BC BP =-u u u r u u u r u u u r ∵，1022()12cos 222||||
BC BP AB PC AB PC AB ⎛⎫-⨯⨯- ⎪-⎝⎭===⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r g <，>，∴异面直线PC 与AB 的夹角为60︒，故选C ．
12．当0x >时，2()()f x f x x x =-=--，2()f x x x --=∴，∴当2
x =
时，22f ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
∴ 2
212⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
，212log 2a ∴≥，11log 22a ∴≥，1
14a <∴≤，故选B ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16 答案
4
7
b a
c >>
113
2
+ 【解析】
13．∵圆22230x y x ++-=的圆心为(10)-，，半径2r =，截得的弦长为23，∴圆心到准线的距
离为222(3)1-=，242
p
p ==∴
，． 14．5
211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式的通项为10215C r r
r T x -++=，5
221(2)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴的展开式的常数项是：
2562527x T T +=+=g ．
15．如图1，∵函数(1)y f x =+的图象关于直线1x =-对
称，()y f x =∴是偶函数，又因为(0)x ∈+∞，时， 2()|log |f x x =，利用对称性可得()y f x =的图象，
1(3)(2)4f f f ⎛⎫
>-> ⎪⎝⎭
∴，b a c >>．
16．22sin 3sin 2A A =∵，1cos 3sin A A -∴，π1sin 62A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭∴，2π3A =∴，
sin()2cos sin B C B C -=∵，sin cos 3cos sin B C B C =∴，222
2a b c b ab +-g
∴ 222
32a c b c ac +-=g
，22222a b c =-∴，22222cos 22b c bc A b c +-=-∴， 2
30b b
c c
⎛⎫--= ⎪⎝⎭，113b c +=
∴ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得1111
3253a a d a d a d +<+⎧⎨++>+⎩，
，
解得
35
22
d <<， 又d ∈Z ，2d =∴， 1(1)221n a n n =+-=-g ∴．
…………………………………………………（4分）
（Ⅱ）111
(21)(21)
n n n b a a n n +=
=
-+g ∵， 图1
1111
133557(21)(21)
n S n n =
++++
⨯⨯⨯-+∴… 1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭… 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
21
n
n =
+， 12123521m m
S S S m ===
+∴，，， ∵2S 为1S ，()m S m *∈N 的等比中项， 2
21
5321m m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭
g ∴，
12m =∴． ………………………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）列联表补充如下．
……………………………………………………………………………（2分） （Ⅱ）
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++∵，
28.333K ≈∴，
又2(7.879)0.0050.5P K ==∵≥%，
∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关． ……………………………（6分）
（Ⅲ）根据题意得0123x =，，，， 37310C 357(0)C 12024
P x ====；
2173310C C 6321
(1)C 12040
P x ====；
1273
310C C 217(2)C 12040
P x ====；
患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计
30
20
50
33310C 1
(3)C 120
P x ===．
………………………………………………………（10分）
分布列如下：
x 0 1 2 3
p
724 2140 740 1120
721719()012324404012010
E x =⨯
+⨯+⨯+⨯=， 2
2
2
2
97921979149()012310241040104010120100D x ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
……………………………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图2，取1A B 的中点为F ，连接DF ，EF ，
E ∵为AB 的中点，
1EF AA ∴∥，且11
2EF AA =， 1CD AA ∵∥，且11
2
CD AA =
， EF CD ∴∥，EF CD =， EFDC ∴是平行四边形， CE DF ∴∥，
DF ⊂∵平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， CE ∴∥平面1A BD ．
………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）解：如图，以E 为坐标原点，EB ，EC ，EF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，设12AA a =，
则(100)B ，，，(03)D a ，，，1(102)A a -，，， (13)BD a =-u u u r
，，，1(13)A D a =-u u u u r ，，， 1BD A D ⊥u u u r u u u u r ∵， 10BD A D =u u u r u u u u r
g ∴，
图2
2130a -+-=∴， 2a =∴，
(132)BD =-u u u r ∴，，，1(2022)BA =-u u u r
，，， 设()n x y z =r
，，为平面1A BD 的法向量，
则3202220x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，， 令2x =，则1z =，0y =， (201)n =r
∴，，，
易得平面ABC 的一个法向量是(001)m =u r
，，
， 13
cos 3||||31
n m n m n m ===⨯r u r
r u r g r u r g ∴<，>，
∴平面1A BD 与平面AB C 所成角的二面角（锐角）的余弦值为3
3
． ………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得1
2
c e a =
=，1c =， 2a =∴，3b =，
∴椭圆C 的方程为：22
143x y +=．
………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，， 由2214
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
，
得222(43)84120k x kmx m +++-=，
122
843
km
x x k -+=+∴，212241243m x x k -=+， AB ∴的中点为22434343km
m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，， ∵M 在直线1l 上，
22433404343
km m
k k -⨯
+⨯=++∴，
0m ≠∵，1k =∴，
1287
m
x x +=-
∴， 212412
7
m x x -=
， 222121246
1()477
AB k x x x x m =++-=
-∴， 原点O 到AB 的距离为2
d =
，
2222
2323(7)(7)372
m m S m m +-=-⨯=∴≤，
当且仅当27
2
m =时取到等号，并且检验0∆>成立．
………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）22()(21)()()[(1)]f x x a x a a x a x a '=-+++=--+∵， 令()0f x '=，得11x a =+，2x a =， 令()0f x '>，得x a <或1x a >+， 令()0f x '<，得1a x a <<+， ()f x ∵在1x =处取得极大值，
1a =∴． ……………………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）2
2
2
211()(21)()24
a f x x a x a a x +⎛
⎫'=-+++=-- ⎪⎝⎭∵，
1
()4
f x '-∴≥，
m ∀∈R ∵，直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线，
()f x k '≠∴对x ∈R 成立，
1
4
k <-∴．
………………………………………………………………………（8分）
（Ⅲ）1a >-∵，
10a +>∴，
①当1a ≥时，()0f x '≥对[01]x ∈，成立，
2max 1()(1)6
f x f a ==-∴，
②当01a <<时，()f x 在(0)a ，上递增，在(1)a ，上递减，
32max 11
()()32f x f a a a ==+∴，
③当0a =时，()f x 在(01)，上递减，
max ()(0)0f x f ==∴，
④当10a -<<时，()f x 在(01)a +，上递减，在(11)a +，上递增， (0)0f =∵，21
(1)6f a =-，
∴当1a -<<
2max 1
()(1)6f x f a ==-，
当a =时，max ()(0)(1)0f x f f ===，
当0a <<时，max ()(0)0f x f ==，
综上所述：
当1a ≥或1a -<<
2max 1
()(1)6f x f a ==-；
当01a <<时，32max 11
()()32f x f a a a ==+∴；
当a =时，max ()(0)(1)0f x f f ===；
当0a <≤时，max ()(0)0f x f ==． ………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）C ：2
2
143x y +=，轨迹为椭圆，
其焦点为1(10)F -，，2(10)F ，，2AF k =∴
∴直线2AF 的方程为：1)y x =-，
∴直线2AF 的极坐标方程为：sin ρθθ+= …………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2AF k =，
2l AF ⊥∵，l ∴，倾斜角为π6，
l ∴的参数方程为3121
2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
，
（t 为参数），
上式代入椭圆C 的方程式中得：213123360t t --=， 12123t t +∴，1236
13t t =-，
1112123
||||||||MF NF t t -=+∴． ……………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）当2x ≥时，()6f x x +≤可化为： 236x x x -+++≤，
解得5x ≤，25x ∴≤≤，
当32x -<<时，()6f x x +≤可化为：236x x x -+++≤， 解得1x -≥，12x -<∴≤，
当3x -≤时，()6f x x +≤可化为：236x x x ---+≤， 解得7
3x -≥，∴无解，
综上所述，()6f x x +≤的解集为[15]-，． …………………………………（5分） （Ⅱ）()|2||3|f x x x =-++的最小值为5， 24f x x x a -++∵()≥在R 上恒成立，245x x a -++∴≤在R 上恒成立， 1a ∴≤． ………………………………………………………………………（10分）。