2020-2021学年福建省福州市四校联考高一上学期半期(期中)考试数学试题(解析版)

2020-2021学年福建省福州市四校联考高一
上学期半期（期中）考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,4,4,5U A B ===，则()U A B ⋂=（ ）． A ．{3} B ．{1，3}
C ．{3，4}
D ．{1，3，4}
【答案】B
【分析】先求出集合B 的补集，再求()U A
B
【详解】解：因为{}1,2,3,4,5U =，{}4,5B =， 所以
{}1,2,3U
B =，
因为{}1,3,4A =， 所以{}()1,3U A
B =，
故选：B.
2．命题“R x ∀∈，21x >”的否定是（ ） A ．R x ∃∈，21x ≤ B ．R x ∃∈，21x < C ．R x ∀∈，21x < D ．R x ∀∈，21x ≤
【答案】A
【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，需改变量词且否定结论，所以，命题“R x ∀∈，
21x >”的否定是“R x ∃∈，21x ≤”.
故选A
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3．设a ∈R ，则“a > 0"是“a 2 > 0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】解：当0a >时，20a >，
当20a >时，0a <或0a >，
所以“a > 0"是“a 2 > 0”的充分不必要条件， 故选：A
4．我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card()A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{,,}A x y z =，则card()=3A .若非空集合,M N 满足card()M =card()N ，且M N ⊆，则下列说法错误．．的是（ ） A ．M N M ⋃= B ．M N N =
C ．M N N ⋃=
D ．M N ⋂=∅
【答案】D
【分析】根据()()card M card N =，且M N ⊆即可得出M N ，从而看出选项D 不正
确．
【详解】根据()()card M card N =，且M N ⊆得，M N ；
M
N M ∴=，M
N N =，M
N N =正确，
显然M
N =∅不正确，因为M ，N 不一定是空集．
故选D ．
【点睛】本题主要考查有限集的定义，集合元素个数的定义，列举法的定义． 5．设0<x <1
2
，则x (1-2x )的最大值为（ ） A ．
19
B ．
29
C ．
18
D ．
14
【答案】C
【分析】由于2121x x +-=为常数，且120x ->，所以利用基本不等式求x (1-2x )的最大值即可
【详解】解：因为0<x <
1
2
，所以120x ->， 所以2
112121
(12)2(12)2228
x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-≤⋅= ⎪⎝⎭，
当且仅当212x x =-，即1
4
x =时取等号， 所以(12)x x -的最大值为18
， 故选：C
6．下面各组函数中表示同个函数的是（ ）
A ．()f x x =，()g x
=
2
B ．()f x x =，(
)g x =C ．()21
1
x f x x -=-，()1g x x =+
D ．()x
f x x =
，()1010x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，，
【答案】B
【分析】当函数的定义域和对应关系分别相同时，才是同一函数，所以逐个分析判断即可
【详解】解：对于A ，()f x x =的定义域为R ，而()g x
=2
的定义域为[0,)+∞，
两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B ，两个函数的定义域都为R ，定义域相同，(
)()g x x f x ===，所以这
两个函数是同一函数；
对于C ， ()21
1
x f x x -=-的定义域为{}1x x ≠，而()1g x x =+的定义域是R ，两函数
的定义域不相同，所以不是同一函数； 对于D ，()x
f x x =
的定义域为{}0x x ≠，而()1010x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，，
的定义域是R ，两
函数的定义域不相同，所以不是同一函数， 故选：B.
7．已知2
31,0
()21,0
x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩，若()(1)8f a f +-=，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．2±
D ．3±
【答案】C
【分析】先根据题意求得()=7f a ，再利用分段函数函数值讨论求解自变量即得结果. 【详解】依题意，(1)=1f -，由()(1)8f a f +-=得()=7f a ， 若0a >，则()=3+1=7f a a ，故=2>0a ，符合题意；
若0a <，则2
()=21=7f a a -，故24a =，故=2<0a -，符合题意. 故选：C.
8．1
3
23a ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，23
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13
13c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c a b >>
B ．a b c >>
C ．a c b >>
D ．b c a >>
【答案】C
【分析】先利用13
y x =的单调性比较a ，c 的大小，再利用1
()3x
y =比较b ，c 的大小可
得.
【详解】先比较a ，c 的大小关系， 由13
y x =在R 上是增函数可得：a c >， 先比较b ，c 的大小关系，
由1()3
x
y =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>， 故选：C.
【点睛】比较数的大小时，我们要找到它们的共性，合理利用对应函数的单调性是解决此类问题的关键.
9．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且
32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】C
【分析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，
又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以
(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 10．若不等式2220mx mx +-<对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,0)- B ．(2,0]-
C ．(,0)-∞
D ．(,0]-∞
【答案】B
【分析】分类讨论m 与0的关系，0m =时恒成立，0m ≠时，只需二次函数图象开口向下且与x 轴无交点，进而求解. 【详解】①0m =时，20-<恒成立；
②0m <，△2(2)80m m =+<，解得20m -<< 综上，20m -<，
故选B ．
【点睛】考查分类讨论的思想，数形结合，不等式恒成立与二次函数图象的关系. 11．某容器如图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止.记容器内水面的高度h 随时间t 变化的函数为()h f t =，则()h f t =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】根据容器的特点分析水面高度的变化情况得解.
【详解】由图知，容器两头小，中间大，在水流速度一定的情况下，水面高度h 在达到容器体积12前应该是逐渐变慢；达到容器体积1
2
后，逐渐加快. 故选D
【点睛】考查识图能力，水面高度h 在达到容器体积1
2
前应该是逐渐变慢；达到容器体积
1
2
后，逐渐加快，是解决本题的关键点． 12．定义函数[]x 为不大于x 的最大整数，对于函数()[]f x x x =-，有以下四个结论：①(2019.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +,k Z ∈上,()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫
⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；④()y f x =的定义域是R ,值域是[0,1).其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】根据函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】对于①中，(2019.67)2019.67[2019.67]2019.6720190.67f =-=-=，
所以是正确的；
对于②中，结合图象，可得在每一个区间[,1)k k +,k Z ∈上,()f x 都是增函数是正确的； 对于③中，由1
1411
()(1)()55555
f f -=-
--=>= ，所以是错误的； 对于④中，结合图象，可得函数()y f x =的定义域是R ,值域是[0,1)，所以是正确的. 故选C.
【点睛】本题主要考查了函数新定义问题，以及函数的性质的应用，其中解答中正确把握函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
二、填空题
13．若函数32
()(1)f x x b x x =+-+是定义在[2,1]a a -上的奇函数，则a b +=______.
【答案】0
【分析】先根据奇函数的定义域求出a 的值，再利用奇函数的定义求出b 的值即得解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以其定义域关于原点对称， 所以2+1=01a a a -∴=-，.
由题得3
2
3
2
()(1)(1)f x x b x x x b x x -=-+--=---- 所以2
2(1)0b x -=对于定义域内的每一个值都成立， 所以10,1b b -=∴=. 所以a b +=0. 故答案为0
【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，3(2)x
f x =-，则
(1)f -=_______.
【答案】﹣1
【分析】利用偶函数的性质，求出f （1）的值，然后求出f （﹣1）即可． 【详解】因为函数是偶函数，所以f （﹣1）＝f （1）， 又当0x >时，()23x
f x =-，
则f （1）＝21﹣3＝﹣1， ∴f （﹣1）＝﹣1． 故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，考查计算能力．
15．设p ：x <2，q ：x <a ．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,2)-∞
【分析】由必要不充分条件的定义直接求解即可
【详解】解：设p ：x <2，q ：x <a ．若p 是q 的必要不充分条件， 所以2a <，
所以实数a 的取值范围为(,2)-∞， 故答案为：(,2)-∞
16．设奇函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()20f =，则不等式()()
f x f x x
--<的解集为______. 【答案】()
()2,00,2-
【分析】由函数()f x 为奇函数，可得不等式即
()
20f x x
<，即x 和()f x 异号，故有()00x f x >⎧⎨
<⎩，或()0
0x f x <⎧⎨>⎩
；再结合函数()f x 的单调性示意图可得x 的范围. 【详解】由函数()f x 为奇函数，可得不等式即
()
20f x x
<，即x 和()f x 异号， 故有()00x f x >⎧⎨<⎩，或()
0x f x <⎧⎨
>⎩. 再由()20f =，可得()20f -=，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，可得函数()
f x
在(),0-∞上也为增函数，画出函数单调性示意图：
结合函数()f x 的单调性示意图可得20x -<<或02x <<. 故答案为：()
()2,00,2-
【点睛】函数奇偶性与单调性结合问题，可画出函数取值的示意图，判断正负，本题属于中等题型.
三、解答题
17．计算：（1）0
2
2
0.254
3
61822772-⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
； （2）已知：112
2
3a a
-
+=，求1222
2a a a a --+++-
【答案】（1）4，（2）
1
5
【分析】（1）把根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂运算性质求解即可； （2）对11
223a a -+=两边平方化简求出1a a -+，再平方可求出22a a -+的值，从而可求出结果
【详解】解：（1）原式23
1323
4
4
122(3)2=-⨯+-
1294=-+-
4=
（2）由1
1
223a a -+=，得1
1
12229a a a a --++=，得17a a -+=， 所以212249a a a a --+⋅+=，所以2247a a -+=，
所以122
272912472455
a a a a --+++===+-- 18．已知集合22162x
A ⎧⎫⎪⎪=<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，{}3221B x a x a =-<<+． （1）当a =0时，求A ∩B ；
（2）若A ∩B =∅．求实数a 的取值范围． 【答案】（1）112x x ⎧⎫-
<<⎨⎬⎩⎭
，（2）3
4a ≤-或2a ≥ 【分析】（1）先求出集合A ，再求两集合的交集；
（2）当B =∅时，有3221a a -≥+，当B ≠∅时，3221
1212
a a a -<+⎧⎪
⎨+≤-⎪⎩或
3221
324a a a -<+⎧⎨
-≥⎩
，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】解：（1）当0a =时，{}
21B x x =-<<，
由
2162
x <≤得，142
222x -<≤，解得142x -<≤， 所以1|42A x x ⎧
⎫=-
<≤⎨⎬⎩
⎭
, 所以112A
B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭
，
（2）①当B =∅时，满足A ∩B =∅，此时3221a a -≥+，解得3a ≥； ②当B ≠∅时，因为A ∩B =∅，
所以3221
1212
a a a -<+⎧⎪
⎨+≤-⎪⎩或3221324a a a -<+⎧⎨
-≥⎩， 解得3
4a ≤-
或23a ≤<， 综上，3
4
a ≤-或2a ≥
19．已知函数()21
ax f x bx
+=，且()13f =，()922f =.
（1）求,a b 的值，写出()f x 的解析式；
（2）判断()f x 在区间[
)1
+∞，上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】（1）221
a 2
b 1x f x x
+===，，（）；（2）f （x ）在[1，+∞）上单调增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据待定系数法求出a ，b 的值，求出函数的解析式即可；
（2）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可．
【详解】（1）由()()13922f f ⎧=⎪
⎨=⎪⎩⇒1
341922a b a b +⎧=⎪
⎪⎨
+⎪=⎪⎩⇒21a b =⎧⎨=⎩； 则f （x ）221
x x
+=； （2）证明：任设l ≤x 1＜x 2，
f （x 1）﹣f （x 2）221212
2121
x x x x ++=-=（x 1﹣x 2）•121221x x x x -，
∵x 1＜x 2∴x 1＜x 2＜0， 又∵x 1≥1，x 2≥1
∴x 1﹣x 2＜0，x 1x 2≥1，2x 1x 2≥2≥1， 即2x 1x 2﹣1＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0， 即f （x 1）＜f （x 2）
故f （x ）在[1，+∞）上单调增函数．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，考查根据定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．
20．已知定义域为R 的函数，12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数.
（1）求a ，b 的值；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）2a =，1b =；（2）1
3
k <-.
【分析】（1）根据()00f =，可得1b =，再由()()11f f =--即可求解.
（2）判断()f x 在R 上为减函数，结合函数为奇函数可得2222t t t k ->-+，从而可得对一切t ∈R 有2320t t k -->，由∆<0即可求解. 【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00f =，即
102b
a
-+=+，解得1b =.
从而有121()2x x f
x a
+-+=+. 又由()()11f f =--，知11212
41a a
-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22
x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意. （2）由（1）知12111()22221
x x x f x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，
又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()
22220f t t f t k -+-< 等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.
因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.
即对一切t ∈R 有2320t t k -->，
从而4120k ∆=+<，解得13
k <-.
21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为x 米，如图所示.
（1）将两个养殖池的总面积y 表示x 为的函数，并写出定义域；
（2）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？
【答案】（1）1500(3)(5)y x x
=--，定义域为{|3300}x x <<；（2）当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米． 【分析】（1）依题意得温室的另一边长为
1500x 米．求出养殖池的总面积1500(3)(5)y x x
=--，然后求解函数的定义域即可．（2）
15004500(3)(5)1515(5)y x x x x
=--=-+，利用基本不等式求解函数的最值即可． 【详解】（1）依题意得温室的另一边长为
1500x 米． 因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x
=--， 因为30x ->，150050x
->，所以3300x <<． 所以定义域为{|3300}x x <<．
（2）15004500(3)(5)1515(5)y x x x x
=--=-+
1515-151********=-=，
当且仅当
45005x x
=，即30x =时上式等号成立， 当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米． 【点睛】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．
22．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的图象过点(0,3)，且不等式20ax bx c ++≤的解集为{|13}x x ≤≤.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若()()(24)g x f x t x =--在区间[1,2]-上有最小值2，求实数t 的值；
（3）设2()4h x mx x m =-+，若当[1,2]x ∈-时，函数()y h x =的图象恒在()y f x =图象的上方，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) 2()43f x x x =-+；(2) 1t =或1t =-；(3) 3m >.
【分析】（1）通过(0)3f =，求出3c =，利用1和3是方程20ax bx c ++=的两根，
结合韦达定理，求解函数的解析式．（2）
2()()(24)23g x f x t x x tx =--=-+，[1x ∈-，2]．对称轴为x t =，分当1t -时、当12t -<<时、当2t 时情况讨论函数的单调性求解函数的最值即可．
（3）当[1x ∈-，2]时，()()0h x f x ->恒成立．推出2231
x m x +>+，[1x ∈-，2]．构造函数通过换元法以及函数的单调性求解函数的最值，转化求解实数m 的取值范围．
【详解】（1）由(0)3f =，得3c =，
又1和3是方程20ax bx c ++=的两根， 所以3c a =，4b a
-=． 解得1a =，4b =-，
因此2
()43f x x x =-+．
（2）2()()(24)23g x f x t x x tx =--=-+，[1x ∈-，2]． 对称轴为x t =，分情况讨论：
当1t -时，()g x 在[1-，2]上为增函数，()(1)242min g x g t =-=+=，
解得1t =-，符合题意；
当12t -<<时，()g x 在[1-，]t 上为减函数，()g x 在[t ，2]上为增函数，2()()32min g x g t t ==-+=，
解得1t =±，其中1t =-舍去；
当2t 时，()g x 在[1-，2]上为减函数，()min g x g =（2）742t =-=， 解得54
t =，不符合题意． 综上可得，1t =或1t =-．
（3）由题意，当[1x ∈-，2]时，()()0h x f x ->恒成立． 即2231
x m x +>+，[1x ∈-，2]． 设2231
x y x +=+，[1x ∈-，2]，则max m y >． 令2x t =，于是上述函数转化为32111
t y t t +==+++， 因为[1x ∈-，2]，所以[0t ∈，4]， 又211
y t =++在[0，4]上单调递减，所以当0t =时，3max y =， 于是实数m 的取值范围是3m >．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，构造法的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，分类讨论思想的应用，是难题．。