六年级奥数综合练习五

六年级奥数综合练习五
1、 已知a 是质数，b 是偶数，且a 2+b 2=788,则a ×b=_____。

2、 已知a ，b ，c 都是质数，并且a+b+c+ab +bc +ac =133，则abc =_____.
3、 一个大于0的自然数M ，它是7和11的倍数，并且被13除余11，求M 的最小值。

4、 四位数abc 7比四位数7cba 大3546，求abc 7。

5、 若4037位数555⋯555⏟ 2018个5□999⋯999⏟ 2018个9
能被7整除，求□所代表的数字。

6、 若A 是B 的13，B 是C 的25，求A C 。

7、 求72016的十位数字。

8、从100以内的25个质数中任取两个构成真分数，这样的真分数有几个？假分数有几
个？
9、a，b，c是三个不同的自然数，且a×b×c=210，求a+b+c的最大值和最小值。

10、设a，b是两个不相等的非零自然数，若a，b的最小公倍数是72，则a+b有几种
不同的值。

11、有一个自然数X，除以3，得余数是2，除以5，得余数是3，求X除以15，得到的余数。

12、若m，n都是质数（m＜n），且5m+3n=97，求mn的值。

答案与分析
1、56.【分析】b是偶数，则b2也是偶数，偶数+偶数=偶数，所以a也是偶数；又a是质数，所以a=2。

则有b2=788-4=784，得b=28（可以通过缩小范围法，也可以用分解质因数法）。

2、154.【分析】如果三个质数都是奇数，则ab、bc、ac都为奇数，六个奇数相加为偶数，而133为奇数，所以三个质数中必定有一个2。

根据等式各项的对称性，假设a=2，则2+b+c+2b+bc+2c=133，即3（b+c）+bc=131，所以（b+3）（c+3）=140=22×5×7，得b=7，c=11
3、154.【分析】采用代数表示式，M=7×11k（k为不等于0的自然数）=13m+11（m为自然数）。

13m=77k-11，所以13|77k-11=13|k+11，则k=13n+2，代入得：M=1001n+154
4、7493、7383、7273、7163、7053.【分析】方法一（代数法）：用代数式来表示两个数及关系，可得c=3，b-a=5，找出满足要求的数即可。

方法二（数字谜法）：c-7=6，可得c=3；又通过7-c=3，判断百位向千位借“1”了，所以a＜b，可得b-a=5。

5、0或7.【分析】这个4037位数可以写成555⋯555
⏟
2018个5×102019+999⋯999
⏟
2018个9
+□×102018，因为
aaaaaa
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=aaa
̅̅̅̅̅×1001，即7|555555，7|999999，又6|2018，所以7|555⋯555
⏟
2018个5
×102019，7|999⋯999
⏟
2018个9。

6、215.【分析】循环替换法。

A=13B ，B=25C ，则A=13×25C=215C 。

于是有A C =215
7、0.【分析】方法一：找规律法。

71=7，72=49，73=343，74=2401，75=*07，75=*49，显然每4个循环一次，4|2016，所以十位是0。

方法二：余数法。

这个数的十位数字，即求除100的余数。

100=4×25，72016=（8-1）2016=491008=（50-1）1008。

（8-1）2016≡1（mod4），（50-1）1008≡1（mod25），∴72016≡1×1（mod100）=1（mod100）
8、300；300.【分析】把25个质数从小到大排列，真分数是分母比分子大的分数，即第n 个质数为分母的真分数有（n-1）个，所以这25个质数可以构成的真分数有
1+2+3+…+24=300个。

如果把这25个质数从大到小排列，按以上方法，得到的是假分数，同样是300个。

9、108；18.【分析】210=1×2×3×5×7，∵a 、b 、c 互不相同，∴使a+b+c 最大，则使差值最大，即可取1+2+105=108；使a+b+c 最小，则使差值两两最小，即可取5+6+7=18.
10、17.【分析】72=23×32，∴a 、b 都小于等于72；∵a ≠b ，且都为非零自然数，∴通过设定一个数进行讨论。

1）若a=72，则b 可能是72除本身外的因数，合计3×4-1=11个；2）若a=36，则b=8、24（因为a 、b 具有对称性，所以b 不取大于a 的数，以避免a+b 的值重复）；3）a=24，则b=9，18；4）a=18，则b=8；5）a=9，则b=8。

共17个。

11、8.【分析】方法一：找同余。

先分析题目给出的条件，看能不能得到同余（或同
缺）。

“除3余2，除5余3”等同于“除3余8，除5余8”，所以X=15k+8；方法二：不
定方程法。

X=3m+2=5n+3，即3m=5n+1，∴3|5n+1，则有n=3k+1，代入X=5n+3，则X=15k+8
12、58.【分析】∵97是奇数，∴5m、3n有一个必定为偶数；又∵m、n都是质数，且m ＜n，∴m=2。

根据等式，可求得n=29。

所以mn=2×29=58。