林群微积分小卡片
欣赏别样的数学——有感于林群院士的《微积分快餐》
积分 ．
９８ －
数 学教 学
２ １ 年第 ９ ００ 期
微 积分是 个 敏感 的话 题， 一 内容 在我 国 中 这 学 教材 中 已经几 进 几 出， 新 一 轮课 改 中， 又 在 它 进 入 了 高 中教 材 ．到 现在 还 听到 许 多 非议 的声
学 习 ， 教育 数 学 为 自 己提 出的 任务 ．张先 生 形 是 象 地把 这 比喻为 研 究改 良核桃 的 品种 ， 之更 美 使 味 ， 富于 营养 ， 容 易砸 开． 学 出版社 出版 的 更 更 科 《 走进 教 育 数 学》丛 书 提 供 了认 识 这些 数 学家 工 作 的窗 口．在这 里 我们从 品 位改 良过 的核 桃新 品
种 中， 欣赏到大师们奉献出一种别样的数学， 深
入 浅 出， 想深 刻 ， 景 幽默 ， 言 诙谐 ， 人 耳 思 场 语 令 目一 新 ．它 一 改 传统 数 学 在 人 们心 目中 的形 象 ，
数学本来 的面貌原来是这样： 生动活泼， 美而神
奇．
了远 比以往任何时代更高的要求， 另一方面数学 却 由于其学科特 点与学生和公众 的距离越来越 疏远了． 因此， 国民素质、 谈 素质教育、 数学素质 的 提 高 显然 还 提 不到 议 事 日程 上 ． 实， 学 教 其 数
认 为 推进 数学 课 程 改 革 不 能 局 限于 研 究 改 进 教
学院院士．光看书名就知道这是一种别样的数 学． 快餐， 一般人都熟悉， 如麦当劳、肯德基、永 和豆浆、… … ， 可微积分一般人未 必熟悉， 它 怎 么 能和 快 餐 联 系起 来 了？
快餐 是 现 代 社会 的产 物 ， 随着 人 们 生 活、工 作 节 奏 的加快 ， 餐 以 省时 、便 捷 的 方式 满 足 了 快 人 们 的 饮 食 需 求 ．在 工 作 与 生 活 节 奏 加快 的 现
-广义积分
例1 解
计算
0
xe
x2
d x.
0
xe
x2
d x lim
A
A 0
xe
x2
dx
令 u x2
1 A2 u lim e d u A 2 0 1 lim (e u ) A 2
A2 0
能否将这里的书 写方式简化？
1 A2 1 lim ( e ) A 2 2 1 . 2
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f ( x) 在 [a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f ( x) R( [a, A] ) . 记
a
f ( x) d x lim
A
A a
0
0
cos x d x sin x
x
lim sin x sin 0 ,
由于 lim sin x 不存在，故原积分
x 0
cos x d x 发散 .
例5 解
dx a x p (a 0) 的敛散性， 其中P 为任意常数. 讨论 P－积分
当 P 1 时:
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
f ( x) d x .
c
f ( x) d x f ( x) d x [ f ( x) g ( x)] d x u ( x)v( x) d x u ( x)v( x)
c
f ( x) d x
cR.
a
f ( x) d x
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
林群院士的《微积分魔术》简介
林群院士微积分简介讲稿史月杰2012年6月微积分魔术摘要算术拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改变难度甚或把困难变走，微积分也有这么一招…．微积分何用一、引入：微积分躲不开、绕不过，高中学它能快速解题、有利减负，对大学理工科学习都有好处。
而对于文史类就不要学吗？托尔斯泰对《战争与和平》的解读：只有采取无限小的观察单位——历史的微分，并运用积分的方法得到这些无限小的总和，我们才能得到问题的答案——历史的规律．正是这种微积分，纠正了人类由于只观察个别单位所不能不犯下的和无法避免的错误。
例1，买菜只用初等算术，但存款利息的算法？复利或利滚利，底数每分秒在变化，要用微积分；例2，人口预测。
2000年大陆人口普查，挨家挨户总动员，查了一年多，得12.66亿，又慢又费；若用微积分，只要一个大学生花5分钟，得13.45亿，又快又省，相差8000万（6.4%）可解释为人口流动和少报造成．此例凸显了微积分的效率例3，有天气预报、地震预报。
2011年6月日本宣布滨冈核电地带在30年内发生8级地震的概率高达87% 该核电因此被叫停，从而可能挽救多少人，像2011年3月日本地震引发核泄漏，全世界为之买单，中国的菠菜也测到污染．简言之，从人间、天上直到地下，许多事都会用到微积分．二、微积分与算术对照计算买菜之类日常只需要初等算术，有加减乘除表，但是预报地震之类人命关天之事需要一种全新的算术，叫微积分，专门来计算函数的导数与积分，有导数与积分表（简称两张表，见本文第一篇末），其功能就像加减乘除表一样，高中学生不可不知（知其然且知其所以然）．这就是微积分中压倒一切的重点，破解微积分先破解两张表．上天偏袒，最重要的东西反而容易：这两张表的真相被缩小到两条代数式（书中式（1-14）（1-15））上，完全的证明或推导又缩小到几步高中数学（甚或几个裸例上）没有更多概念或定理，复杂度猛降甚或变走，高中学生也能明白（知其所以然），微积分高中化了，这是当务之急．将传统的论证从数百页缩小到几页上？秘密何在？幼儿在计算2+9时由2出发用手掰9下才算出来，一旦变到9+2时由9出发只要掰2下，难度降低了，甚或把困难变走了．初等算术如此，对比高等的微积分，也有同理：一旦变个角度，偶然的火花，能把计算导数/积分的困难（小除数/无穷次相加）变走，改变形势打破僵局，所以也被比作变魔术。
《微积分》PPT课件
公式.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
10
说明: ① 使用公式 (1) 必须是 X－ 型域, 使用公式 (2) 必 须是 Y － 型域. ② 若积分区域既是 X － 型区域又是 Y－ 型区域,
则有
f ( x, y ) d x d y
dx
a
d
y
y 2 ( x)
D b
x 1 ( y)
微积分Ⅰ
第九章
重积分
6
在 [a, b] 上任意取定一点 x0, 作平行于 yOz 面的平
面 x = x0, 则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区 间 [ 1 (x0), 2 (x0) ] 为底、曲线 z = f (x0 , y) 为曲边的 曲边梯形.
z
z f ( x, y)
y
A( x0 )
2
R
它的底为 D {( x, y ) | 0 y R2 x 2 , 0 x R},
微积分Ⅰ
第九章
重积分
23
∴所求体积为
8
R
0
R 2 x 2 dx
R2 x 2
0
dy
8 ( R 2 x 2 )dx
0
R
16 3 R . 3
微积分Ⅰ
第九章
重积分
24
1 x
y x
1
微积分Ⅰ
第九章
重积分
21
说明: ① 计算二重积分时, 选择积分次序是比较重要的 一步, 积分次序选择不当, 可能会使计算繁琐, 甚至无
法计算. 一般地, 既要考虑积分区域 D 的形状, 又要考
虑被积函数 f (x, y) 的特性. ② 应遵循 “能积分, 少分快, 计算简” 的原则.
《微积分九版》课件
微分概念
总结词
微分概念是微积分中的基础概念，它描述了函数在某一点附近的小变化。
详细描述
微分表示函数在某一点附近的小变化量，即函数值的增量与自变量增量的比值在增量趋于零时的极限 。微分的几何意义是函数图像在该点附近的一条切线。微分在近似计算、误差估计等方面有重要应用 。
积分概念
总结词
积分概念是微积分中的基础概念，它描 述了函数在某个区间上的整体效果。
弹性分析主要关注两个经济变 量之间的相对变化率，例如需 求价格弹性和供给价格弹性等 。通过计算这些弹性的导数， 可以了解它们之间的相互影响 和最优决策。
弹性分析涉及的公式包括弹性 系数的计算，例如需求价格弹 性和供给价格弹性的计算公式 。
例如，在价格制定中，企业会 计算需求价格弹性，以确定最 优的价格策略。
则描述了物体角动量的变化规律，公式为 dL/dt=M。
万有引力定律
总结词
描述物体间相互吸引的力的大小和方向。
详细描述
万有引力定律指出，任何两个物体间都存在相互吸引 的力，大小与两物体的质量成正比，与距离的平方成 反比，方向沿着两物体连线的方向。公式为 F=G(m1m2/r²)。
CHAPTER 06
《微积分九版》ppt课 件
contents
目录
• 微积分简介 • 微积分基础知识 • 微积分基本定理 • 微积分运算技巧 • 微积分在物理中的应用 • 微积分在经济学中的应用
CHAPTER 01
微积分简介
微积分的起源
微积分起源于17世纪的欧洲，是数 学的一个重要分支，主要用于研究连 续变化的量。
化趋势和最优决策。
公式
边际分析涉及的公式包 括导数和偏导数的计算 ，例如求导公式、链式
林群院士的《微积分魔术》简介及全文
微积分是算术林群（linq@lsec．cc．ac．cn）序——等式微积分微积分压倒一切的任务就是两个算术运算：求函数的导数以及求导数的积分，相应于除法以及加法．由多项式n x（甚或2x）开始，那么进入微积分可以通过等式（简称等式微积分）无须不等式．微积分一下雾散天晴了！一唱雄鸡天下白这对多数人就够了，知足了．剩下只是复制到更一般的函数．这里前者（多项式）才是原作或酵母，后者只是推广或发酵．于是，我们有了各种函数的微积分．简言之，我们的秘密就是建立等式微积分，首先对原件n x进行，然后再将这个过程由原件n x复制到各种函数上．复印机这个序言则是通过2x 推开等式微积分的窗口．序幕：2x 的微积分导数微积分之首是导数，擒贼先擒首，先回答一个函数的导数是什么．但裸例才能凸显理论、揭秘真相，所以首先考察2x ．为了对比，先看整数相除9190.110=+若四舍五入，右边剩下整数9，大大简化了除法．再回到2x ，它的导数就是做除法22()?x h xh+-=由一步简单代数22()2x h xx h h+-=+ （0-1）别看这一小步，要解读这一等式，需要一点哲学或数学的思考，甚或产生新概念： 1. 右边分解为两项，后一项含因子h ，前一项不含．这样的分解是唯一的．其中前一项(不含因子h , 本例中为2x )只由左边函数2x 决定，在区间[,]x x h +对任一x 和h上有定义，称为2x 的区间导数，记2()'2x x=．这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h →．换句话说，通过（0-1），即使0h ≠（无论多大），也照样定义有导数（即区间导数）！注 1 以上宣称分解式（0-1)是唯一的，因为若有其它分解： ()()p x q x h +,即()()2p x q x h x h +=+ （对任意 h ）， 则 ()2(()1)0p x x q x h -+-= （对任意 h ）注意这是h 的一次多项式，于是()2,() 1.p x x q x ==.2. 下一步，当区间[,]x x h +退化到端点x ，或者说当h 退化为0，这时区间导数就回到传统的“点态导数”．由（0-1）看到平均速度如何逐渐过渡到瞬时速度．我们用区间导数，纯代数的概念，代替“点态导数”只是为了远离极限．也参看张景中的《直来直去的微积分》（科学出版社，2010），以及Y ang, Livshits, Range, Dovermann, Karcher 与Leger.等.3. 区间导数2x 可用来表示2x 的函数值在区间[,]x x h +上的变化：222()2x h x x h h+-=⋅+ （0-2）下段将看到，当大区间[,]a b 分割为若干小区间如[,]x x h +时，对后者用区间导数表示将更方便．所以，一个分解式，（0-1），可有多种解读． 有了导数做平台，再求导数的积分(需要耐心的读者)如果说，按（0-2），导数表示函数值在较小区间上的较小变化，那么，积分就是函数值在大区间[,]a b 上的总变化, 22a b -．它们之间的联系基于大区间[,]a b 可分割为1+m 段子区间0011[,],[,],,[,],1m m b a x x h x x h x x h h m -+++=+以及函数值的总变化也随之分解为1+m 个较小变化：222222221100()()()m m b a x h x x h x x h x -=+-+++-++-那么这些较小变化又方便地被表示为1+m 个区间导数，012,2,,2m x x x ：2222210210222222(1)m m b a x h h x h h x h hx h x h x h m h-=++++++=+++++或2201(222)()m x x x h b a a b h +++=-+- （0-3）余项含有因子h ，依赖于区间[,]a b ．左边的求和太长，右边简化了！跟（0-1）对比，可以复制那里的哲学或数学的思考，甚或产生新概念： 1. 上式右边也分解为两项，后一项含因子h ，前一项不含．这样的分解是唯一的．其中前项(不含因子h , 本例中为22b a -)只由左边的导数2x 决定，称为在函数2x 区间[,]a b 上的积分．这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h→．换句话说，通过（0-3），即使0h ≠（无论多大），,也照样定义有积分！2. 下一步，当分割加密（或h 减小或m 增大），（0-3）左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，22a b -，称为传统意义下的积分（即无限和或2x 的面积），2 d b ax x ⎰．这个过程表示为所期望的结果b222a2d |ba x x xb a==-⎰（0-4）即微积分基本公式．一开始知道来龙去脉就够了．2x有几个特点：一是简单（才能用等式），且全过程可以复制到多项式n x 上（见第一篇（1-6））；二是常用，如爱因斯坦甚至只用一个二次式（2E m C =）描述他的相对论(Range 补充了伽利略的自由落体运动212s gt=)；三是多项式不涉及无理数，根据伍鸿熙假设：中学数学是有理数的数学，所以多项式的微积分是理想的中学教材．现在有了多项式的微积分，对中学就够了（刘嘉荃认为中学用得最多也就是多项式表示的导数与积分），这就解了当务之急！梦想成真：中学微积分小结2x或 n x 的两种算术运算（求导数以及求导数的积分）归结到两条等式或恒等式，（0-1）（0-3），或（1-5）（1-6）．它们凸显了微积分的全过程，懂得它们也就懂了全书，所以这两条代数式怎么强调也不过分. 再极端点说：忘掉一切也不可忘了这两条代数式，它们是本书唯一需要用心之处，必须渗入血液和骨头．精通了它们也就胸有成竹，其它部分一扫而过！序是全书的脸面. 我们用心良苦，用心良苦也是得意之处，就是策划了这么一个实物样本（2x ），使微积分的概念完全由等式解读！知足常乐，知足常乐中学生或一般读者到此收兵止步．第一篇 等式的微积分将微积分看作一场大戏，有不同的角色．一个函数，作为一个角色，演出一场戏．不同的函数，作为不同的角色，演出各自的戏．接着序幕，我们进入第一幕：nx的微积分将基本等式，（0-1）（0-3），由原件2x 复制到n x ．这一复制只需要耐心． 1. 3n =：332()3(3)x h xx x h h h+-=++ （1-1）余项， h 的二次多项式，依赖于区间[,]x x h +．利用上面的区间导数与求和法（0-3）求积分：333333331100222231010222220101222222012201()()()(333)(333)(1)3(333)(222)()23(333)[()()]()2(333m m m m m m m b a x h x x h x x h x x x x h x x x h m h x x x h x x x h b a h x x x h b a a b h h b a h x x -=+-+++-++-=+++++++++=++++++++-=++++-+-+-=+++ 222231)()()22m x h b a h a b h+-+-或2223322011(333)[3()()]2m x x x h b a b a a b h h+++=-+-+- ．……（1-2）余项，h 的二次多项式，依赖于区间[,]a b ．左边的求和太长，右边简化了！这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h →！换句话说，通过（1-2），即使0h ≠（无论多大），也照样定义有积分！2． 4n =：443222()4(64)x h xx x xh h h h+-=+++ （1-3）余项， h 的三次多项式，依赖于区间[,]x x h +．利用上面的区间导数与求和法（1-2）（0-3）求积分，虽长但易：444403223403224000333222222303332220[()](464)4(2322)3142(()())2(())()2242()3()mi i i mi i i i mmmmiii i i i i m i i mi i b a x h x x h x h x h h xh h x h hx h hx h h ba b a h a b h h b a a b h h b a x h h b a b a h ========-=+-=+++=+++=+-----+-+-+-=+---∑∑∑∑∑∑∑∑322233333220()2()2()()4[2()()]mi i a b h b a h h a b h a b x h b a b a h h=--+-+---=+---∑或344332204[2()()]mi i x h b a a b a b hh ==-+---∑ （1-4）余项，h 的二次多项式（奇特：3h 这一项被消去），依赖于区间[,]a b ．左边的求和太长，右边简化了！这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h →！ 换句话说，通过（1-4），即使0h ≠（无论多大），也照样定义有积分！3. 由于（1-4）丢掉3h 这一项，不知道5n =时是否也如此:55550432234504322350000044433222233220[()](510105)101055(432)4321010315(2()())(()(4322mi i i mi i i i i mm m m mi i i i i i i i i mi i b a x h x x h x h x h x h h x hh x h h x h h x h h x h h b a a b h a b h h b a b a h a ========-=+-=++++=++++=+-+---+-----∑∑∑∑∑∑∑∑2322444433222333222304223444443324040))5(())()21010105()5()()()5()443555()()()()3225515()()()2365[mi i mi i mi i b h h b a a b h h b a x h b a h a b h a b h b a h b a h a b h b a h a b h b a h x h b a h a b h b a h x h ===+-+-+-=+-+---+-----+-+-+-=+-+-+-=+∑∑∑44333551()()()]236b a a b h b a h h-+-+-余项，h 的四次多项式，依赖于区间[,]a b ．有趣的是， 3h 这一项再次丢掉，就像 4n = 的情形．左边的求和太长，右边简化了！ 4．归纳地验证11222111221321()()(15)n n n n n nnnn n n n n n n n nn n n n n C xh C xh C xhC hx h xhhnx C x C xh C hhnxC h----------+++++-==++++=+- 余项， h 的n-1次多项式, 依赖于区间[,]x x h +，以及01122211021122000021111220[()][]((1))(2)12()()12mn nn nii i m n n n n n nn i n in i n i n mmmmn n n n nn niii ni i i i n mn n n nnii b a xh x C x h C x h C x hC h C C nxh n xh h x h hChn C C nxh b a C h h b a C h n =----=----====----=-=+-=++++=+-+++-=+--++---∑∑∑∑∑∑∑ 211()n n mn ii h b a hnx h C h---=+-=+∑或10mn nnii n xh b a C h -==--∑ （1-6）余项, h 的n-1次多项式(但不知3h 这一项是否消失），依赖于区间[,]a b ．左边的求和太长，右边简化了！这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h→！ 换句话说，通过（1-6），即使0h ≠（无论多大），也照样定义有积分！注2 如同导数的情形（见注1），分解式(1-6)也是唯一的，若有其它分解，它们的差也是h 的多项式，必相等．下一步，当分割加密（或h 减小或m 增大），（1-6）左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，n n a b -，称为传统意义下的积分（即无限和或1n nx -的面积），1d b n anxx -⎰．这个过程表示为所期望的结果b1ad |n n b n na nxx x b a-==-⎰．或b 1ad |nn baxxx n-=⎰, 当0n ≠ (1-7)此即最重要的积分表之一.多项式的微积分用等式或恒等式，（1-5）(1-6)，就够了．但对其它函数（如x），等式就不够用了．所以我们将转入不等式的微积分．后注 刚见台湾高二教材的微积分部分，也是限在多项式上，这样才适合中学生的程度．不过对基本公式的处理不同：他们直接算出二次或三次函数的积分，然后看到结果与基本公式一致，而不是去证明它．本书对多项式的导数做积分，直接证明了基本公式．后者似更简单，但主要是有普适性，不仅求出n x 的积分，而且同理可求出其它初等函数的积分．希望两方面能互相借鉴．第二篇 显式不等式的微积分第一篇利用多项式原件的等式，（1-5）（1-6），揭开求导数与积分的原理或基本过程．今转向其他显式函数，复制第一篇的论证过程，再加一点小技巧（即显式不等式）．天下文章一大抄，看你会抄不会抄．第二幕：x的微积分导数考虑根式，x ，它的导数就是做除法?x h x h+-=与多项式情形不同的是，x 的定义区间需要用不等式0x >与 0x h +≥, 或0x a ≥>,0x h a h +≥-≥（当 ||h a≤） （2-1）由两步中学代数，1x h xhx h x+-=++由于设想112x h xx≈++，上式便分解为x h xh+-12x=+21[]2()hx x x h -++. （2-2）余项, 记为 […], 不同于 (1-5)，它不再是 h 的多项式, 但 h 出现在分母中．幸亏, 这个 h 能由不等式 (2-1) （即定义区间）x a ≥,0x h +≥及其推论吃掉：2112()2x x x h a a-≤++ (2-3)1. 分解式(2-2) 是唯一的（见以后的注3）．主项12x 只由左端函数x决定，在区间[,]x x h + 当x a ≥ 与 ||h a ≤上有定义, 称为x 的区间导数, 记为1()'2x x =这一步只需要代数知识，无需传统假设："0"h →．换句话说，通过（2-2），即使0h ≠，也照样定义有导数（即区间导数）！2. 下一步，当区间[,]x x h + 退化到端点 x , 或当h 退化为 0, 这时区间导数回到传统的点态导数．3. 区间导数,12x, 可用来表示x 的函数值在区间 [,]x x h +上的变化12x h x h x+-=+221[]2()h x x x h -++ （2-4）导数的积分现在转向x 在大区间[,]a b 上的总变化, b a-. 但是大区间可分割为1m +段小区间0011[,],[,],,[,]m m x x h x x h x x h +++ , 01b a h m -=>+而函数值的总变化也随之分解为1m +个较小的变化1100m m b a x h x x h x x h x -=+-+++-++-.由 (2-4) 有[][][]112111222()mmx x x x x x b a h h hx x x h===-=+++++++或[][][]112111()222()mmx x x x x x hx x x b a h===+++=--+++ (2-5)其中的余项不再是h 的多项式, 但由（2-3）是被C h 控制:[][][]1221()(1)2mx x x x x x hm h Cha a===+++≤+= ……… (2-6)1. 分解式(2-5)是唯一的．主项ab -只由左边的导数12x决定，称为12x在区间[,]a b 上的积分．这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h →．换句话说，通过（2-5），即使0h ≠，也照样定义有积分！2. 下一步，当分割加密（或h 减小或m 增大），（2-5）左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，a b -，称为传统意义下的积分（即无限和或12x 的面积），1 d 2b ax x⎰．这个过程表示为12b baadx xb a x==-⎰将上述论证过程复制到第三幕：1x的微积分导数考虑有理多项式，如1x ，它的导数就是做除法11x hx h-+=？与多项式情形不同的是，1x的定义区间需要用不等式，如0x a ≥>,2a x h a h +≥-≥（当||2a h ≤） （2-7）由两步中学代数111()x hx hx x h --+=+由于设想211()x x h x--≈+，上式便分解为11x hx h-+21x-=+21[]()h x x h +. (2-8)余项, 记为 […], 不同于 (1-5)，它不再是 h 的多项式, 但 h 出现在分母中．幸亏, 这个 h 能由不等式 (2-7)（即定义区间）x a≥, ||2a h ≤及其推论吃掉：2312()x x h a≤+ (2-9)1. 分解式(2-8) 是唯一的．主项21x-只由左端函数 1x决定，在区间[,]x x h +当 x a ≥ 与 ||2a h ≤上有定义, 称为1x的区间导数, 记为211()'x x-= 这一步只需要代数知识，无需传统假设："0"h →．换句话说，通过（2-8），即使0h ≠，也照样定义有导数（即区间导数）！2. 下一步，当区间[,]x x h + 退化到端点 x , 或当h 退化为 0, 这区间导数回到传统的点态导数．3. 区间导数,21x-, 可用来表示1x的函数值在区间[,]x x h +上的变化11x h x-+21h x -=+221[]()h x x h + (2-10)导数的积分现在转向1x在大区间[,]a b 上的总变化,11ba-. 但是大区间可分割为1m +段小区间0011[,],[,],,[,]m m x x h x x h x x h +++ ,1b a h m -=+而函数值的总变化也随之分解为1m +个的较小变化：110011111111m mb a x hx x hx x hx -=-++-+-+++ .由 (2-10) 有[][][]12222111111()mx x x x x x mh h h h b a x x x ===----=+++++++或[][][]12222111111()()mx x x x x x mh h x x x ba===---+++=--+++(2-11)其中的余项不再是h 的多项式, 但由（2-9）是被C h 控制:[][][]12232()(1)mx x x x x x hm h C ha===+++≤+= (2-12)1.分解式(2-11)是唯一的．主项11ba-只由左边的导数21x-决定，称为21x-在区间[,]a b 上的积分．这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h →．换句话说，通过（2-11），即使0h ≠，也照样定义有积分！2. 下一步，当分割加密（或h 减小或m 增大），（2-11）左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，11b a-，称为传统意义下的积分（即无限和或21x-的面积），21b adxx-⎰．这个过程表示为21111b baadx xxba-==-⎰．将上述论证过程复制到第四幕: sinx的微积分导数考虑三角函数如 x x f sin )(=,它在0x =的导数是做除法sin sin 0sin ?h h hh-==由于sin h h ≈:面积不等式 sin sin tan cos h h h h h<<=（当02h π<<）我们设想sin 1h h≈前式便分解为s i n s i n1[1]h h hh=+-……………………………..(2-13) 余项, 记为[…], 不同于(1-5)，它不再是h 的多项式，但幸亏由不等式sin cos 1h h h<<22sin 11cos 2sin22h h hh h-<-=<有推论|sin [1]h h-|||h <(2-14)1.分解式 (2-13) 是唯一的．主项1由左端函数sin x 决定，在区间[0,]h当02h π<<上定义，称为sin x 在 0x =的区间导数, 记为0(sin )'|1x x ==这一步只需要代数知识，无需传统假设："0"h →．换句话说，通过（2-13），即使0h ≠，也照样定义有导数（即区间导数）！2. 当0x ≠，计算几乎一样，只是长些（带复杂的余项）：sin()sin sin cos cos sin sin x h xx h x h xh h+-+-==sin cos 1cos ()sin ()h h x x hh-+=sin cos 1cos [cos (1)sin ()]h h x x x hh-+-+，其中常数cos x 怎么得来？因为sin 1h h≈．剩下就是余项[…]．表面复杂，最终仍被||h 控制：2sin cos 1sin cos 1cos ()sin ()sin 1cosh1(216)22h h h h h h x x h h h h h h hh hh----⎡⎤+≤+⎢⎥⎣⎦-=-+<+<-正如（2-14）那样．所以有区间导数(sin )'cos x x=3. 下一步，当区间[,]x x h + 退化到端点 x , 或当h 退化为 0, 这时区间导数回到传统的点态导数．4. 区间导数, cos x , 可用来表示sin x 的函数值在区间[,]x x h +上的变化sin cos 1sin()sin cos [cos (1)sin ()]h h x h x x h x x hhh-+-=⋅+-+………(2-17)导数的积分现在转向s i n x 在大区间[,]a b 上的总变化, sin sin b a -. 但是大区间可分割为1m +段小区间0011[,],[,],,[,]m m x x h x x h x x h +++ , 01b a h m -=>+而函数值的总变化也随之可以分解为1m +个的较小变化：1100sin sin sin()sin sin()sin sin()sin m m b a x h x x h x x h x -=+-+++-++- .由 (2-17)[][][]110sin sin cos cos cos ()mm x x x x x x b a x h x h x h h===-=+++++++或[][][]101(cos cos cos )sin sin ()mm x x x x x x x x x h b a h ===+++=--+++(2-18)其中的余项不再是h 的多项式, 但由（2-16）式被C h 控制:[][][]12()(1)()mx x x x x x h m h b a h===+++<+=- (2-19)1.分解式(2-18)是唯一的．主项sin sin b a -只由左边的导数cos x 决定，称为cos x 在区间[,]a b 上的积分．这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h →．换句话说，通过（2-11），即使0h ≠，也照样定义有积分！2. 下一步，当分割加密（或h 减小或m 增大），(2-18)左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，sin sin b a -，称为传统意义下的积分（即无限和或cos x 的面积），cos b axdx⎰．这个过程表示为cos sin sin sin b baaxdx xb a ==-⎰微积分的共同特征将三个显式函数1,,sin x xx 统一记为一个函数()f x , 定义在区间[,]x x h +上.我们有区间导数'()f x :()()'()[...],|[...]|||f x h f x f x C h h+-=+≤(2-20)注 3 这一分解是唯一的. 事实上，若有两种分解，如11()()()f x h f x g x r h+-=+与22()()()f x h f x g x r h+-=+, 其中1||r C h ≤, 2||r C h ≤, 则相差为1212()()0g x g x rr -+-=, 即1212|()()|||g x g x r r C h -=-≤（对一切h ）, 于是12()()g x g x =, 这导致 12r r =.区间导数, '()f x , 可用来表示()f x 的函数值在区间[,]x x h +上变化()()'()[...]f x h f x f x h h +-=+函数值在大区间[,]a b 上的总变化[][][]1111010()()()()()()()()'()'()'()()mm m m x x x x x x f b f a f x h f x f x h f x f x f x f x h f x h f x h h===-=+-+++-+-=+++++++或[][][]101('()'()'())()()()mm x x x x x x f x f x f x h f b f a h===+++=--+++ (2-21)余项[][][]12()(1)()mx x x x x x h C m h C b a h===+++≤+=- (2-22)其中 0h > 是剖分长度. 这一步只是纯代数，无需传统假设："0"h →．换句话说，通过（2-21），即使0h ≠，也照样定义有积分！下一步，当分割加密（或h 减小或m 增大），（2-21）左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，()()f b f a -，称为传统意义下的积分（即无限和或'()f x 的面积），'()b af x dx ⎰．这个过程表示为所期望的结果'()()()b af x dx f b f a =-⎰即微积分基本公式.等价的，但更省符号,将(2-20)(2-21)(2-22)合一起()()'()f x h f x f x C hh+--≤ (2-23)|'()(()())|mi i f x h f b f a C h=--≤∑ (2-24)其中常数C 与x 无关.第五幕:初等函数的微积分所谓初等函数，即是上述三个显式函数1,,sin x x x 的复合.这些显式函数满足(2-23)，可导致它们的复合，即初等函数，也满足(2-23). 见《微积分快餐》（北京：科学出版社，2011.04）附录2. 但 (2-23)导致(2-24), 即'()()()b af x dx f b f a =-⎰所谓微积分基本公式.简言之，我们将基本不等式，(2-23)(2-24), 由三个显式函数复制到所有的初等函数.第三篇 隐式不等式的微积分提纲 上章讨论了初等函数的微积分，用的是显式不等式(2-23)(2-24). 现在转到一般的函数，用的是εδ-, 或1<<. 它并不难，只是将 (2-23)(2-24) 由显式不等式C h ≤，复制到隐式不等式1<<：可微:=()()'()1f x h f x f x h+-- （3-1）可积:=()()|[()]|1f x h f x f x h h+-'-∑ （3-2）后者是前者的平均. 在有限情形，后者由前者导出. 可惜，这在无限情形不成立，即可积公式(3-2)不能由可微公式(3-1)导出：(3-1) 只是表示导数f '存在，而 (3-2)还要求这个导数是几乎处处连续（这里“几乎”是一个深奥的概念）. 这样的可积条件只在以后学了实变函数时再讨论. 见《微积分快餐》2.5节，但张景中书中有容易接受的方法．另一方面，容易理解的事情 (C h ≤）变得神秘了（1<<）, 这就是数学家的贡献．爱因斯坦说过，自从数学家入侵相对论以来，我就看不懂相对论了. 也许牛顿也会说类似的话．基本公式的几何解读：求曲线高此图曾发表于光明日报 (1997.06.27) 以及人民日报(1997.08.06)，并出现在早先一书《画中漫游微积分》（桂林：广西师范大学出版社，1999.01），书中考虑导数的积分，而不是函数的积分． 以后有几本书也用此图解读基本公式.总结 不同函数的微积分()f x'()f x'()d b af x x ⎰2x22()2x h xx h h+--=222mk k b a x h C h=--=∑多项式 代表 1()()n n n x h xnxC x h h-+--=1mn n n kk b a nx h C h-=--=∑其它初 等函数 ()()'()f x h f x f x C hh+--≤|()()'()|mk k f b f a f x h C h=--≤∑一般 函数()()'()1f x h f x f x h+--()()|['()]|1mk k k k f x h f x f x h h=+--<<∑最后一行1 ，回到教科书中的εδ-．所以本书是按重轻急缓、易难浅深，分出先后，或者说先占领主峰制高点，再由点到面扩大战果．这么做是不是层次分明、头绪清楚？还有两张表：导数表1. 0C '=2. ()1 x x ααα-'=3. ()sin cos x x '=，()cos sin x x '=-，x x 2sec )(tan ='4. 1(log )'ln x a x a=, 特别, 1(ln )'x x=5. ()'ln ,x x a a a =特别, ()'x x e e = 以及积分表1. adx ax C =+⎰2.1(1)1xxdx C αααα+=+≠-+⎰3. cos sin xdx x C =+⎰4. sin cos xdx x C =-+⎰5. 2sec tan xdx x C =+⎰6. 2csc cot xdx x C =-+⎰7. 1ln(0)dx x C x x =+≠⎰8.(0,1)ln xxaadx C a a a=+>≠⎰． 特别，e e x xdx C =+⎰其中对数函数和指数函数的定义见《微积分快餐》第三章．感叹：微积分竟是中学习题2x 的发酵或包装！3-1承前启后到此，我们已经对微积分做了一次2x —光透视3-2及早地（第一时间）识破了两张表（中学生也能知其然并知其所以然，从而有了知情权）或基本公式．这便作为最原始的资本，或第一步微积分，以后的微积分便从此展开，不断地使用和发酵．例如泰勒公式（将初等函数用多项式表示），便是原始基本公式的反复使用；甚或多元微积分也只是花蕾（3-1）（3-2）的开花．锦上添花学无止境！3-3所以有了这两张表或基本公式，虽不说一劳永逸，也是一通百通、一本万利！第四篇 基本公式的顶级形式揭秘：泰勒公式是微积分的最高宝塔，实由基本公式一层一层叠起来的，只是量变！提纲 微积分大戏的头两个角色是两张表或两个代数式．现在迎来第三角色，泰勒公式．这是微积分的最高宝塔，登峰造极，是数学中用得最多的公式，因此占有主导地位．可惜，泰勒公式过去课本盛行的证明太巧，尽管一遍又一遍地念，合下书还是忘．现在可以跟过去的证明叫板告别，直接但反复地套用基本公式便得21()(0)'(0)''(0)...2f x f f x f x =+++， 一劳永逸，再也不忘，侥幸！这个发现及其解读：由各阶导数的初始值决定函数本身在以后的值，或知道当前，预测今后，实令人意外与震惊! 这是最简单的动力系统．事实上()()()f x h f x hf ξ'+-- （其中()f ξ'是常数）()()x h x h x x f t dt f dt ξ++''=-⎰⎰ 11x [()()]()x hx h tx f t f dt dt f t dt ξξ++''''=-=⎰⎰⎰最后的绝对值由21[,][,](||)(||)2x h t x x x x h x x h h upper f dt dt upper f +++''''=⎰⎰夹住．照此套路继续下去，便得更长的展开式，所谓举一反三（习题）．详见《微积分快餐》第二章 ．第五篇 微分方程提纲 接下来，最大的战役或主战场，是向“微分方程”世界进军．微分方程是牛顿以来无数科学家用来主宰世界的模型，图5-1 运动服从微分方程也是中学和大学的分水岭，属于更难的算术，中学数学（代数方程）已不够用，除了大学专业中深奥的概念定理和更长的证明推导，还得求助于计算机．有两个样本，最简单却又富有挑战的微分方程，'1()f x x =，'()()f x f x =它们是对基本公式或积分表的挑战：11()(1)?x f x f dt t =+=⎰ ()()()?xa f x f a f t dt =+=⎰ 我们只能引出自然对数函数和指数函数（以及实数概念）．有了这两个解，才能解出一般的微分方程，详见《微积分减肥快跑》第六章．第六篇 多元微积分提纲 一元微积分已被归结为求导数和求积分的两个公式，式（3-1）（3-2）:可微:=()()'()1f x h f x f x h +-- ，可积:=()()|[()]|1f x h f x f x h h +-'-∑ ．多元时面临导数和基本公式如何选择的问题．作为对照,我们采取下列定义:可微:=1div1xxu n ds u∂Ω⋅-Ω⎰ ，可积:=1div1xxx xu n ds u∂Ω⎡⎤⋅-Ω⎢⎥Ω⎢⎥⎣⎦∑⎰ ．像不像（3-1）（3-2）的复制品？详见《微积分快餐》第四章．参考文献[1] 拉克斯等．微积分及其应用和计算．北京：人民教育出版社, 1980[2] 文丽．一元函数积分学．上海：科技出版社, 1981[3] 列夫·托尔斯泰．战争与和平．北京：人民文学出版社，1987[4] Strang．G．Calculus．Wellesley, MA：Wellesley-Cambridge Press，1991[5] 林群．数学也能看图识字．光明日报，1997-06-27；人民日报，1997-08-06[6] 林群．微积分讲义．深圳：深圳大学讲义，1998-02[7] 林群．画中漫游微积分．南宁：广西师范大学出版社，1999-01http://www．dushu．com/book/11399436/[8] 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微积分传道-林群院士
微积分减肥剩两公式可微:=||1割线与切线夹角可积:=||1各段夹角的平均书名：《微积分传道》本书简介：微积分太有用，高中生做题、考大学也要用，但他们只能先背、先用、不明理. 本书志在对高中生或公众传道，使他们通过几步计算、几页解说，也能明理（知其然也知其所以然）.这是对传统几百页微积分的大减肥. 但能严格实现吗? 需要改变工作方法: 分清主次首末，以主角打头阵，以简单至上，以特例开道，求省力讨好、几笔成形的框架。
本书写成随笔、说书或演义，让读者深入其中，化身为其中的角色，进行思考和品味.读者对象：高中生、中学和大学的数学和物理教师、对微积分教学改革感兴趣的社会人士以及对学习抱着研究探索态度的大学生和研究生.本书也可作为高中生夏令营、大学生实验班以及中学数学教师培训的教材. 作者简介：林群中国科学院院士发展中世界科学院院士中国科学院数学与系统科学研究院研究员，主要致力于计算数学研究.曾获全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖、捷克科学院数学科学成就荣誉奖章.热爱科普和教育事业，著有《画中漫游微积分》、《微分方程与三角测量》、《微积分快餐》等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任.致教师引言托尔斯泰与微积分第一章导数1.1 求导数直接法1.2 导数的概念第二章基本公式2.1求积分直接法2.2积分的概念2.3几何背景2.4基本公式细说2.5基本公式的使用2.6黎曼和2.7可积条件的明朗化2.8求面积2.9求积分的硬伤第三章微分法3.1 一般微分法3.2 反问题第四章积分法4.1 积分表4.2 积分代换法4.3 分部积分法第五章泰勒公式5.1 泰勒展开的直接法5.2 罗必达法则5.3 数值积分第六章指数函数与微分方程6.1 对数函数6.2 指数函数6.3 微分方程6.4 积分的存在性附录1 张景中不等式附录2 复合函数求导的链式法则附录3 微分中值定理参考文献致教师共商微积分教学数学分许多专业，彼此无共同可言.微积分却是公共科目，数学教师之间的最大公因子，能够共商大计.本书头10页面向高中生. 他们为什么要学微积分呢？中学教师最有体会：做题（如求单调区间、极值、面积）只有用微积分最划算，答案白得，一下全有，不用白丢题！所以高中生也要学一点微积分：起码会背、会用导数表和积分表. 进一步，这两张表是怎么得来的？传统课本有论证，太长太难太慢（例如要等到8个概念和8条定理之后），高中生不能承受. 而且，学习物理也等不及！这事不能服：就这么两张表(主角)，要等到这么多的概念和定理（配角）之后才出笼，有理没有理？我们的信念：看透的道理只能是几行或几页(符合简单至上的原则). 所以，必须找到这两张表的几行道理. 这时，90年代做微积分普及的“三部曲”框架：斜率测树高－斜率测山高－微分测积分（符合特例开道的原则，详见2.3节）便用上了：看透了，微积分就是两个公式（见封面），证明只是几步代数计算，前后解说只有10页（符合几笔成形的原则）！知足常乐，高中生与公众到此止步.这头10页属于微积分的普及. 接着顺手推舟，向大学过渡：微积分被推广、细化和深化，这属于提高. 最后快跑进入微分方程，大学与中学的分水岭：出现实数和e，微积分从此突破中学小天地，迈向更广阔的自然界. 学无止境，演义到此为止.本书的前身是《光明日报》（1997年6月27日）与《人民日报》（1997年8月6日）[5]上的漫画：图0-1《人民日报》：从求树高（平面三角）到求山高（微积分）微积分讲义[6]（1998年3月）以及普及读物《画中漫游微积分》[7]（广西师大出版社，1999年1月）中基本公式的两步证明. 先后被用于几所大学及中学的教学[8,10,13,15,17,21,22,23,25,27,32,33]：图0-2初中课本[15]通过斜坡求高渗透微积分的基本思想图0-3高中课本[23]封面上曲线求高图现在是重版，主要受高中生驱动，道理更精练(充分且必要)，文笔更人性(包括工作方法)，内容更丰富(包括微分方程)，适合于由高中向大学过渡，也可称为微积分的减肥、快跑本.引言：托尔斯泰与微积分列夫·托尔斯泰（1828-1910）听我的一位学生说，托尔斯泰的巨著《战争与和平》[3]的确用到微分积分的概念与方法，请看下文.人类的聪明才智不理解运动的连续性.人类只有在他从某种运动中任意抽出若干单位来进行考察时才逐渐理解.但是把运动分成愈来愈小的单位，这样处理我们只能接近问题的答案，却永远得不到最后的答案.只有采取无穷小以及求出它们的总和，我们才能得到问题的答案.数学的一个分支，已经有了处理无穷小求和的技术，从而纠正了人类的智力由于只考察运动的个别单位所不能不犯下的和无法避免的错误.在探讨历史的运动规律时，情况完全一样.由无数人类的肆意行为组成的人类运动，是连续的.人们肆意行动的总和永远不能用一个历史人物（一个人、国王或统帅）的活动来表达，只有采取无穷小的观察单位——历史的微分，并且运用积分的方法（就是得到这些无穷小的总和），我们才有希望了解历史的规律.其中出现的术语，例如无穷小、无穷小求和、无穷小的观察单位、历史的微分、积分的方法都说的什么？能不能用几页（一两堂课）将它们说透？反之，如果要说一学期，怎能算是看透？所以只能大刀阔斧，砍掉传统课本大多数天经地义的概念和定理，减肥、快跑. 这样，到了2.1， 2.2或2.4节，便能看透托尔斯泰所用到的“微分、积分的方法”不过就是两个公式，证明只有几步代数计算.第一章导数：计算与概念初等数学到高等，只是由直到弯，后者（曲线）用切线来研究，切线则从割线过渡而来，或者割线变动的结局是切线，切线是割线的理想化、简化如何作曲线上切线，是微积分诞生的内因，有必要弄明这个切线的概念. 笛卡尔就说过，切线问题“不但是我所知道的最有用最一般的问题，而且，甚至可以说，是我仅仅想在几何里知道的问题”（见[12]p.151）.笛卡尔（1596 – 1650）但我们假设，读者通过作图，已经理解到一条曲线在一点的割线和切线：在点Ｏ的切线OT，是作为附近的割线OS当S沿曲线移到Ｏ的“极限位置”或结局（若存在）：图1-1 切线是割线的极限位置凡事都有一个支点，阿基米德撬起地球需要一个支点.阿基米德(公元前287年—公元前212年)今后，假设读者在高中已经熟悉笛卡尔发明的解析几何：曲线:()f x =，割线斜率00()():f x h f x h+-=，切线斜率:=导数0'()f x（若()f x 是山高，x 是水平距离，00()()f x h f x h+-就是从0x 到0x h +这一段山的平均坡度，0'()f x 就是在一点0x 的坡度）图1-2切线在一点0x 的斜率（一个数）便作为附近的割线斜率（一串数）当底h 趋于0的“极限数值”（或结局），称此数为曲线在点0x 的导数.由于割线含有两个变数，0x 与h ，切线只有一个变数，0x ，所以切线是割线的根本性简化解析几何是图形和公式的结合. 大家都烦公式，甚至说 多一个公式少一半读者当然我们也能用一张图来猜测微积分(见图2-2)，或学习爱因斯坦爱因斯坦（1879 – 1955）砍掉不必要的公式.下节求导数，就是一个公式或几个特例，读者不必担忧，只有几步代数计算没有更多！1.1 求导数直接法：代数恒等式的框架微积分之首（第一角色）是导数开门见山，快跑上阵. 传统的定义：在定点x ，()f x 的导数()()'()limh f x h f x f x h→+-=但差商()()'()f x h f x f x h+-≠，有一个差别：()()'()(,)f x h f x f x r x h h+-=+ （1-1）lim (,)0h r x h →= （1-2）其中差别(,)r x h 称无穷小，魔鬼的语言，要掌握它，只有做大量的练习和实践，中学没有时间，公众没有耐心！ 所以，无穷小的语言成了微积分普及的拦路虎但是，如果只是做题或考试，碰到的不都是初等函数吗？那就把（1-1）写出来，看看是什么样（显式）吧！例1 多项式如2)(x x f =，（1-1）在0x x =就是22000()2x h x x h h+-=+ （1-3） 例2 有理多项式如1()(0)f x x x=≠，（1-1）在0x x =就是 0022000001111()()x h x hh x x h x x x h -+--==+++ （1-4） 其中常数项201x -怎么得来的？把h 由前式剔除，但转移到尾巴中.有教师问：尾巴复杂难求？很好操作：尾巴即200011()x x h x ---+，初等运算！例3根式如()0)f x x =>，（1-1）在0x x =就是== （1-5）怎么得来的？把h 由前式剔除，但转移到尾巴中. 有教师问：以上共同点：尾巴函数显含h 的因子，虽然分子分母都有，表面复杂，但分母中的h 可以剔除（化掉），最终被||h 夹住：||||C h ≤尾巴 （1-6） 重要的是，其中常数C 不难找!这样，当||h 缩小，尾巴消去，差商简化为常数主项，称导数.所以，导数是差商的简化！例2中1x定义在(,)(,)x a a ∈-∞-⋃+∞（0a >），所以尾巴23300022()h h h x x h a x ≤≤+ （1-7）其中配合0||||2x h ≤使分母的h 化掉，即32C a=，与0x 及h 无关. 例3(,)x a ∈+∞（0a >），所以尾巴332201122h h x a ≤≤ （1-8） 其中配合0||h x ≤使分母的h 化掉，即3212C a =，与0x 及h 无关.三角函数与上面各例有所不同. 例4 三角函数如x x f sin )(=，（1-1）在0x =就是hh h h h h h -+==- sin 1sin 0sin sin （1-9） 其中常数1由sin h h ≈猜出，剩下尾巴函数，sin h h h -，虽不显含h 的因子，仍被h 夹住：由中学三角公式22sin 1cos 2sin 22h h h h h h h -<-=<< （1-10）图1-3 三角不等式 sin tan h h h <<当0x ≠，计算几乎一样，只是长些：00000sin()sin sin cos cos sin sin x h x x h x h x h h+-+-= =00sin cos 1cos ()sin ()h h x x h h-+ =000sin cos 1cos cos (1)sin ()h h x x x h h-+-+ 其中常数0cos x 是猜的，余下尾巴函数，00sin cos 1cos ()sin ()h h h x x h h--+，表面复杂，但由||h 夹住：002sin cos 1sin cos 1cos ()sin ()sin 1cosh 22h h h h h h x x h h h h h h h h h h h ----+≤+--=+<+<到了2.1节，定义了积分之后，我们还能定义对数函数（和指数函数），它们的尾巴函数也满足（1-6），其中常数C 也不难找（见6.1节）!由以上特例，我们建议或者已看透：在点x 求导数，不用无穷小，直接由函数()f x 写出差商的恒等式 ()()()(,)(0)f x h f x A x r x h h h +-=+≠但很好操作：()A x 为常数主项，从左边剔除出来，剩下尾巴函数，()()(,)'()f x h f x r x h f x h+-=-，最终被||h 夹住，即有（1-6）或尾巴 |(,)|||r x h C h ≤其中常数C （与x 点无关）不难找！尾巴最终消去，差商简化为常数主项（两个变数将简化为一个变数），它是唯一1的结局，称之为在点x 的导数)()(x A x f ='或尾巴 ()()'()f x h f x f x C h h+--≤ （1-11） 根据就是以上特例，（1-3）；（1-4）（1-7）；（1-5）（1-8）或（1-9）（1-10），几步代数计算没有更多！验证了以上特例，一般实际上也得到了证明！为什么？别小看这几个特例，它们是最基本的初等函数（除了个别点外，在有定义的闭区间上），代表了99%以上的初等函数，后者只是前者的各种复合.但不需要一个一个地找导数，因为在导数的定义（1-11）之下，可导出一般微分法（第三章），它只依赖于极少数几个基本初等函数的导数，然后只要利用它们即1 反证：若在一点有两条切线分别有两个斜率1A 与2A ,令12d :0A A =->, 则存在h 使12dr <，22d r <，结果导致1212<d A A r r -=-，矛盾！可生成任何初等函数的导数，这叫做省力讨好（几把火种可以燎原），高中生也能求出99%以上初等函数的导数了.放心吧！简言之，公式(1-11)就是几个特例（几步计算），加一般微分法.如此用 特例证明一般是高效的工作方法！求导数（微分法）如此成功：对任何初等函数，它的导数总能计算出来，而且也是初等函数. 所以不求白不求. 但求出导数后又有什么用呢？见2.5与3.2节，高潮出现在5.1节末的一幕（泰勒展开）！大学课本（见注2）说导数，前后用了近百页（这么长怎能算是看透，哪有这样耐心），费力不讨好！本节用不到3页.诀窍在于只对特例求导数，省力讨好！这就是我们设计的求导数直接法，靠高中代数的公式（1-11），或特例（1-3）；（1-4）（1-7）；（1-5）（1-8）；（1-9）（1-10），不深不难！但如杨玮琪[35]所说，对中国学生不难（见[31]）不等于对美国和其它国家也不难.微积分的首道关口，导数的计算，就这么几步通过了. 这是决定性的战役，首领已征服，下一关（第二章）就是向积分学进军.注1 ||h 可作为不可怕的无穷小：它能足够小，尾巴|(,)|r x h 或（1-11）能足够小，即割线斜率能足够靠近切线斜率（记为()()'()f x h f x f x h+-→）.这里只有一个变数h ，可计算.反之，εδ-语言，两个变数：给定了ε，到哪儿去找δ？这只是存在性的假设，不能计算，没有办法才用它.所以，（1-11）的定义比起εδ-也是一次根本性的简化符合简单至上的原则!注2 标准教材（从中学到大学，如[23][12]等）用极限概念以及一系列的极限运算求导数，好恐怖： 02200011lim(1)11lim lim lim()h h h h x h x x h x xh x xh →→→→-'--⎛⎫+=== ⎪++⎝⎭01lim 1)(lim lim 1202020+-=+-=+-=→→→x h x x xh x h h h =21x -00lim1lim h h h →→'======== (直到0lim 0h h →=).什么叫做0lim h →呢？必须采用魔鬼的语言，εδ-，需要长期训练和实践才能理解，中学没时间，公众没耐心！还有，这些运算为什么通行无阻？要很长的章节来论证.此外，这种极限运算对例4，sin h h ，只能得00，无效.所以，用定义（1-11）或（1-6）更直接更通用，符合省力讨好的原则！本节求导数的方法曾由高三生张可天在“高教学会教育数学专委会年会”上代讲，会议主席张景中院士发来邮件：在年会上听了您的学生宣读您的报告，简洁清楚，确实是最简微积分.您的这位高足讲得很清楚，他对您的思想理解得很到位.希望有更好的方法来求导数.张景中[34]（亦见附录1）这么做了，异曲同工.也参看Dovermann[9],Karcher[11],特别是Livshits[14].所以，只有条条道路，没有唯一框架.小结 本节求导数的框架,(1-11),对高中生已是充分且必要.1.2 导数的概念：与中学的差别中学到大学只是顺水推舟，从初等函数（计算）渡到可微函数（概念） 先特殊后一般，先具体后抽象.上一节是第一遍的微分学，现在是第二遍，温故知新.对高中生，能计算99%以上初等函数（除了个别点外，在有定义的闭区间上）的导数就可以了.大学注重概念，要对一切可能的函数（所谓点态可微函数，可以不满足（1-11））来定义导数.事实上，尾巴(,)r x h （固定x ）可以不满足那么强的条件(1-6)，而只要满足无穷小条件（1-2），即配合h 足够小，能使尾巴也足够小（想多小就多小）：|尾巴|1就可以了.此即εδ-语言，它不能计算，只是作为可微或导数存在的最一般定义（也称充要条件），包括了那些不满足（1-11）的可微函数.我的学生谢和虎有一个例子：ln x x，它的导数在零点存在，但对任何α都不满足 ()()'()f x h f x f x C h hα+--≤ 所以，合适的例子既可证明一般（如1.1节）也可推翻一般.数学不能没有例子！ 回到几何：把可微（或导数）的最一般定义写下来就是对定点x()()|'()|1f x h f x f x h+-- （1-12） 左边有明确的几何意义，即函数f 在[,]x x h +一段上的斜率差，更简单一点割线与切线的夹角于是对定点x|尾巴|1||1⇔⇔斜率差 |夹角|1 （1-13） 如果条件（1-13）成立，则配合||h 足够小，使割线也足够靠近切线，最终结局：割线转化为切线，这跟切线原本的几何定义相吻合：定义曲线在一点的切线可以不满足条件（1-6），而只要满足条件（1-13）就可以了.简言之，由高中过渡到大学，只是由显式语言（1-6），||C h ≤（C 与x 也无关），可计算，过渡到隐式语言（1-13），1（对定点x ），存在但不能计算.前者只是可微的充分条件（所以有缺口），后者才是可微的充要条件（所以完满）.但是，不能计算时没有办法，才用隐式语言，1.这就是大学（第二遍微分学）与中学（第一遍微分学）的差别.小结 本节求导数的框架,(1-13),对大学生既必要且充分.第二章 基本公式2.1 求积分直接法：夹角作平均从微分（第一角色）转到积分（第二角色）只是从一段夹角跳到各段夹角的平均而已微分学（或求导数，见1.1节）只是微积分的一半（费马就知道了），另一半是积分学（才是牛顿-莱布尼茨的杰作）.费马（1602-1065）牛顿（1643 – 1727） 莱布尼兹（1646 – 1716） 但是，若跟传统课本走，积分由面积出发，而导数由切线出发，自说自话，各走一边，到了几百页后才汇合（这么长怎能算是看透，哪有这样耐心，好恐怖）！本节则不到2页.诀窍在于直接法：不由面积出发，但直接由导数的定义（1-11）出发，那就是在[,]x x h +一段上，有()()'()f x h f x f x C h h+--≤ 或C ≤⋅夹角底(注意:C 与x 也无关)，然后在[,]a b 的一个分割上（随便分成n 段）对各段夹角作平均（即乘以权1i i i h x x +=-再相加），则（1-11）还会保持原样，即仍有C ≤⋅夹角平均最大底，或2 ()()|[()]|(max )f x h f x f x h C h h+-'-≤∑ （若f 为初等函数） （2-1） ((1-11)(2-1)⇒），但左边等于|(()()())||()()()|f x h f x f x h f b f a f x h ''+--=--∑∑(()()f b f a -也分成n 份：()()[()()]f b f a f x h f x -=+-∑)，结果(2-1)等价于 |()()()|(max )f b f a f x h C h '--≤∑ （若f 为初等函数） （2-2） 这是什么？不就是'f 可积：微分和，()f x h '∑，对应于随便的分割都趋于共同的常数()()f b f a - 以及基本公式()()'()ba fb f a f x dx -=⎰ （2-3） 吗？还要什么别的证明？ 再短没有了！微积分的特大难关，可积性与基本公式，就这么轻易闯过了！神不知鬼不觉，怎么回事？这个积分，(2-3),又有什么几何意义？且看2.3节分解.初等函数微积分减肥了，剩两个公式初等函数微分学：=()()'()f x h f x f x C h h+--≤ 初等函数积分学：=()()|[()]|(max )f x h f x f x h C h h +-'-≤∑ 或几何意义（其中C 与x 也无关）C ≤⋅夹角底C ≤⋅夹角平均最大底第一公式（一点附近）就是几个特例，第二公式（全区间）只是由前式作平均，2 （2-1）左边是缩写：000000()()()()[()][()]n n n n n nf x h f x f x h f x f x h f x h h h +-+-''-++- 取绝对值，由定义（1-11），放大为（2-1）的右边：0(max )()()(max )n C h h h C b a h ++=-都只有几步计算！一门学问减肥为两个公式，还有更简单的吗？这就是省力讨好、几笔成形的框架！回顾1.1节求导数不用无穷小，本节证明可积性，也不用无穷小，微积分（在中学）彻底被初等化了.张景中[34]（亦见附录1）也这么做了，至少异曲同工.也参看Karcher[11]，Livshits[14]与Johnson[36]( 中国只是更早些：在1997-1999年间[5,6,7]开始).所以，只有条条道路，没有唯一框架.以上只对初等函数，似乎太窄.但做题遇到的99%都是初等函数（除了个别点外，在有定义的闭区间上），而且这也是一种打仗方法：与其伤其十指不如断其一指特殊看透，再扩到一般不迟.见下节.小结 本节求积分的框架，（2-1），对高中生已是充分且必要.2.2 积分的概念：与中学的差别中学到大学只是顺水推舟，从初等函数（计算）渡到可积函数（概念） 先特殊后一般，先具体后抽象.上一节是第一遍的积分学，现在是第二遍，温故知新.对高中生，能计算一些初等函数的积分就可以了.大学注重概念，要对一切可能的函数（所谓可积函数，可以不满足(2-5)）来定义积分.事实上，导数的定义可以不满足那么强的条件(1-11)（|夹角|||C h ≤，C 与x 也无关），而只要满足充要条件（1-12）（|夹角|1，对定点x ），同时，平均后也不用有（2-1）（|平均|||C h ≤），也只要有（或假设）|平均|1： ()()|[()]|1f x h f x f x h h+-'-∑ （2-4） 就可以了. 这时与2.1节同理，（2-4）等价于|()()()|1f b f a f x h '--∑ （设f '满足(2-4)） （2-5） 所以，f '仍然可积（∴（2-4）也称可积条件），也有基本公式（2-3）.可是，它们所需的条件已由太强的条件（2-1）（||C h ≤）拓广到充要条件（2-4）（1），这是最一般的可积条件.它是一个什么概念呢？前者仅限于初等（或光滑）函数，后者只要求f '有界及“几乎处处连续”（见2.7节），不需要处处连续（不光滑），所以大大拓广了.前者，（2-1），只是充分条件（所以有缺口），后者，（2-4），才是充要条件（所以完满）.但是，不能计算时没有办法，才用隐式语言，1.这就是大学（第二遍积分学）与中学（第一遍积分学）的差别.简而言之，通过平均由(1-12)窜到(2-4)或(2-5)，便由微分学（求导数）直接窜到积分学（基本公式）. 回顾传统课本，微分学要教半学期，积分学又要教半学期，绕路太远太辛苦！现在，由微分学到积分学只跳一步，省力讨好，一举成功！微积分减肥了，剩两个公式 可微:=()()|'()|1f x h f x f x h+-- 可积:=()()|[()]|1f x h f x f x h h+-'-∑ 或几何意义1<<夹角1<<夹角平均后式（全区间）只是由前式（点态）作平均，只有几步计算！一门学问减肥为两个公式，就像几笔画（或大手笔），还有更简单的吗？爱因斯坦正是这么做（他的2E mc =）！微积分不必再多想了——如果还要想得很久，怎能算是看透？微积分战役的目标（托尔斯泰所需要的）拿下了！知足常乐，高中生与公众到此止步.这就是我们十多年来（由[5]-[7]开始，到[10,15,17,21,22,23,25,27,32]）经营的积分学直接法，对夹角作平均（或如下节的曲线求高），只要几步计算，省力讨好！它曾由高三生在夏令营表演过，半小时说完.尽管如此，直接法却难推销（除了张景中的协作，基本上自弹自唱），可能因为“教材重复千次变成真理”，对另类微积分却有抵制的本能.小结 本节求积分的框架,(2-4),对大学生是必要且充分.2.3 几何背景：曲线求高以上是公式(2-4)与(2-5)之间的几步代数运算，快而准确，甚至可以说，必要且充分.就像几笔画（或大手笔）.那么还有什么可说的？但是，怎么会想到对各段斜率差（或各段夹角）作平均呢？为什么平均之后就成了基本公式？（2-3）又是什么意思？认识有个过程.将积分理解为图形的面积，已成天经地义，但严格的证明（面积的存在性）却是天方夜谭，远远超出高中生或公众的承受能力.所以普及问题长期被搁置.不服：积分学难道不能一眼看透、一步登天？直到有一天，我在一棵古树下散步，听到导游对观光团讲解：这棵古树年年在长高，年年有测量员来测高.本是日常事，说者无意听者有心：树高是怎么测的？必须砍树吗？学过中学三角就知道，自从有了斜率的概念，无需砍树（或爬树）也能测出树高：图2-1 中学直角三角形(酵母)省力讨好，谁说斜率（数学概念）没有用！更有用的是，由此拾到微积分的酵母（或灵感），看透真相：只要把直角三角形的斜边弯起来，改成在山坡上测山高：图2-2 大学曲边三角形(发酵)立刻由中学三角（直边）进入大学微积分（曲边）甚至微分方程：已知函数（山坡）的导函数（斜率）求函数自身（山高），这不就是用斜率求山高吗？这不就是曲边三角学吗？蓦然回首，那人却在灯火阑珊处所以，大学和中学既不同（曲和直）又统一（都是三角学，都用斜率求高）！怎么想得到，一位导游竟成了我的微积分启蒙老师：教室一学期，树下一分钟，我在教室学的是求面积（存在性的证明如读天书），在树下学的是求高（所以利用斜率，直接法，凡人的思维）.圣人（牛顿）曾在苹果树下发现了万有引力，凡人在古树下解读了微积分.树下这个心得，微积分不过是曲线求高，值得推广，曾到一些院校交流过，并在一位高官朋友激励下，登在光明日报和人民日报上（1997 年），这就是图0-1的来由.总之，照着一张求高图，一眼看透微积分.迷雾冲破，疙瘩解开！这就是为什么后来有些图书，如[8,10,13,15,17,21,22,23,25,27,32,33], 采用了此图.图形在先，证明在后.没有想到的是，这么一个求高小灵感，成了减肥、快跑的诀窍：只需两步代数（长了记不住）一举推出基本公式，泰勒公式也顺着来（不过是基本公式的连用）无需另找证明.微积分的核心概念（微分和积分）和关键技术（导数公式、基本公式和泰勒公式），由一学期（好慢）、几百页（好长）减到几学时（好快）、几页（好短）！如此这般，一张图形和两步代数无需更多（如连续性与实数），可能是最快最短的微积分.但是怎么会有这么便宜的事（近乎一步登天，或无米之炊）？可信吗？且看下段分解.几何往往看得见，并提供证明思路.典型例子：“对顶角相等”可以从图先看出来，但还要证明，好在证明只有两步：∠AOC+∠BOC =180°=∠BOD+∠BOC ∠AOC =∠BOD图2-3 对顶角相等别看这道题这么浅，1956年，中科院数学研究所所长华罗庚，就以此题面试新报到的大学生，一时还真吓人（你也可以说这些人太差了，可这是事实）.华罗庚（1910—1985） 欧几里得（约公元前325-约公元前265） 这就是欧几里得为后人树立的数学“游戏规则”：一道命题无论多么浅，当且仅当它由公理推出时，才被认可，否则一概不认！正因为此例浅显，更值得宣传.那么，微积分基本公式是否也可以先看出来，再加以证明，并且证明也只有两步呢？诀窍：一旦它被当作曲线求高的过程（按许多切线求高（称微分）再一一相加），那么，根据几何思路，不用多加思索，便有如下的两步推理：全段高－微分和 ()()()f b f a f x h '--∑ =(割线高－切线高)的和 (()()())f x h f x f x h '=+--∑ =[(割线斜率－切线斜率)×底]的和 ()()[()]f x h f x f x h h+-'=-∑ 归结为各段斜率差的平均，它(max )C h ≤对初等函数，或1（设'f 可积） 图2-4 曲线求高的过程和推理这解释了2.1-2.2节为什么对各段斜率差（或各段夹角）作平均，给出了积分，（2-3），的几何意义：曲线求高！。
微积分小卡片说明书
微积分小卡片说明书
林群
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2017(20)6
【摘要】安民告示:微积分=一道算术题0.9...9＜分子/分母＜1/0.9...9(→)0.9 (9)
＜分子相加/分母相加＜1/0.9…9其中,分子与分母是什么？见正文中的微积分小卡片.
【总页数】3页(P61-62,31)
【作者】林群
【作者单位】中国科学院数学与系统科学研究院,北京 100190
【正文语种】中文
【相关文献】
1.小小卡片天地宽--对苏教版小语教材中“两张卡片”教学的思考 [J], 郑春夫
2.微积分求导问题考辩与新解(上)——一种不需要极限与无穷小概念的微积分理论诠释 [J], 沈卫国
3.微积分求导问题考辩与新解(下)r——一种不需要极限与无穷小概念的微积分理论诠释 [J], 沈卫国
4.新诠释下的牛-莱法微积分(第一代)核心概念的最简教程纲要及说明——一种完全不需要极限、无穷小概念的微积分新理论 [J], 沈卫国
5.林群微积分小卡片 [J],
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我看数学分析在生活中的运用
我看微积分方程在生活中的应用摘要：微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。
有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。
航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。
微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。
关键词：微积分微积分是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支。
提起微积分，给人的第一印象都是它的一大堆公式和定理和玄妙复杂的变换，十分叫人头疼。
其实它的基本原理或者说是基本思想，抑或是基本表述却很简单，可以概括为：微分等于无限细分，积分等于无限求和，两者合并叫微积分。
也就是说，对某些不太好测量、计算、把握、分析的东西，先把它拆解成一个个独立的小单元，加以研究计算，得出结论（微分）。
然后再把它们累计相加，得出总结论（积分）。
其实，微积分是一种解析我们生活的世界的数学语言，世界中很多复杂、纷乱的事物都是基于微积分的原理。
掌握了微积分，我们就掌握了这个世界。
无论是在生活中还是在学习中，微积分都能实现最大化、最优化的作用。
微积分存在生活中的方方面面，是最方便的工具，如果没有微积分，生活中大量的实际问题就得不到解决，社会也就难以向前发展。
在现实生活中，微积分一直在为我们提供着服务。
例如，反垄断法的建立就与微积分息息相关。
在社会中，企业或者商店都在努力地为消费者提供质量更好、价格更便宜的商品，这样就会导致公司或者商店在商品的品质和价格上进行竞争。
市场中存在着大量的企业，他们所提供的是无差别的商品。
这样的市场环境称为“完全竞争市场”。
在完全竞争市场中的企业，接受了由市场决定的商品价格，只要能产生利润，就会进行生产和供应。
例如，一家电脑供应商为了追求利益，会增加产量，但是由于增加导致的生产效率逐渐下降，该企业生产一台电脑的成本会有一天与市场价格相同，此时在增加产量就不划算了，因此产量会固定下来。
微积分(本科下)PDF18(第四版CH08)
dy p ( x) y q ( x) ――――非齐次 dx dy 对应的齐次方程为 p( x) y 0 dx
齐次方程的通解为 y C e 其中：Ｃ为任意常数。
p ( x )dx
5
dy p ( x )dx p( x) y q( x) y C e dx 假定令 C C ( x) p ( x )dx ＊ 则 y C ( x) e ＊ 若 y 是 y p ( x) y q ( x) 的解， 则有
ln y ln C0 x y C x
设 C C ( x), y＊ C ( x) x
dy 1 2 yx dx x
Zwliang 本科 １5 18
( y ) C ( x) x C ( x)
＊
11
( y ) C ( x) x C ( x)
[ q( y ) e
p ( y )dy
dy C ]
16
e
1 dy y
2 y e
1 dy y
e
1 ln y
1 dx 1 2 2 x y y ydy C dy y y 1 1 4 1 3 C y C y y y 4 4
这是微分方程的一个特点。
18
＊可化为齐次方程的微分方程 形如
Zwliang 本科 １5 18
a1 x b1 y c1 dy f ――――（＊） dx a2 x b2 y c2
的微分方程称为可化为齐次微分方程的型式。
dy 2 x y 1 如： －－可化为齐次线性 dx 3 x 2 y 5
＊解的讨论：
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教 学 内容 ， 推 动高等教育 教学改革 不断地 深化是 从事
大 学数学教 学的每一位 教师 的职 责所在．
Ｅ ４ ］ 郝 香 芝 等 ．《 概率论 与数理统计》 教 学 改革 研 究 ［ Ｊ ］ ．石
家 庄 学 院学 报 ，２ ０ ０ ９ ， １ １ （ ３ ） ：ｌ Ｏ ９—１ １ ２ ．
回到微 积分 ： 取 分 子 一小 直 角 三 角 形 的 高 一 微 分 （ 命 名） ， 分母 一相 应 曲边 三 角 形 的高 （ 称小高） ， 使 满 足算 术 假设
…
９ ＜ 籍＜
９ ＜ 糕＝ ： ＝
…
＜
＜
这里 的分 子们 分母 们可 以不 同
（ 即均匀 可微 ） ， 由算 术定 理
．
’ ．
０ ． ９ …９ ×分母 相加 ＜分 子相 加
同理验 证 右边
…
ｔ ａ ｎ Ｏ
９ ＜ ， ＜
然后 ， 由单个 分数 的双 边接 近 １出发 ， 由等分 或均 匀 ， 一 眼看 出全 局 的双边 接 近 １ ：
（ ： ＝ ： ） ，
是微 积 分 的底线 ， 圆有 什 么 ， 微 积分 也有
算术假 设 每个 分数 的分 子 与分母 如此 接 近 ， 相 除便 任
意接 近 １ ， 特 别有
…
＜
以上 ９的个 数 随边数 增加 而增 加 ， 所 以多边 形越 来越 圆．可惜 圆只是个 案 ． ２ ．将 圆一 般化 ： 弦一 分 子 ， 弧一分 母 ， 便形 成一 道 算 术 题 ， 引 出微 积 分 小 卡 片 ， 其 复杂 度 与 圆 对 接 ： 圆即
９ ＜
设分 母＞ Ｏ ， 且 ９的个 数一样 （ 均匀） ， 则有
９的个数 随分 割增 加 而增 加 ， 此 即微 分 的积 分 一小 高 相
算术 定理
…
加＝ ＝ ＝ 全高 ， 称基 本定 理 （ 扮演公 理 角色 ）
。 ＜ 籍 ＜
先 验 证不 等 式左 边 ：
‘
．
‘ ０ ． ９ …９ ×分母 ＜分 子
林 群微 积 分 小 卡 片
寻找 微 积分 的复 杂度 ： 多难 多深 ？原 来 只是跟 圆（ 初 中水平 ） 相当１ １ ．圆有 什 么 ： 计 算机 画 圆 ， 放 大不是 圆 ， 只是 等边 多边 形
ｓ ｉ ｎ 导 ／ 导或
其 中弦 （ 或切 线） 长与 弧长 如此接 近 ， 相 除便任 意接 近 １ ， 特 别 有
６ ０
高 等 数 学 研 究
２ ０ １ ６年 １ １月
能 力去 完成 ， 切记 让 学生 畏而 却步 ， 望“ 题” 兴 叹． 在概 率论与数 理 统计 课 程 中增加 数 学实 验教 学 总的来说各 高校还在探 索起步 阶段 ， 如何 使它 发挥其
应 有 的作用 ， 实现 其定 位 目标 ； 具体 在 教 学实 践 中 如
２ ００ ６．１ ．
参 考 文 献
［ １ ］ 李 继 成．数 学 实 验 ［ Ｍ］ ．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，
Ｅ ２ ］ 王 明礼 ．数 学 实 验 在 大 学 数 学 教 学 中 的 应 用 Ｅ Ｊ ］ ．高 等
数 学 研 究 ，２ ０ ０ ９ ，１ ２ （ ３ ） ： ２ ６ —２ ８ ．
何 操作实 施 ， 这 些 问题 还有 待 我 们 进 一 步 去 积极 研
究． “ 不积硅步 ， 无 以至千 里 ； 不积 小流 ， 无 以成 江海改 进 教学 模式 、 教 学 方法 、
Ｅ ３ ］ 茆 诗 松 等 ．概 率 论 与 数 理 统 计 教 程 ［ Ｍ３ ．北 京 ：高 等