柯西不等式证明方法大全

柯西不等式证明⽅法⼤全
定义
对于任意实数a i,b i(i=1,2,⋯,n),有
n ∑i=1a2i
n
∑
j=1b2j≥
n
∑
i=1a i b i
2
,(n∈N+)(∗)
当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时,等号成⽴.法⼀、构造⼆次函数
分析
可通过⼆次函数的判别式证明.
证明
当a1=a2=⋯=a n或b1=b2=⋯=b n时,(∗) 式显然成⽴.
设a1,a2,⋯,a n中⾄少有⼀个不为 0,令
A=
n
∑
i=1a2i,B=
n
∑
i=1a i b i,C=
n
∑
i=1b2i,
则A>0.设⼆次函数
f(x)=Ax2+2Bx+C=
n
∑
i=1(a2i x2+2a i b i x+b2i)=
n
∑
i=1(a i x+b)2≥0,
∴Δ=(2B)2−4AC≤0⟺AC≥B2,则 (∗) 式成⽴.
要使 (∗) 式取等号,即Δ=0,则f(x) 有唯⼀零点,
即有唯⼀实数x使
a i x+
b i=0(i=1,2,⋯,n).若x=0,则b i=0(i=1,2,⋯,n),
若x≠0,则a i=−1
x b
i(i=1,2,⋯,n).
综上,(∗) 式成⽴,当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时取等号.
法⼆、向量内积
分析
⽤向量内积与向量模的积的⼤⼩关系即可证明.
证明
设n维空间直⾓坐标系中有向量\boldsymbol \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n),且
\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta之间的夹⾓为\theta(0\le\theta\le\pi),则有
\begin{aligned} &\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| \cos\theta\\
\Longleftrightarrow &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| |\cos\theta|, \end{aligned}
⼜|\cos\theta|\le 1,则
\begin{aligned} &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| \le|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|\\
\Longleftrightarrow &\left| \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right| \le\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 } \sqrt{ \sum\limits_{j=1}^n
b_j^2 }\\ \Longleftrightarrow &\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \le \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n
b_j^2, \end{aligned}
可得(*)式成⽴.
易知当且仅当\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta同线时,即\boldsymbol \beta=\boldsymbol 0或\exist~k\in\mathbb R,\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta时,|\boldsymbol \alpha\cdot\boldsymbol \beta|=|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|,即
()
当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,(*)式取等号.
法三、作差法
分析
作差,然后配平⽅即可.
证明
易得
\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 -\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 &=
\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_i^2b_j^2 -\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12
\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) -\frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n
2a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ib_ja_jb_i)\\ &= \frac 12
\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0, \end{aligned}
当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2.\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴,即证.
法四、排序不等式
分析
通过排序不等式的形式来表⽰柯西不等式.
证明
易知(*)式等价于
\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j \ge\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j,
由排序不等式可知上式成⽴,当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2,\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb
R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴.
法五、数学归纳法
分析
与n相关的不等式⼀般都能⽤数学归纳法,这⾥就不多说了.
证明
设n=k.
当k=1时,(*)式显然成⽴.
当k\ge 2时,不妨设当n=k-1时(*)式成⽴,则
\begin{aligned} \left( \sum\limits_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^k b_i^2 \right) =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 +a_k^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +b_k^2 \right)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 -\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i
+\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} (a_ib_k-a_kb_i)^2 +(a_kb_k)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1}
a_ib_ia_kb_k\\ \ge&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i \right)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k +(a_kb_k)^2\\
=&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i +a_kb_k \right)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^k a_ib_i \right)^2, \end{aligned}
当且仅当\sum\limits_{i=1}^{k-1}(a_ib_k-a_kb_i)^2=0,即a_ib_k=a_kb_i(i=1,2,\cdots,n),且
\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{j=1}^nb_j^2=\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2时,等号成⽴.
综上,(*)式成⽴,当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i时,等号成⽴.
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