高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.3平面与圆锥面的截线a41a高二41数学

12/13/2021
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.了解不平行于底面且不通 平面与圆锥面的截线
过圆锥顶点的平面截圆锥
平面截圆锥面的截线形状
的形状是椭圆、抛物线和双
定理 2
曲线.
2.理解定理 2 及其证明过程, 圆锥曲线的结构特点
了解这种证明问题的方法.
焦点
3.在用 Dandelin 双球证明定 圆锥曲线的几何性质
所以截线为抛物线.
答案C
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1
2
3
4
5
3.已知圆锥母线与轴线夹角为60°,平面π与轴线夹角为45°,则平面π
与圆锥交线的形状是
,其离心率为
.
解析因为 α=60°>45°=β,所以平面 π 与圆锥的交线为双曲线,其离
心率
cos
e=cos
答案双曲线
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=
cos45°

cos
∴ 1 = cos.

∵PQ1=PF1,α=β,∴ 1 =1,即 PF1=PA.动点 P 到定点 F1 的距离
等于它到定直线 m 的距离.
故当 β=α 时,平面 π 与圆锥面的截线是抛物线.
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探究一
探究二
思维辨析
探究二平面截圆锥面截线的几何性质
【例2】一平面截圆锥的截线为椭圆,椭圆的长轴长为8,长轴的
准线
理 2 的过程中探求双曲线的
离心率
性质.
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1.等腰三角形底边上的高线与一条直线的关系
如下图,AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,∠BAD=α,直线l与AD
相交于点 P,且与 AD 的夹角为 β 0 < <

2
(1)当β>α时,l与AB(或AB的延长线),AC都相交;
求证:β<α时,平面π与圆锥面的交线是双曲线(如图所示).
分析利用Dandelin双球方法作答.
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探究一
探究二
思维辨析
解如图所示,当β<α时,平面π与圆锥的两部分
相交.在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球,与
平面π的两个切点分别是F1,F2,与圆锥两部分
截得的圆分别为S1,S2.
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4
4.圆锥曲线的几何性质
(1)焦点:Dandelin球与平面π的切点.
(2)准线:截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线.
cos
(3)离心率:e=cos.
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4
做一做2 已知圆锥的轴截面为等边三角形,一个平面与圆锥轴的
所得的截线是(
)
A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线
解析该圆锥的轴截面如图所示,由题意知,截面与圆锥的轴垂直,
故截线为圆.
答案A
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3
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5
1.已知AD是等边三角形ABC上的高,直线l与AD相交于点P,且与AD
的夹角为β,当l与AB(或AB的延长线),AC都相交时,β的取值范围是
两端点到顶点的距离分别为6和10,则椭圆的离心率为(
)
3
A.5
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4
B.5
1
C.2
2
D. 2
探究一
探究二
思维辨析
解析
如图所示为截面的轴面,则 AB=8,SB=6,SA=10.
由勾股定理的逆定理可知∠SBA=90°,则
3
cos∠ASB= .
5
设圆锥的母线和轴所成的角为 α,截面和轴所成的角为 β,
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探究一
探究二
思维辨析
变式训练1 在【例1】中的情形下,说明当β=α时,平面π与圆锥面
的截线是抛物线(如图所示).
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探究一
探究二
思维辨析
解如图所示,设平面π与圆锥内切球相切于点F1,球与圆锥的交线
为S,过该交线的平面为π',π与π'相交于直线m.
在平面π与圆锥的截线上任取一点P,连接PF1,
解析因为α=50°,β=40°,β<α,所以该平面与圆锥面的截线为双曲
线.
答案C
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3.圆锥曲线的结构特点
(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a);
(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(实
轴长2a);
(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等.
“×”.
(1)用一个不经过圆锥顶点的平面截圆锥面,截线只可能是椭圆、
双曲线、抛物线. (
)
(2)在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球,与平面π的两个切点分
别为F1,F2,则F1,F2即为平面π截圆锥所得双曲线的焦点. (
)
(3)所有圆锥曲线都有两个焦点和两条准线. (
)
(4)平面截圆锥面,所得圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥的轴的
过点P作PA⊥m,交m于点A,
过点P作π'的垂线,垂足为B.
连接AB,则AB⊥m,所以∠PAB是π与π'所成二面角的平面角,连接
PO与S相交于Q
1,连接BQ1,则∠BPQ1=α,∠APB=β.
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探究一
探究二
思维辨析
在 Rt△APB 中,PB=PAcos β,在 Rt△BPQ1 中,PB=PQ1cos α,
夹角为60°,则该平面与圆锥面的截线的离心率等于(
)
3
A. 3
3
B. 2
1
C.2
D.1
解析依题意,圆锥的母线与轴的夹角为 α=30°,平面与轴的夹
cos60°
3
角为 β=60°,所以该平面与圆锥面的截线的离心率 e=cos30° = 3 .
答案 A
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1
2
3
4
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比. (
)
答案(1)× (2)
(3)× (4)
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探究一
探究二
思维辨析
探究一平面截圆锥面截线形状的判断
【例1】
在空间中,取直线l为轴,直线l'与l相交于O点,夹角为α,l'围绕l旋转得
到以O为顶点,l'为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l的交角为β,
∵cos
3
2α=5,即
3
α-1=5,∴cos
2
2cos
2 5
α= 5 .
∵α+β=90°,∴cos β=sin α= 1故椭圆的离心率
答案 C
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cos
e=cos
=
5
5
2 5
5
=
2 5
5
1
.
2
2
=
5
.
5
探究一
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探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
变式训练 2 平面 π 与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角
(
)
π
A. 0, 6
π π
C. ,
3 2
π
B. 0, 3
π π
D. ,
6 2
解析作出图形,由图形计算可得.
答案D
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3
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5
2.一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一与轴线成30°的不过顶
点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是(
)
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.两条相交直线
解析因为α=β=30°,
为 60°,则平面与圆锥交线的离心率是(
A.2
1
2
B.
C.
3
2
)
2 3
3
D.
解析设平面 π 与轴线夹角为 β,母线与轴线夹角为 α,由题意,知
β=0°,α=60°,故
答案 A
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cos
e=
cos
1
= 1 =2.
2
探究一
探究二
思维辨析
审题不清致误
典例圆锥的顶角为50°,圆锥的截面与轴成30°角,则截线是(
(1)若β>α,则平面π与圆锥的交线为椭圆;
(2)若β=α,则平面π与圆锥的交线为抛物线;
(3)若β<α,则平面π与圆锥的交线为双曲线.
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做一做1 已知圆锥的母线与轴的夹角为50°,一个平面与圆锥轴
的夹角为40°,则该平面与圆锥面的截线为 (
)
A.椭圆
B.圆 C.双曲线D.抛物线
(2)当β=α时,l与AB不相交;
(3)当β<α时,l与BA的延长线、AC都相交.
12/13/2021Βιβλιοθήκη .则:12
3
4
2.定理2
在空间中,取直线l为轴,直线l'与l相交于O点,夹角为α,l'围绕l旋转得
到以O为顶点,l'为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l的交角为
β(当π与l平行时,记β=0),则:
解由题意知α=60°,β=45°,满足β<α,这时截面截圆锥得到的交线
cos45°
cos60°
是双曲线,其离心率为 e=
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= 2.
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cos60°
2
= 2.
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4.用一个平面去截一个正圆锥,而且这个平面不通过圆锥的顶点,则
截线会出现四种情况: .
解析如图:
答案圆、抛物线、椭圆、双曲线
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5.设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°,当圆锥的
截面与轴成45°角时,求截得二次曲线的形状及离心率.
在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过P和圆
锥的顶点O作母线,分别与两个球相切于Q1,Q2,
则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1PQ2|=Q1Q2.由于Q1Q2为两圆S1,S2所在平行平
面之间的母线线段长,因此Q1Q2为定值.故由双
曲线的定义知,平面与圆锥的交线是双曲线.
A.圆 B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
错解由于α=50°,β=30°,β<α,故所得截线是双曲线,故选C.
正解由于
,β=30°,β>α,所得截线是椭圆,故选B.
50°
α=
=25°
2
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)
探究一
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探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
变式训练 圆锥的顶角为60°,截面与母线所成的角为60°,则截面