福建福州市第八中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题 理

福州八中2016—2017学年第一学期期中考试
高二数学（理）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1．下列命题中，正确的是（ ） A ．若d b c a ->-，d c >，则bd ac >
B ．若 bc ac <，则b a <
C ．若b a >，d c >，则d b c a ->-
D ．若22bc ac <， 则b a <
2．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的取值范围是
A ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡236-，
B ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1-23-
， C ．[]6,1-
D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡623-，
3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c
，若22
a b -=
，sin C B =，
则A = A ．30︒
B ．0
45
C ．0
60
D ．0
150
4．已知数列{}n a 中, 45n a n =-+,等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥,且
12b a =,则12n b b b ++
+=
A. 14n
- B. 143n
-
C.41n
-
D. 413
n -
5．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且945672S a a a =+++，则37a a += A ．22
B ．24
C ．25
D ．26
6．已知0,0a b >>，若不等式31
03m a b a b
--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ．4
B ．9
C ．12
D ．16
7．ABC ∆中，0
,2,60a x b B ==∠=，则当ABC ∆有两个解时，x
的取值范围是
A ．x
>
B ．2x <<
C ．2x <
D ．2x <或x >
8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去
长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？
A ．8日
B ．9日
C ．12日
D ．16日
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．不等式022
≥+--x x 的解集为 .
10．如果9,,,,1--c b a 成等比数列，那么=b .
11．在ABC ∆中，222
tan B a c b =
+-，则B =__________.
12．下列命题中正确的有 . ①常数数列既是等差数列也是等比数列；
②在ABC ∆中，若222sin A sin B sin C +=,则ABC ∆为直角三角形； ③若B A ,为锐角三角形的两个内角，则1tan tan >B A ;
④若n S 为数列{n a }的前n 项和，则此数列的通项)1(1>-=-n S S a n n n .
三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．(本小题满分13分)设函数)0(3)2()(2
≠+-+=a x b ax x f ，
（1）若不等式0)(>x f 的解集)3,1(-．求b a ,的值； （2）若(1)2,00f a b =>>、求
14
a b
+的最小值．
14．(本小题满分13分)已知数列}{n a 中，21=a ，62=a ，且数列)}({1+
+∈-N n a a n n 是公
差为2的等差数列.
（1）求}{n a 的通项公式； （2）记数列}1{
n a 的前n 项和为n S ，求满足不等式2016
2015>n S 的n 的最小值. 15．(本小题满分14分)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A 、B ，且 AB = 80 米，当航模在 C 处时，测得 ∠ABC=105°和 ∠
BAC=30°，经过20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得 ∠BAD=90°和 ∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号，单位：米/秒）
第Ⅱ卷
一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 16．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则 A ．p 或q 为假 B ．q 真 C ．q 假 D ．不能判断q 的真假
17．下列说法正确的是
A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”
B ．若命题2:,210p x R x x ∃∈-->，则命题2
:,210p x R x x ⌝∀∈--< C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
D ．“1x =-”是“2
560x x --=”的必要不充分条件
18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且150S >，160S <，则
11S a ，22S a ，…，1515
S a 中最大的是
A.
15
15
S a B.
9
9
S a C.
8
8
S a D.
1
1
S a
19．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”精神，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环
保汽车，用于出租．假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元．若该车使用了n （n *∈N ）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于
（注：年平均盈利额=（总收入-总成本）n
1⨯）
A.3
B.4
C.5
D.6
二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）
20．ABC ∆中0
60A =，1b =sin sin sin a b c
A B C ++=++ .
21．若[2,3]x ∃∈-，使不等式22x x a -≥成立，则实数a 的取值范围是 。

三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 22．（本小题满分13分）数列{}n a 满足()()*111,11,n n a na n a n n n N +==+++∈． （1）证明：数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列；
（2）设3n n b ={}n b 的前n 项和n S ．
23．（本小题满分13分）现代城市大多是棋盘式布局（如福州道路几乎都是东西和南北走向）。

在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。

在直角坐标平面内，我们定义),(),,(2211y x B y x A 两点间的“直角距离”为：
2121)(y y x x D AB -+-=。

（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点
指横、纵坐标均为整数的点）
（2）定义:“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点),3,3(),1,1(),3,1(C B A 求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像；
（3）设),(y x P ，集合B 表示的是所有满足1)(≤PO D 的点P 所组成的集合，点集
{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x A ，求集合
{}B y x A y x y y y x x x y x Q ∈∈+=+==),(,),(,,),(22112121所表示的区域的面积．
福州八中2015—2016学年第一学期期中考试 高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1-8. DDAC BDBB
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.{}
12≤≤-x x 10. -3 11. 060或0
120 12.②③
三、解答题（本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．解析：（1）因为不等式0)(>x f 的解集)3,1(-，所以-1和3是方程0)(=x f 的二实根，从而有：⎩⎨
⎧=+-+==+-=-0
3)2(39)3(0
5)1(b a f b a f 即⎩⎨
⎧=-+=+-01305b a b a 解得：⎩⎨⎧=-=4
1
b a .----6分
（2）由(1)2,00f a b =>>、得到1=+b a ,----------------------------8分
所以
14
a b
+942545)()41(=⋅+≥+
+=+⋅+=b a a b b a a b b a b a ,--------------11分 当且仅当⎪⎩
⎪⎨⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧=+=323114b a b a b a a b 即时“=”成立;所以14a b +的最小值为9．-----------13分 14．解：（1）数列)}({1+
+∈-N n a a n n 是首项为412=-a a ，公差为2的等差数列-1分
∴2
2)1(241+=-+=-+n n a a n n ---------------------------3分
∴n n n n a a a a a a a a n n n n n +=+++-+=+-++-+-=---211221124)1(22)()()( -6分
（2）
1
111)(1112+-=+=+=n n n n n n a n ，---------------------------8分 ∴1
111)111()3121()211(11121+=
+-=+-++-+-=+++=
n n
n n n a a a S n n ，-11分 由20162015
>
n S 得2016
20151>
+n n ，2015>n ，-------------------------------12分 又+
∈N n ，故n 的最小值为2016.---------------------------------------13分 15.解：在△ABC 中,∵∠BAD =90°,∠ABD =45°,∴∠ADB =45°……………2分
280,80=∴==∴BD AB AD ……………5分
在ABC ∆中，
sin 30sin 45BC AB
=1
80sin 30
sin 45
AB BC ⨯∴===………8分
在DBC ∆中，DC 2
=DB 2
+BC 2
-2DB ·BC cos60°
)2
)2
-2×
×
1
2
=9600 640=∴DC ………………12分
航模的速度6220
6
40==
V （米/秒） ……………13分 答：航模的速度为26米/秒 ……………14分
第Ⅱ卷
一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） CCCA
二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分） 20
．
3
21.1≤a 三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 22. （本小题满分13分）
解析：（1）由1(1)(1)n n na n a n n +=+++得
111n n a a n n +=++，所以n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1为公差的等差数列.------------------4分 （2）由（1）得
1
(1)11
n a a n n n =+-⨯=，所以2n a n =-------------6分
33n
n b n ==∙------------------7分
所以23
1323333n n S n =⨯+⨯+⨯+
+⨯
234
13132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ --------------9分
①-②得：2
3
4
1
13(13)23333
33
313n n n n n S n n ++⨯--=++++-⨯=-⨯-------11分
所以113(13)3(21)33
4244
n n n n n n S ++⨯-⨯-⨯=
+=+.----------13分 23.解析：
（1）()2,0、()1,1、()0,2、()1,1-、()2,0-、()1,1--、()0,2-、()1,1---4分 （2）设定点坐标为),,(b a 定值为r ，“圆”的方程为.||||r b y a x =-+-则
⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧===⇒=-+-=-+-=-+-2
22
|3||3||1||1||3||1|r b a r b a r b a r b a ． “圆”的方程为2|2||2|=-+-y x ．---------------------6分 ---------------------8分 （3）}1|||||),{(≤+=y x y x B
⎩⎨
⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=+=1
21
22121y y y x x x y y y x x x ,),(22B y x ∈ 1||||22≤+∴y x 即 1||||11≤-+-y y x x
点集A 表示以原点为中心，边长为2的正方形及其内部， ∴点集Q 表示以点A 内的点为定点，1为定长的“圆”及其内部．
面积144112
1
44=⨯⨯⨯-⨯=S ．-----------------13分。