数模案例1叠砖问题课件

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TZC-MCM 李韶伟 677193
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E
G
aF
a
a
A
DB
C
每块砖都比下面一块砖多伸出一段长为a；
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• n块砖可以伸出(n - 1) a 那么长； • (n - 1) a 不超过一砖之长！ • 上面(n-1)块砖的重心G不能落在最下面那块砖
之外，因此 DC≥BC • 又 DC=0.5×EF= 0.5×[1+(n - 2) a]
n
且
ai A .
i1
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继续简化过程
首先考虑n次漂洗之后，剩余污渍mn 与每次用水量
ai 的关系.
进一步，再考察n与mn的关系.
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由假设可知，第一次放水后， m0 克污物均匀分布
(w+a1)千克水中，衣服上残留的污物量 m1与残留的水
量成正比：
k2 k 1
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模型结论：
漂洗的优化程序是： a．根据需洗衣服的质量确定漂洗一次衣服的最小用水
量m0. (以能浸透衣服为标准)
b．确定漂洗的次数 n


A m0

，([x]为x的整数部分).
c．将清水均分为n份，每份 m A 0 ，然后分n次漂洗.
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2.把10千克水分成两份，一份3千克，另一份7千克， 分两次漂洗。
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3.把10千克水平均分成两份，每份5千克，分两次漂洗。 哪一种方法洗出来最干净？ 1/36
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模型假设：
(1).污物均匀分布在衣服上。
(2).衣服在第一次漂洗前有一定含水量， 其含水量与 以后每次漂洗后衣服的含水量相同。 (3).忽视水温、水质等对漂洗结果的影响。
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mn

m0
(1a1)(1a2)
当漂洗的次数n为一定时，如何
(1an) 选取每次的用水量ai，才能漂洗的
ww
w 最干净？即剩余污渍mn最小？
n
我们已知： a i A . i1
容易看出，利用“均值不等式”，让分母最大，mn 有最小值.
cc n
(1a1)(11a22)
• 1.所提供的砖规格都是一样的； • (砖均为标准的长方体1长×h高×d宽， • 且 0<h<d<1) • 2.密度均匀，表面平整光滑； • 3.各块砖放平，放齐； • 4.摆放无其他自然条件的限制和影响。 • 摆放如下图所示
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叠砖示意图
h
d 1
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方案1：每块砖相同伸出量
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1.污物在水中的分 布不一样 2.漂洗后衣服上剩 余水的质量
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漂洗的力量不同！
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漂洗的用水量不同
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我再也不要
我最喜欢洗衣服了~ 洗衣服了！ 洗
衣
好服开心啊~
的
次
数
也
会
影
我又洗了一遍~
响 结
果
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污物
用水量 次数
(*)
nw
A 1, A* 2 A 3.5, A* 7 A 1.7, A* 4
w
w
w
总之，A 越大，衣服洗的越干净，但是这是有限度的. w
比如设总共20斤水，拧干衣服残留1斤水，则极限
是污物不会比 1
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2 40
更少.
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k 3
y (1 k ) x x
n越大越好！
(c1n a n)c 1 in1c(12 n awi)n (1cnA)n
ww
w n
nw


其中A，n，w为常数.
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n次漂洗后，剩余污渍mn 满足关系式：
mn

m0 (1 A
)n
nw
当 1a11a2时 , 等1式成an立，
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数模案例2 漂洗的优化问题
问题描述：洗衣服时，衣服用肥皂或洗衣粉搓洗 过后 ，衣服上总带着污物需要用清水来漂洗，要 建立数学模型分析如何安排清洗的程序，使得用 这些水漂洗的衣服最干净。
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模型准备：
对于一次洗衣的过 程干净与否，到底都与 什么因素有关呢？
衣服上本身的污物多 少，好洗不好洗?
将总水量A分成n+1次是否要比n次洗的更干净呢？
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比较
mn

m0 (1 A
)n
nw
和 mn1
(1
m0 A
)n1
(n 1)w
nc1c2 cnc1c2 n cn
(1nA w)n1n(1nnA w 1)1n11(nA1)wn1
(1A)n(1A)k nw kw
n(1nAwn) kk(1kA w)nk
1


即
(1 A )n 1 nw (1 A )k kw
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在此不妨取A*为不小于 2 A 的最小整数，即
k

A*
2 A ，进而
w
1
1
w
A

2.
kw
(1A)n2A*

1 4
a3

1 6
a1

1 2
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Gn Gn-1
n
Mn
n+1
1 2
Bn
an

1 2n
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• 用n+1块砖建塔，总的伸出量为(顶砖和底砖的重 心的水平距离)：
An 121416
1 2n
1(111 1) 2 23 n
当n增大时，每次伸出量的增加为1/(2n)，但是全 部伸出量加起来却可以要多大有多大！


这表明，将总水量A分成n+1次要比n次洗的更干净！
用一定量A的水可否将衣服洗得要多干净有多干净呢？
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考虑n+k个正数 c1,c2, ,cn,cn 1, ,cn k, 此处k为大 于 A 的整数.
w
取 c 1 c 2 c n 1 n A w ,c n 1 c n k 1 k A w，有
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11 1
1 m 2
1232 m 1m 22
这表明An可以要多大就有多大(无穷大)！ 比如有65块砖，便可以使顶层比底层伸出2砖 之长。砖数加倍，上面能多伸出1/4砖长。
An是无穷级数发散！
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努力不一定成功 放弃一定是失败
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m1 m0 w w a1
故：
m1

m0w w a1
= m0 1 a1
w
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同理：
m1

m0w w a1
= m0 1 a1
w
m2
m1w wa2
=
m0
(1a1)(1a2)
ww
用数学归纳法即可证明：
mn

m0
(1a1)(1a2)
(1an)
ww
w
想办法让 mn 尽量小！
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An 12(11213
1) n
11 11 34 44
11111111 5678 8888
11 181 9 10 16 16
2 m 1 1 1 2 m 1 1 2 2 m 1 1 2 m 1 2 m 1 2 m 1 1 2 m 1 2 1
• BC =(n -1) a • 故 0.5×[1+(n - 2) a] ≥ (n -1) a • 即 n a≤1， (n -1) a ≤ (n -1)/n < 1 • 均匀伸出摆放，伸出最多不超过一砖之长！
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方案2：每块砖伸出长短不一
此处G3很关键
M3 M4
G2
G1
G3
G4
a2
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模型的构成：
为简便计算过程，先定义常量。
初始的污物质量m0，是一常数。
总用水量A，在现有问题描述中是一常数。
每次充分拧干后，衣服上残存水量w，为一常数。
漂洗的次数 n.
第i次充分拧干后衣服上残留的污物质量为 mi .
第i次漂洗的用水量ai，i＝l,2, … ,n.
数模案例1 叠砖问题
TZC-MCM 李韶伟 677193
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问题描述
• 请用一些同样规格的砖叠一座小斜塔，能 使它斜到什么程度？
• 倾斜的程度刻画： • 最上面的一块砖的重心和最下面一块砖重
心的水平距离有多远？ • 最上面和最下面的同一侧边的水平距离！
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基本假设
剩余水量 分布
……
众多因素，哪些有用哪些没用？或者哪些 是常量，哪些是要研究的量呢？
让我们从一个简单问题中找 思路～
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脏衣服在用洗衣粉充分漂洗之后，一般要把衣服 拧干，尽可能的拧掉污水，再进行下一轮漂洗。假设 每漂洗一次拧干后衣服中还留有含污物的水1千克。现 有10千克清水，按下面三种方法漂洗： 1.直接把衣服放入10千克水中，一次漂洗。
ww
w
即 a1 = a2 = …… = an ，说明每次用水量相等。
此时剩余污渍
mn

m0 (1 A
)n
nw
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进一步，我们考虑n与mn的关系.
mn

m0 (1 A
)n
nw
为了衣服能够漂洗更加干净，即要让mn达到最小， 则需要 (1 A ) n 最大.
nw
此处 A 为固定常数.即可调整的是漂洗次数n. w