人教版五年级下册数学奥数试题 余数和同余 （含答案）

余数和同余
一、走进来：
在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。

据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后从1至5报数，最后令士兵从1至7 报数，分别记下每次最后一个士兵所报之数。

这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》。

算经中载有此题之算法，后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

七子团圆正半月，除百零五便得知。

”
这道题就是利用余数的性质来求解。

这一章我们来共同探讨这样的问题。

二、一起做：
【例1】2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。

提示：如何使2100能被这个两位数整除？
【例2】用一个自然数分别去除69、90、125，所得的余数都是6，求这个自然数。

提示：把“有余数”转化成“没有余数”，就能解决了。

【例3】60,90和125分别除以某个自然数时，余数相同，这个自然数最大是多少？
提示：余数相同，可以通过“不同的两数相减”的方式去掉余数，进而求解。

【例4】有一个整数，用它去除91、119、155得到的三个余数之和是20，求这个数。

提示：先根据已知条件，确定这个数的大致范围。

然后通过“三个数的和减去余数的和”去掉余数，再分解质因数来求解。

【例5】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小自然数。

提示：写出除以3余2的数，从中找出除以5余3的最小自然数，再写出满足前两个条件的数，从中找出除以7余2的最小数。

【例6】求71427×1379×5781的积除以7的余数。

提示：你可以利用这三个数分别除以7的余数，去研究71427×1379×5781除以7的余数。

三、我能行
展示自己
1、（）÷12 =20……（）当余数是（）时，被除数最大。

被除数最大是（）。

2、（）÷a = 10……21，被除数最小是（）。

3、5127除以一个两位数，余数是71，这个两位数是（）
4、被除数、除数、商和余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求这个被除数。

5、用一个自然数分别去除54、61、75时，结果余数都是5。

这个自然数是多少？
6、59、9
7、135分别除以同一个自然数，所得余数都是2。

这个自然数是多少？
7、59、97、135分别除以同一个自然数，所得余数相同，这个自然数是多少？
8、3511、3903和4589分别除以同一个自然数，所得余数相同，这个数最大是多少？
9、一个自然数，除1773、1888、1957、2003，得到相同的余数，求这个自然数最大是多少？
10、用一个整数分别去除345和543所得余数相同，且商差9，求这个数。

11、有一个整数，用它去除70、110、160得到的三个余数之和是50，求这个数。

12、有一个整数用它分别去除155、235、323所得余数和是98。

求这个整数是多少？
13、一个数除以3余1，除以5余3，除以7余5，求满足条件的最小自然数。

14、一个数除以6余2，除以5余2，除以9余2，求满足条件的最小自然数。

15、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求满足条件的最小自然数。

16、今天是星期六，再过（789×63×24912×4359+564）天是星期（）。

超越自我
1、在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数中最小的数是多少？如果你也能求出最大的数，那你一定是个聪明而勤劳的学生，试着求一下吧。

2、有一列数，第一个数是5，第二个数是12，从第3个数起每个数恰好是前两个数的和，求第1998个数除以3的余数是多少？
3、888… 8乘以666 … 6的积，除以7的余数是几？
50个 50个
四、老师总结，我发现：
在整数除法中，若不能整除时，就会产生余数。

将有余数的除法转化成没有余数，是解决此类问题的主要思想。

注意下列一些性质：
1、被除数=除数×商+余数
2、余数小于除数。

3、用一个数分别去除两个数的余数相同，那么两个数的差能被这个自然数整除。

4、一个数去除几个数的和或积的余数，等于这几个数分别除以这个数的余数的和或积。

5、被除数增加（或减少）除数的若干倍，除数不变，则余数不变。

6、被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或缩小）同样的倍数。

余数和同余答案
1、11 251
2、241
3、79
4、842
5、7
6、19
7、2 ，19 ，38
8、98
9、23
10、22
11、29
12、41
13、103
14、92
15、53
16、星期三
挑战自我
1、9992
2、0
3、5
4、星期四。