直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积精品文档

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3a 2
40
8
◆极坐标系下的平面图形的面积（演示） r r( )
如果平面曲线由极坐标给出，如右图：
由 , , rr


所围成的图形称为曲边扇形。
其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：
dA 1r2 d （扇形面积近似替换）
2
由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为
x y 可选取适当坐标系，使旋转轴为 轴或 轴。 x y 最基本的情形是曲边梯形绕 轴或 轴旋转的情形。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示）
由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a< b, f (x)>0)所围成的曲边
梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为
y=f (x)
例1 计算由 y 2 x 及 y x 2 所围成的图形的面积。
例2 计算由曲线 y x3 6x 和y x 2 所围成的图形的面积。
例3 计算由 y 2 2 x 和 y x 4 所围成的图形的面积。
解 A A1 A2

2 0

2x (
2 x ) d x
体积元素为
dV y2dx
r h
x

2
dx

o
P(h,r) x x+dx x
所求体积为 V 0hhrx2dx13r2h
◆旋转体的体积例题选举
2
2
2
例2 求星形线 x3 y3 a3 (a0)绕 x 轴旋转构成旋转
体的体积。
A1
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转
b
Aa f(x)dx (ab)
2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所围平面图形的面积为
b
Aaf(x)g(x)dx (ab)
3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x=φ (y) 所围平面图形的面积为
Ad(y)dy (cd) c
◆平面图形的面积例题选举
◆旋转体的体积计算公式
例 1 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围 成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高 为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。
解 如图所示 x (0, h) 直线OP的方程为 y r x
y
h
任取 x (0, h)，形成区间 x, xdx
平面图形的面积 旋转体的体积
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示）
定积分的元素法分析（演示）
定积分的元素法（演示） 一般地：若所量U与变量的变化取间[a , b]有关，且关于
[a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式
旋转体概念
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旋转体实例圆锥
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旋转体实例圆柱
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旋转体体积推导
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体积例题 3
返回
体积例题 2
返回
体积例题 5
返回
2 1
0

2 x4dx
32 23 2


0
15
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
4 yx3, y1 , y轴
1
绕y轴旋转一周
y
Vy

1
0
3
y
2dy3
5
5 yx3, x1 , x轴
绕y轴旋转一周
Vy013y2dy5 2
A
1
2
r2
d
◆极坐标系下的平面图形的面积计算例题
例6 求双纽线 2a2cos2 (a0)所围平面图形的面积。
解
A4

4
1
r2d
02
4

4
1a2
cos2d

a
2
0 2
例7 求心形线 r a (1 c o s) (a 0 )所围平面图形的面积。
y
y=x3 1
y=x3 1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
6 y x 2 , y x 2 1y 2
2
绕y轴旋转一周
1
2
2
2
2
V y0
yd y 1
y 1d y
3 2
例4 求由曲线 y 4 x2 及 y 0 所围成的图形绕直线 x 3
U b f (x)dx, 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 a
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为
（3）y32xx2,x轴
1
A
32xx2 dx
32
3
3
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（4） y2x3, yx2
A 3 2x3x2 dx 1
8 3
（5） yx2, yx, y2x
A 12xxdx 2 2xx2 dx
V xa by2dxa bf(x)2dx
2、旋转轴为 y 轴（演示）
a
b
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c< d, g (y)>0)所围成的曲边
梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 d
V ycdx2dycdg(y)2dy c
x=g (y)
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（7） y 2 4 x 1 , y 2 4 2 x
y2 42x
x1y2, x2y2
4
4
22
1
22
法一：以 y 作积分变量
A202(2y42)(1y42)dy
4
2 3
2 y2 4x1
r1, r1cos
解 A 2 2 2 1 2 2 1 2co 2 s1 cco oss22d d 5 ... 2 4
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。
示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。
法二：以 x 作积分变量
A213 24x1dx3 2242xdx
42 3
例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。
星形线
x a c o s 3 t

y

a
sin
3
t
2
2
2
即 x3 y3 a3
A1
解由图形的对称性可得
a
A4A1 4 0 ydx
一周而成的立体的体积。
解 如图所示
Vy V1 V2
01x12dy01x22dy
1ydy 1y4dy 3
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 yx3 , x 1 , y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1

x6dx

0
1 7
0
1
7 6
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（6） y2x2, yx2, y1
1
A ( y 0
y )dy 2

2 3
(1
2) 2
或
A
2 2
2x2 x2
1
dx 2
1 x2
dx
0
22
2
一般地：如右图中的阴影部分的面积为
Acdfygydy
旋转一周而构成的旋转体的体积。 y x2 4 y 4
x1 4 y
-2 o 2 3 x
再见！
2
问题的提出
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定积分元素法分析
定积分元素法
返回
平面图形的面积（直角坐标）
返回
求面积例题 1
返回
面积例题 2
返回
求面积例题 3
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例 4 求椭圆面积
返回
平面图形的面积（极坐标） 返回
2 yx3 , y 1 , x 0 1
绕x轴旋转一周
Vx

1dx
0
1x6dx
0

6 7

y=x3 x1
y=x3
x
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
3 y x 2 ,y x 2 1y 2 绕x轴旋转一周
1
V 2
x 2 12d x 2 2
40asin3td acos3t
2
12a2
0sin4tcos2tdt
3a2

2sin22tsin2tdt
0
3a2

2
21cos4t1costdt
40
偶次方化倍角
3 a 2

21 co s4 t co stco s4 tco std t
解 A 2 1 r2d 02
21a(1cos)2d
02
3 a2 2
例8 求由曲线 r22cos 所围成的图形面积。
解 A21 2042cos2d 40 42coscos2d
...18
例 9 求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。

8 2

2 x ( x 4 ) d x
18
例4 求椭圆
x2 a2

y2 b2
1 的面积。
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（1）y x, y x
1
A
xx dx 1
0
6
（2）ye,yex,x0 A 1 eex dx 1 0