门头沟区2013年高三年级抽样测试数学(理工类)
门头沟区2013年高三年级抽样测试_文
门头沟区2013年高三年级抽样测试_文一、选择题（共2小题；共10分）1. 若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足a+b2−c2=4，且C=60∘，则ab的值为______A. 43B. 8−43 C. 1 D. 232. F1，F2是椭圆x2a +y2b=1a>b>0的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足M的轨迹为______A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、解答题（共5小题；共65分）3. 已知函数f x=sin2x+cos x cosπ2−x ．（1）求fπ3的值；（2）求函数f x的最小正周期及值域．4. 已知函数f x=xx+b，其中b∈R．（1）f x在x=−1处的切线与x轴平行，求b的值；（2）求f x的单调区间．5. 如图，已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．（1）求证：AB⊥平面PCD；（2）若PC=PD=1，CD=2，试判断平面α与平面β是否垂直，并证明你的结论．6. 已知椭圆与双曲线x2−y2=1有相同的焦点，且离心率为22．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P0,1的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若AP=2PB，求△AOB的面积．7. 已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，满足下列条件①∀n∈N∗，a n≠0；②点P n a n,S n在函数f x=x 2+x2的图象上；（1）求数列a n的通项a n及前n项和S n；（2）求证：0≤∣P n+1P n+2∣−∣P n P n+1∣<1．三、选择题（共6小题；共30分）8. 已知集合A=x∣x2≤4，B=x∣x<1，则集合A∪B等于______A. x∣1≤x≤2B. x∣x≥1C. x∣x≤2D. x∣x≥−29. 在等差数列a n中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是______A. 15B. 30C. 31D. 6410. 为得到函数y=sin2x的图象，可以将函数y=sin2x−π3的图象______A. 向左平移π3个单位 B. 向左平移π6个单位C. 向右平移π3个单位 D. 向右平移π6个单位11. 如果f x的定义域为R，f x+2=f x+1−f x，若f1=lg3−lg2，f2=lg3+lg5，则f3等于______A. 1B. lg3−lg2C. −1D. lg2−lg312. 如图所示，为一几何体的三视图，则该几何体的体积是______A. 1B. 12C. 13D. 5613. 已知函数f x=2,x≥0x2+4x+2,x<0的图象与直线y=k x+2−2恰有三个公共点，则实数k的取值范围是______A. 0,2B. 0,2C. −∞,2D. 2,+∞四、填空题（共4小题；共20分）14. 复数11−i在复平面内对应的点到原点的距离是______．15. 如图所示的程序框图，执行该程序后输出的结果是______．16. 为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为s1、s2、s3，则它们的大小关系为______．（用" > "连结）17. 设向量a=a1,a2，b=b1,b2，定义一种向量积：a⊗b=a1,a2⊗b1,b2=a1b1,a2b2．已知m=12,3，n=π6,0，点P在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f x的图象上运动，且满足OQ=m⊗OP+n（其中O为坐标原点），则y=f x的最大值是______．五、解答题（共1小题；共13分）18. 某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部推荐了1男2女三名候选人．（1）若从初、高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；（2）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率．六、填空题（共2小题；共10分）19. 在给定的函数中：①y=−x3；②y=2x；③y=sin x；④y=1x，既是奇函数又在定义域内为减函数的是______．20. 用计算机产生随机二元数组构成区域−1<x<1,−2<y<2,对每个二元数组x,y，用计算机计算x2+y2的值，记“ x,y满足x2+y2<1”为事件A，则事件A发生的概率为______．答案第一部分1. A2. A第二部分3. （1）由已知，得fπ3=sin2π3+cosπ3cosπ2−π3．fπ3=34+12×32=3+34．（2）f x=sin2x+cos x sin x=1−cos2x2+sin2x2=12sin2x−12cos2x+12 =22sin2x−π4+12.函数f x的最小正周期T=π，值域为1−22,1+22．4. （1）fʹx=b−x2x2+b2．依题意，由fʹ−1=0，得b=1．经检验，b=1符合题意．（2）①当b=0时，f x=1x．故f x的单调减区间为−∞,0，0,+∞；无单调增区间．②当b>0时，fʹx=b−x 2x+b．令fʹx=0，得x1=b，x2=−b．f x和fʹx的情况如下：x −∞,−b −b −b,b b b,+∞fʹx−0+0−f x↘↗↘故f x的单调减区间为 −∞,−，,+∞ ；单调增区间为 −．③当b<0时，f x的定义域为D= x∈R∣x≠±−b ．因为fʹx=b−x 2x2+b2<0在D上恒成立，故f x的单调减区间为 −∞,−−b ， −−b,−b ，−b,+∞ ；无单调增区间．5. （1）因为PC⊥α，AB⊂α，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．又PC∩PD=P，故AB⊥平面PCD．（2）平面α与平面β垂直证明：设AB与平面PCD的交点为H，连接CH，DH．因为PC⊥α，所以PC⊥CH，在△PCD中，PC=PD=1，CD=2，所以CD2=PC2+PD2=2，即∠CPD=900．在平面四边形PCHD中，PC⊥PD，PC⊥CH，所以PD∥CH，又PD⊥β，所以CH⊥β，所以平面α⊥平面β．6. （1）设椭圆方程为x2a +y2b=1，a>b>0，由c=，可得a=2，b2=a2−c2=2，既所求方程为x24+y22=1．（2）设A x1,y1，B x2,y2，由AP=2PB有−x1=2x2,1−y1=2y2−1,设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理，得2k2+1x2+4kx−2=0，解得x=−2k±8k2+22k2+1,若x1=−2k− 8k2+22k2+1，x2=−2k+8k2+22k2+1，则−−2k− 8k2+22k2+1=2⋅−2k− 8k2+22k2+1,解得k2=114,又△AOB的面积S=12∣OP∣⋅∣x1−x2∣=12⋅28k2+2 2k+1=1268．答：△AOB的面积是1268．7. （1）由题意S n=a n2+a n2．当n≥2时a n=S n−S n−1=a n2+a n2−a n−12+a n−12，整理，得a n+a n−1a n−a n−1−1=0.又∀n∈N∗，a n≠0，所以a n+a n−1=0或a n−a n−1−1=0．a n+a n−1=0时，a1=1，a na n−1=−1，得a n=−1n−1,S n=1−−1n2,a n−a n−1−1=0时，a1=1，a n−a n−1=1，得a n=n,S n=n2+n2.（2）a n+a n−1=0时，P n−1n−1,1−−1n2，∣P n+1P n+2∣=∣P n P n+1∣=5，所以∣P n+1P n+2∣−∣P n P n+1∣=0.a n−a n−1−1=0时，P n n,n2+n2，∣P n+1P n+2∣=2，∣P n P n+1∣=1+n+12，则∣P n+1P n+2∣−∣P n P n+1∣=1+n+22−1+n+12=2222=1+n+22+1+n+12因为1+n+22>n+2，2>n+1，所以0<22<1，综上0≤∣P n+1P n+2∣−∣P n P n+1∣<1．第三部分8. C 9. A 10. B11. A 12. D 13. A第四部分14. 2215. −116. s1>s2>s317. 3第五部分18. （1）由题意，高中部的男生和女生分别用A，B表示，初中部的男生和女生分别用a，b表示．从初、高中各选1名同学的基本事件有A1,a，A1,b1，A1,b2，A2,a，A2,b1，A2,b2，B,a，B,b1，B,b2共9种，设" 2名同学性别相同"为事件E，则事件E包含4个基本事件，概率P E=4 9．所以，选出的2名同学性别相同的概率是49．（2）由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有A1,A2，A1,B，A1,a，A1,b1，A1,b2，A2,B，A2,a，A2,b1，A2,b2，B,a，B,b1，B,b2，a,b1，a,b2，b1,b2共15种，设"2名同学来自同一学部"为事件F,则事件F包含6个基本事件，概率P F=615=25．所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是25．第六部分19. ①20. π8。
15北京市门头沟区2013届高考一模数学文试题(WORD解析版) 2
门头沟区2013年高三年级抽样测试数学（文史类）第Ⅰ卷 (选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，则集合B A 等于（A ）{}12x x ≤≤ （B ）{}1x x ≥ （C ）{}2x x ≤（D ）R {}-2x x ≥【答案】C{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,所以{2}A B x x =≤ ，选C.2．在等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是 （A ）15（B ）30（C ）31（D ）64【答案】A由7916+=a a ，得121416a d +=，由41=a ，得131a d +=，解得47d =，所以124812715a a d =+=+⨯=，选A.3．为得到函数sin (π2)y x =-的图象，可以将函数πsin (2)3y x =-的图象 （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位（D ）向右平移6π个单位【答案】B因为s i n (π2)=s i n 2s i n (2)s i n [2()]3363y x x x xππππ=-=+-=+-，所以可以将函数πsin (2)3y x =-的图象向左平移6π个单位，得到sin (π2)y x =-，所以选B.4．如果()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(1)l g 3l g 2f =-，(2)lg3lg5f =+，则(3)f 等于（A ）1（B ）lg3-lg22013.3（C ）-1（D ）lg2-lg3【答案】A因为(3)(2)(1)f f f =-，所以(3)lg3lg5(lg3lg 2)lg5lg 21f =+--=+=，选A. 5．如图所示，为一几何体的三视图， 则该几何体的体积是 （A ）1（B ）21 （C ）13（D ）65【答案】D由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为11111326⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为15166-=，选C. 6．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足422=-+c b a )(，且C =60°，则ab 的值为 （A ）348-（B ）1（C ）34 （D ）32 【答案】C由422=-+c b a )(得22242a b c ab +-=-，又222421c o s 60222a b c a b a b a b +--===，解得43ab =，选C. 7. 已知函数22,0()42,0x f x x x x ≥⎧=⎨++<⎩的图象与直线(2)2y k x =+-恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是 （A ）()02，(B)(]02，(C)()-2∞， (D)()2+∞，主视图 左视图俯视图111【答案】A因为直线(2)2y k x =+-过定点(2,2A --。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013北京门头沟一模数学【理】答案
门头沟区2013年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）已知：函数2π()sin cos()2f x x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的对称轴方程； （Ⅱ）当7π[0,]12x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．解：（Ⅰ） 2()sin sin f x x x x =+1cos 22x -=+…………………………… 5分112cos 222x x =-+ π1sin(2)62x =-+ (7)分函数关于直线 ππ2π()62x k k Z -=+∈对称所以 对称轴方程为 ππ()32k x k Z =+∈ ……………………………9分（Ⅱ）当7π[0,]12x ∈时，ππ2[,π]66x -∈- 由函数图象可知，πsin(2)6x -的最大值为1，最小值为12-……………………………12分所以函数()f x 的最大值为32，最小值为0 ……………………………13分16．（本小题满分14分）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠=，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D ''（如图）． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '； （Ⅱ）求证：//C N '平面ADD '； （Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值． （Ⅰ）证明：因为12AD BC =，N 是BC 的中点 所以AD NC =，又//AD BC所以四边形ANCD 是平行四边形，所以AN DC = 又因为等腰梯形，60ABC ∠= ，所以 AB BN AD ==，所以四边形ANCD 1302ACB DCB ∠=∠=所以90BAC ∠= ，即AC AB ⊥ 由已知可知 平面C BA '⊥平面ABC ， 因为 平面C BA ' 平面ABC AB =所以AC ⊥平面ABC ' ……………………………4（Ⅱ）证明：因为//AD BC ，//AD BC ''，,AD AD A BC BC B ''==所以平面//ADD '平面BCC ' 又因为C N '⊂平面BCC '，ACDD 'C '所以 //C N '平面ADD ' …………………………8分（Ⅲ）因为AC ⊥平面ABC '同理AC '⊥平面ABC ，建立如图如示坐标系 设1AB =，则(1,0,0)B,C, C '，1(2N ， ……………………………9分则(BC '=-，(0,CC '=设平面C NC '的法向量为(,,)n x y z =，有 0BC n '⋅= ，0C C n '⋅= ，得n =……………………………11分因为AC '⊥平面ABC ，所以平面C AN '⊥平面ABC 又BD AN ⊥，平面C AN ' 平面ABC AN = 所以BD ⊥平面C AN 'BD 与AN 交于点O ，O 则为AN 的中点，O 1(4所以平面C AN '的法向量3(,4OB = ……………………………12分所以cos n OB n OBθ⋅==⨯ ……………………………13分 由图形可知二面角A C N C '--为钝角 所以二面角A C N C '--的余弦值为 ……………………………14分17．（本小题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图． （Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望． 解：（Ⅰ）(0.20.16)15018+⨯⨯=这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………………3分 （Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.1P A =事件B “至少一个路段严重拥堵”，则3()(1())0.729P B P A =-=()1()0.271P B P B =-=所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271 (8)分（IIIEX此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．……………………………13分 18．（本小题满分14分）已知函数2()xax x af x e++=． （Ⅰ）函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； （Ⅱ）当[0,2]x ∈时，21()f x e≥恒成立，求a 的取值范围 解： （Ⅰ）2(21)1()xax a x af x e-+-+-'= ……………………………2分 (0)1f a '=-， ……………………………3分因为函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与直线210x y +-=平行所以12a -=-，3a = ……………………………5分（Ⅱ）2(21)1()x ax a x a f x e -+-+-'=(1)(1)xax a x e -+--=令()0f x '=当0a =时，1x =，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增；在(1,2)上，有()0f x '<，函数()f x 减，22(0)0,(2)f f e == 函数()f x 的最小值为0，结论不成立．………………………6分 当0a ≠时，1211,1x x a==-……………………………7分若0a <，(0)0f a =<，结论不成立 ……………………………9分若01a <≤，则110a-≤，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增； 在(1,2)上，有()0f x '<，函数()f x 减，只需221(0)1(2)f e f e ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ ，得到2115a e a ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，所以211a e≤≤ ……………………………11分 若1a >，1011a <-<，函数在11x a =-有极小值，只需2211(1)1(2)f a e f e ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得到112115a a ea --⎧-≥⎪⎨⎪≥-⎩，因为11211,1a a e ---><，所以1a > (13)分 综上所述，21a e≥……………………………14分 19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中， 动点P 到直线:2l x =的距离是到点(1,0)F倍．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设直线FP 与（Ⅰ）中曲线交于点Q ，与交于点A ，分别过点P 和Q 作的垂线，垂足为,M N ，问：是否存在点P 使得APM ∆的面积是AQN ∆面积的9倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． （Ⅰ）解：设点P 的坐标为(,)x y ．x - ……………………………3分 化简得 2222x y +=所以动点P 的轨迹方程为 2222x y += ……………………………5分 （Ⅱ）设直线FP 的方程为1x ty =+，点1122(,),(,)P x y Q x y 因为AQN ∆∽APM ∆，所以有3PM QN =，由已知得3PF QF =，所以有123y y =-（1） ……………………………7分由22122x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得22(2)210t y ty ++-=，0∆> 12222t y y t +=-+（2），12212y y t ⋅=-+（3） ……………………………10分 由（1）（2）（3）得1211,1,3t y y =-==-或1211,1,3t y y ==-=所以 存在点P 为(0,1)± ……………………………13分20．（本小题满分13分） 对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{}()()1M N M N x f x f x ⊗=⋅=-．已知{}1,2,3,4,5,6A =，{}1,3,9,27,81B =．（Ⅰ）写出(2)A f 与(2)B f 的值，并用列举法写出集合A B ⊗（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ⊗+⊗的最小值；（III ）有多少个集合对(,)P Q 满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ⊗⊗⊗=⊗． （Ⅰ）解：(2)1A f =-，(2)1B f = …………………………1分{}2,4,5,6,9,27,81A B ⊗= …………………………2分（Ⅱ）{,}X A x x X A x X A ⊗=∈∉ ，{,}X B x x X B x X B ⊗=∈∉要使()()Card X A Card X B ⊗+⊗的值最小，1,3一定属于集合X ，X 不能含有A B 以外的元素，所以当集合X 为{}2,4,5,6,9,27,81的子集与集合{}1,3的并集时，()()Card X A Card X B ⊗+⊗的值最小，最小值是7 ……………………………8分（Ⅲ）因为()()()A B A B f x f x f x ⊗=⋅()()()()()A B C A B C f x f x f x f x ⊗⊗=⋅⋅所以⊗运算具有交换律和结合律所以()()()()P A Q B P Q A B ⊗⊗⊗=⊗⊗⊗ 而()()P A Q B A B ⊗⊗⊗=⊗所以P Q ⊗=∅，所以P Q =，而{1,2,3,4,5,6,9,27,81}A B =所以满足条件的集合对(,)P Q 有92512=个 …………………13分注：不同解法请教师参照评标酌情给分．。
北京市各区2013年高三期末和一模数学理科分类---第7、8和13、14题-1
北京市各区2013年高三期末和一模数学理科分类-----第7、8和13、14题一、 选择题〔2013朝阳一摸理〕〔7〕抛物线22y px =〔p ＞0〕的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 A. 33 B. 1 C. 33D. 2 〔2013朝阳一摸理〕〔8〕已知函数*()21,f x x x =+∈N .假设*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个〔2013大兴一摸理〕〔7〕假设实数,a b 满足221a b ≤，则关于x 的方程220x x a b 无．实数根的概率为 〔A 〕14 〔B 〕 34 〔C 〕3π24π〔D 〕π24π 〔2013大兴一摸理〕〔8〕抛物线2(22)y x x ≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如下列图的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕22 〔D 〕4〔2013东城一摸理〕〔7〕已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.假设函数()f x 在区间(1,)k k -〔k ∈Z 〕上有零点，则k 的值为 A〔A 〕2或7- 〔B 〕2或8- 〔C 〕1或7- 〔D 〕1或8-〔2013东城一摸理〕〔8〕已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，假设AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n nk θ=， 则y x -等于〔A 〕1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- 〔B 〕1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- 〔C 〕1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- 〔D 〕1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n ---〔2013房山一摸理〕7.某三棱椎的三视图如下列图，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是A. 43B. 8C. 47D. 83〔2013房山一摸理〕M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则以下集合中以为聚点的有：① {|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n ∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = A.①④ B. ②③ C. ①② D. ①②④〔2013丰台一摸理〕7. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标〔x,y 〕都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y=f(x)是区间〔0，+∞〕上的减函数，且x+y 4≤(B) y=f(x)是区间〔1，+∞〕上的增函数，且x+y 4≥(C) y=f(x)是区间〔1，+∞〕上的减函数，且x+y 4≥(D) y=f(x)是区间〔1，+∞〕上的减函数，且x+y 4≤〔2013丰台一摸理〕8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，假设动圆C 与直线221y x =++总有公共点，则圆C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π〔2013门头沟一摸理〕7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A)21 (B) 13 (C)65 (D) 5〔2013门头沟一摸理〕8．定义在 R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(2)y f x =+主视图 1 左视图 1 俯视图1的图象关于点(2,0)-成中心对称，假设,s t 满足不等式组()(2)0()0f t f s f t s +-≤⎧⎨-≥⎩，则当23s ≤≤时，2s t +的取值范围是(A) [3,4] (B) [3,9] (C) [4,6] (D) [4,9]〔2013西城一摸理〕7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．假设对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是〔A 〕1(0,]4 〔B 〕1[,)4+∞ 〔C 〕1(0,]8 〔D 〕1[,)8+∞ 〔2013西城一摸理〕8．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是 〔A 〕线段〔B 〕圆弧 〔C 〕椭圆的一部分 〔D 〕抛物线的一部分〔2013延庆一摸理〕7.一四面体的三视图如下列图，则该四面体四个面中最大的面积是A.2B. 22C.3D. 32〔2013延庆一摸理〕8.已知函数)0(2)(23≠-+=a bx ax x f 有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，则A ．当0<a 时，021<+x x ，021>x x B. 当0<a 时，021>+x x ，021<x xC. 当0>a 时，021<+x x ，021>x xD. 当0>a 时，021>+x x ，021<x x〔2013海淀一摸理〕7. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最 小值是A.12B.22C.32D.223〔2013海淀一摸理〕8. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出以下三个结论： ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形；②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；① 条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是〔7题图〕A. ①B.①②C. ①③D. ②③〔2013石景山一摸理〕7．对于直线:(1)l y k x =+与抛物线2:4C y x =，1k =±是直线l 与抛物线C 有唯一交点的〔 〕条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要〔2013石景山一摸理〕8．假设直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称.则称点对[P , Q ]是函数)(x f y =的一对“友好点对”〔注：点对[P , Q ]与[Q , P ]看作同一对“友好点对”〕.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有〔 〕对 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(2013昌平高三期末理)〔7〕已知一个空间几何体的三视图如下列图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 104342+ B ．102342+C. 142342+ D. 144342+(2013昌平高三期末理)〔8〕已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22x f x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数； 命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >； 命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称 A ．命题p q 、 B ．命题q s 、 C ．命题r s 、 D ．命题p r 、(2013朝阳高三期末理)7.设集合{}2A=230x x x +->，集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.假设A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞ (2013朝阳高三期末理)8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点1P，2P 分别是线段AB ，1BD 〔不包括端点〕上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PPAB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．12(2013东城高三期末理)〔7〕已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2|AK AF ，则△AFK 的面积为〔A 〕4 〔B 〕8 〔C 〕16 〔D 〕32(2013东城高三期末理)〔8〕给出以下命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②假设log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③假设函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4(2013丰台高三期末理)7．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B 〔0,1〕，点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，假设OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是〔 〕(A)1 (B) 1(C) -11(2013丰台高三期末理)8．已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，集合A={m|f(m)<0}，则(A) ,m A ∀∈都有f(m+3)>0 (B) ,m A ∀∈都有f(m+3)<0(C) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)=0 (D) 0,m A ∃∈使得f(m 0+3)<0(2013石景山高三期末理)7．某三棱锥的三视图如下列图，该三棱锥的体积是〔A ．38B ．4C ．2D ．34(2013石景山高三期末理)8. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论：① []20133∈； ② []22-∈； ③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为〔 〕．A ．1B ．2C ．3D ．4(2013通州高三期末理)7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件(2013通州高三期末理)8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是〔A 〕355 〔B 〕2 〔C 〕115 〔D 〕3 (2013海淀高三期末理)7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72(2013海淀高三期末理)8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，假设椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题：〔2013朝阳一摸理〕〔13〕函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .〔2013朝阳一摸理〕〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=〔2≤x ≤4〕上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 〔2013大兴一摸理〕〔13〕已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x 在区间[1,]m 上的最大值是1，则m 的取值范围是 ． 〔2013大兴一摸理〕〔14〕已知函数()f x 是定义在(0,)上的单调递增函数，且N x()N f x ，假设[()]3f f n n ，则(2)=f ；(4)(5)f f〔2013东城一摸理〕〔13〕有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有 种． 144〔2013东城一摸理〕〔14〕数列{a n }的各项排成如下列图的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，假设n n a a =(0)a ≠，则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．〔填第几行的第几列〕〔2013房山一摸理〕100天内的单价()f t 与时间的函数关系是22(040,)4()52(40100,)2t t t f t t t t ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩N N 日销售量()g t 与时间的函数关系是109()(0100,)33t g t t t =-+≤≤∈N .则这种商品的日销售额的最大值为 . 〔2013房山一摸理〕14.已知函数()f x 的定义域是D ，假设对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =； ②1()()52x f f x =； ③(1)1()f x f x -=-.则4()5f = ，1()2013f = . 〔2013丰台一摸理〕13.某四面体的三视图如下列图，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______. 〔2013丰台一摸理〕14. 已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。
北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：圆锥曲线(含答案)
北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线221x m y -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．42 ．（2013届北京海滨一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||P F P A 的最小值是（ ）A ．12 B ．2 C ．2D ．33 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=4 ．（2013届东城区一模理科）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y ab-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212P F F P F F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为 （ ）A 2B C ．2D 15 ．（2013届门头沟区一模理科）已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且y x的取值范围为33(,)44-，则该双曲线方程是 A ．221916x y -=B ．221916yx-=C ．221169x y -= D ．221169y x -=6 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线22y p x =的焦点F 与双曲线22179xy-=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||A K A F =，则△A F K 的面积为 （ ）A ．4B ．8C ．16D ．327 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）方程2x xy x +=的曲线是 （ ）A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线8 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若O M O N ⊥，则双曲线的离心率为 （ ）A ．12-+B ．12+ C ．12-+D ．12+9 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．5B ．2C ．115D ．310．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是 （ ）A ．1422=-yxB ．1422=-yx C ．13222=-yxD ．12322=-yx11．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12(,)33B ．1(,1)2 C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322二、填空题12．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系xO y 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线A P 与B P 的斜率之积等于2，则0x =______．13．（2013届房山区一模理科数学）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的焦距为4，且过点(2,3)，则它的渐近线方程为 .14．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）若双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围是 .15．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知直线:1(R )l y a x a a =+-∈，若存在实数a使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1xy -+-=；③2234x y +=．其中直线l 的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）如图，16．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b ab-=>>，的两个焦点，A和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为 .17．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆22142xy+=的两个焦点是1F ，2F ，点P在该椭圆上．若12||||2P F P F -=，则△12P F F 的面积是______．18．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足.如果直线AF 的倾斜角为 120,那么=PF _______.19．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.20．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.21．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412xy-=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则P F P A +的最小值为 ．三、解答题22．（2013届北京大兴区一模理科）已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C 。
2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（ ） （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ． （2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（ ）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ． （3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）（A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ） （A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈． 综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（ ）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-． 又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ． （8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ） （A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ． （11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（ ） （A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（ ）（A ）{}n S 为递减数列 （B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列 （D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ． 【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】 【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒． （1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ． 又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C． （19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==． 所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=． （20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重 合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =． 当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =． （21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++， 故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =． （2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>． 即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ． 而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增． 而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆 于点D ． （1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径． 解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=． 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。
2013年北京门头沟高三数学文科一模试题答案
门头沟区2013年高三年级抽样测试评标及参考答案数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本题共6小题，共80分．15.（本小题满分13分）已知函数)-2π(cos cos sin )(2x x x x f +=． （Ⅰ）求)3π(f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及值域. 解：（I ）由已知，得2πππππ()sin cos cos()33323f =+- ……2分π31()342f =+……5分（II ）2()sin cos sin f x x x x =+ 1cos 2sin 222x x-=+111sin 2cos 2222x x =-+π1)42x =-+ 函数)(x f 的最小正周期T π=……11分值域为 ……13分16．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）)(x f 在1x =-处的切线与x 轴平行，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．解：（Ⅰ）222()()b x f x x b -'=+．……2分依题意，由(1)0f '-=，得1b =． ……4分 经检验，1b = 符合题意．……5分（Ⅱ）① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ……6分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． 令()0f x '=，得1x =，2x =……8分()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．……11分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立， 故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．……13分17. （本小题满分13分）如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥I 是垂足． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；PBα（Ⅱ）若1,PC PD CD ===，试判断平面α与平面β是否垂直，并证明你的结论．（Ⅰ）证明：因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥． 同理PD AB ⊥．又PC PD P =I ，故AB ⊥平面PCD ．……5分（Ⅱ）平面α与平面β垂直证明：设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ． 因为α⊥PC ，所以CH PC ⊥， ……8分在PCD ∆中，1,PC PD CD ===，所以2222CD PC PD =+=，即090CPD ∠=． ……11分 在平面四边形PCHD 中，CH PC PD PC ⊥⊥,，所以CH PD // 又β⊥PD ，所以β⊥CH ，所以平面α⊥平面β． ……13分18. （本小题满分13分）某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．（I ）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率； （II ）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率解：设高中部三名候选人为A1，A2，B ．初中部三名候选人为a,b1,b2 （I ）由题意，从初高中各选1名同学的基本事件有 （A1，a ），（A1，b1），（A1，b2）， （A2，a ），（A2，b1），（A2，b2）， （B ，a ），（B ，b1），（B ，b2）， 共9种 ……2分 设“2名同学性别相同”为事件E ，则事件E 包含4个基本事件，概率P(E)=94 所以，选出的2名同学性别相同的概率是94．……6分（II ）由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有（A1 ，A2），（A1，B ），（A1，a ），（A1，b1），（A1，b2）， （A2，B ）， （A2，a ），（A2，b1），（A2，b2），（B ，a ）， （B ，b1），（B ，b2），(a ，b1)，（a ，b2），（b1，b2） 共15种 ……8分 设“2名同学来自同一学部”为事件F ，则事件F 包含6个基本事件，概率P(F)=52516=所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是25． ……13分19. （本小题满分14分）已知椭圆与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且离心率为22． （I ）求椭圆的标准方程；（II ）过点P （0，1）的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若2=，求AOB ∆的面积．解：（I ）设椭圆方程为12222=+by a x ，0>>b a ，由2=c ，可得2=a ，2222=-=c a b既所求方程为12422=+y x……5分（II ）设),(11y x A ，),(22y x B ， 由PB AP 2=有⎩⎨⎧-=-=-)(12122121y y x x 设直线方程为1+=kx y ，代入椭圆方程整理，得0241222=-++kx x k )(……8分解得1228222++±-=k k k x……10分若 12282221++--=k k k x ，12282222+++-=k k k x 则 122822122822222++--⋅=++---k k k k k k解得1412=k ……12分又AOB ∆的面积81261228221||||212221=++⋅=-⋅=k k x x OP S答：AOB ∆ ……14分20. （本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件①0≠∈∀n a N n ,*；②点),(n n n S a P 在函数22xx x f +=)(的图象上；（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ； （II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．解：（I ）由题意22nnn a a S += ……2分当2≥n 时2212121---+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a整理，得0111=--+--))((n n n n a a a a……5分又0≠∈∀n a N n ,*，所以01=+-n n a a 或011=---n n a a01=+-n n a a 时，11=a ，11-=-n na a ， 得11--=n n a )(，211nn S )(--=……7分011=---n n a a 时，11=a ，11=--n n a a ，得n a n =，22nn S n += ……9分（II ）证明：01=+-n n a a 时，))(,)((21111n n n P ----5121==+++||||n n n n P P P P ，所以0121=-+++||||n n n n P P P P……11分011=---n n a a 时，),(22nn n P n + 22121)(||++=++n P P n n ，2111)(||++=+n P P n n222222121112111211121)()()()()()(||||++++++--++=++-++=-+++n n n n n n P P P P n n n n22112132)()(++++++=n n n……13分因为 11122122+>+++>++n n n n )(,)(所以1112132022<++++++<)()(n n n综上10121<-≤+++||||n n n n P P P P……14分注：不同解法请教师参照评标酌情给分．。
北京市门头沟区高三数学一模试题 文(门头沟一模,含解析)新人教B版
门头沟区2013年高三年级抽样测试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷 (选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，则集合B A 等于（A ）{}12x x ≤≤ （B ）{}1x x ≥ （C ）{}2x x ≤（D ）R {}-2x x ≥【答案】C【解析】{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,所以{2}AB x x =≤，选C.2．在等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是 （A ）15（B ）30（C ）31（D ）64【答案】A【解析】由7916+=a a ，得121416a d +=，由41=a ，得131a d +=，解得47d =，所以124812715a a d =+=+⨯=，选A.3．为得到函数sin (π2)y x =-的图象，可以将函数πsin (2)3y x =-的图象 （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位（D ）向右平移6π个单位【答案】B【解析】因为sin (π2)=sin 2sin(2)sin[2()]3363y x x x x ππππ=-=+-=+-，所以可以将函数πsin (2)3y x =-的图象向左平移6π个单位，得到sin (π2)y x =-，所以选B. 4．如果()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(1)l g 3l g 2f =-，(2)lg3lg5f =+，则(3)f等于（A）1 （B）lg3-lg2 （C）-1 （D）lg2-lg3【答案】A【解析】因为(3)(2)(1)f f f=-，所以(3)lg3lg5(lg3lg21f=+-=，选A. 5．如图所示，为一几何体的三视图，则该几何体的体积是（A）1（B）21（C）13（D）65【答案】D【解析】由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为11111326⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为15166-=，选C.6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足422=-+cba)(，且C=60°，则ab的值为（A）348-（B）1 （C）34（D）32【答案】C【解析】由422=-+cba)(得22242a b c ab+-=-，又222421c o s60222a b c a ba b a b+--===，解得43ab=，选C.7. 已知函数22,0()42,0xf xx x x≥⎧=⎨++<⎩的图象与直线(2)2y k x=+-恰有三个公共点，则实主视图左视图数k 的取值范围是 （A ）()02，(B)(]02，(C)()-2∞，(D)()2+∞，【答案】A【解析】因为直线(2)2y k x =+-过定点(2,2)A --。
2013年全国高考理科数学试题及答案-全国卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2．()31+3i=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 3．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则=λ（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx -> 6．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 （A ）()10613---（B ）()101139-- （C ）()10313-- （D ）()1031+3- 7． ()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）1688．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 9．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是 （A ）[-1,0] （B ）[1,)-+∞ （C ）[0,3] （D ）[3,)+∞10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（A ）23（B）33（C）23（D）1311．已知抛物线2:8C y x=与点()2,2M-，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于,A B两点，若0MA MB=，则k=（A）12（B）22（C）2（D）212．已知函数()=cos sin2f x x x，下列结论中错误的是（A）()y f x=的图像关于(),0π中心对称（B）()y f x=的图像关于直线2xπ=对称（C）()f x的最大值为32（D）()f x既奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知α是第三象限角，1sin3a=-，则cot a= .14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）15．记不等式组0,34,34,xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D，若直线()1y a x=+与D公共点，则a的取值范围是 .16．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，32OK=，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a的前n项和为n S，已知232=S a，且124,,S S S成等比数列，求{}n a的通项式。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |＜x，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2. 14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20． 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=. 当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.而F(x1)＝2x1＋2－21故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B ．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A ．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
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门头沟区2013年高三年级抽样测试数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．
第Ⅰ卷 (选择题 40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知全集U = R ，集合A {}
2
4
x x
=
≤，B {}1x x =
<，则集合A B 等于
(A)
{}2x x ≥-
(B)
{}12x x ≤≤ (C)
{}1x x ≥
(D) R
2. “
1a >”是“函数()2(01)x f x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
3．下列直线中，平行于极轴且与圆
2cos ρθ=相切的是
(A)
cos 1ρθ=
(B)
sin 1ρθ=
(C)
cos 2ρθ=
(D)
sin 2ρθ=
4．有4名优秀学生A 、B 、C 、D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A 生不去甲校，则不同的保送方案有 (A) 24种
(B) 30种
(C) 36种
(D) 48种
5．如图：圆O 的割线P AB 经过圆心O ，C 是圆上一点，P A ＝AC ＝
1
2
AB
(A) CB ＝CP (B) PCAC ＝P ABC (C)PC 是圆O 的切线
(D) BC ＝BABP
6．已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且
y x
的取值范围为33
(,)44
-
，则该双曲线方程是 (A)
221916x y -
=
(B)
221916
y x -
=
(C)
22116
9
x y -=
(D)
22116
9
y x -
=
P
7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
(A) 21
(B) 13
(C) 6
5
(D)
8．定义在 R 上的函数
()y f x =是减函数，且函数(2)y f x =+的图
象关
于点(2,0)-成中心对称，若
,s t 满足不等式组()(2)0
()0
f t f s f t s +-≤⎧⎨-≥⎩，则当23s ≤≤时，2s t +的取值范
围是 (A) [3,4] (B) [3,9] (C) [4,6]
(D) [4,9]
主视图
左视图
俯视图
第Ⅱ卷 (非选择题110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．复数
11i
z i
-=
+
10．在等差数列
{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++ 等于 ．
11．在∆ABC 中，若
2a =，3c =
，tan B =，则b = ．
12．执行如右图所示的程序框图，输出
的S 值为 ．
13．在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则向量AE AF ⋅=
．
14．定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数
()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则
称
()f x 为“等比函数”。
现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数：①()2x
f x =；②2()lo
g f x x =；
③2()f x x =；④()ln 2x f x =，则其中是“等比函数”的()f x 的序号为
．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知：函数
2π
()sin cos()2
f x x x x =+-．
（Ⅰ）求函数
()f x 的对称轴方程；
（Ⅱ）当7π
[0,
]12
x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．
16．（本小题满分14分）
在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12
AD BC =
，
60ABC ∠= ，N 是
BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形
ABC D ''（如图）
． （Ⅰ）求证：
AC ⊥平面ABC '；
（Ⅱ）求证：//C N '平面ADD '；
（Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值．
17．（本小题满分13分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图． （Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？ （Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
A C
D
D '
C '
18．(本小题满分14分）
已知函数
2()x
ax x a
f x e
++=． （Ⅰ）函数
()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值；
（Ⅱ）当[0,2]x ∈时，2
1()f x e ≥
恒成立，求
a 的取值范围．
19．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系
xOy 中， 动点P 到直线:2l x =的距离是到点(1,0)F
倍．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线FP 与（Ⅰ）中曲线交于点Q ，与交于点
A ，分别过点P 和Q 作的垂线，垂足为,M N ，问：是否存在点P
使得APM ∆的面积是AQN ∆面积的9倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分13分）
对于集合M ，定义函数
1,()1,M M
M
x f x x -∈⎧=⎨
∉⎩，对于两个集合,M N ，定义集合
{}()()1
M N M N x f x f x ⊗=⋅=-．已知{}1,2,3,4,5,6A =，{}1,3,9,27,81B =．
（Ⅰ）写出
(2)A f 与(2)B f 的值，并用列举法写出集合A B ⊗；
（Ⅱ）用()M Card 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()X
A X
B Card Card ⊗⊗+的最小值；
（III ）有多少个集合对,()P Q ，满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ⊗⊗⊗=⊗．。