高中数学 第三章 概率 3.1.1 频率与概率教案 北师大版必修3(2021年最新整理)

高中数学第三章概率3.1.1 频率与概率教案北师大版必修3
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第三章概率
随机现象在日常生活中随处可见，概率论就是研究客观世界中随机现象规律的科学，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础．通过对生活中随机事件发生的可能性的刻画，概率的知识可以帮助人们作出合理的决策．概率的基础知识,有利于培养学生应付变化和不确定事件的能力，有利于培养学生以随机的观点来认识世界的意识，是每一个未来公民生活和工作的必备常识,也是其进一步学习所不可缺少的内容．因此，概率成为高中必修课，是适应社会发展的需要的．
教科书首先通过学生掷图钉的活动以及阅读材料,让学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；然后,通过活动让学生澄清生活中的一些对概率的错误认识，进一步体会频率的稳定性和随机的思想，随机思想贯穿始终．其次，通过具体实例让学生理解古典概型的两个基本特征及其概率计算公式，初步学会把一些实际问题转化为古典概型，了解可以建立不同的模型来解决实际问题；通过实例，让学生了解两个互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率计算公式,以及它们在古典概率计算中的应用．最后通过实例,让学生了解模拟方法估计概率的实际应用,初步体会几何概型的意义,能够运用模拟方法估计概率．
值得注意的是:数学教学是师生交流、互动和互相促进的过程，在教学中，应注意发挥教师的主导作用和学生的主体作用．
1．注意联系实际，通过学生喜闻乐见的具体实例让学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,从而建立随机观念．在日常生活中有很多随机现象，教师可以通过大量的随机现象的例子,让学生了解学习概率知识的必要性及概率知识在日常生活中的作用，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，建立随机观念,让学生认识到随机事件的概率确实是存在的，概率就在我们身边．
2．设置丰富的问题情境,让学生经历探索、解决问题的过程．在教学过程中,要注意充分利用教科书中“思考交流”“动手实践"等栏目提供的问题情境，调动起学生学习的积极性和主动性，组织学生开展研究性学习，培养学生的思维能力和分析解决实际问题的能力．对于“思考交流”“动手实践”等栏目，教师一定要给学生留有充足的时间进行思考和实践,并适时给予引导．教学时不能急于求成，更不能让学生活动形同虚设,而应在学生积极参与的前提下注重知识的落实和能力的提高．
3．通过一些简单的例子关注建立概率模型的思想及模拟方法的应用,注意控制难度．古典概率计算的教学，应让学生在理解古典概型的两个基本特征的基础上，初步学会把一些实际问题转化为古典概型，并会用列举法计算出随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．教学的重点不要放在“如何计数”上,这也是把排列组合安排为选修内容的原因之一．古典概率的计算可提倡一题多解,但对于一个实际问题,建立不同的概率模型来解决，一般来说有一定难度,因此教师应通过一些简单的例子让学生体会建立概率模型来解决实际问题的思想．教科书在练习和习题中配有一些可建立不同的模型来解决的题目，教师应结合这些题的讲解，突出建模的思想．此外，教学时应重点强调对古典概型基本特征的理解及用画树状图和列表的方法列举出所有可能结果,同时应让学生注意两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的运用．
用模拟方法估计概率的教学，主要是让学生初步体会几何概型的意义，并能够运用模拟方法解决简单的实际问题．教学时难度控制在例题和习题的水平即可，不要补充太多太难的题．由于我国很多地方还没有普及计算机(甚至还没有普及计算器），教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，而用计算机(计算器)产生随机数则作为了解．但随着信息技术的发展，信息技术与课程内容结合是必然的趋势，因此，有条件的话，应鼓励学生尽可能运用计
算机(计算器)来进行模拟活动,以便更好地体会概率的意义．
4。

尊重学生在数学学习上的差异，激发学生学习的兴趣．在教学中，教师应充分尊重学生的个性差异及其在数学学习上的差异，采用适当的教学方式．通过介绍一些与概率相关的有趣的背景知识（比如对概率的研究起源于“两人赌博,赌金如何分配"的问题等）,或者生活中与概率有关的一些例子(比如彩票的中奖率等），激发学生学习的兴趣,帮助他们掌握概率的知识，确立随机的观念．
对学习有困难的学生,教师要及时给予关照与帮助,要鼓励他们积极参与“思考交流”和“动手实践"等活动,尝试独立解决问题并发表自己的看法（比如对生活中的一些有关概率的错误认识的理解）．教师要及时地肯定他们的点滴进步,对他们出现的错误要耐心引导,鼓励他们自己分析原因并加以改正，从而增强他们学习的兴趣和信心．对学有余力的学生，教师要根据他们的情况适当拓宽加深知识,为他们提供资料，指导他们阅读，发展他们的数学才能．教学时还可提倡解决问题策略的多样化,尊重学生在解决问题的过程中所表现出的不同水平．问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能让所有学生都主动参与并提出各自的解决策略．教师引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，以此提高学生的思维水平，带动不同水平的学生共同进步．
1．1 频率与概率
错误!
教学分析
概率是描述随机事件发生可能性大小的量度，它已渗透到人们的日常生活中，例如：彩票的中奖率,产品的合格率，天气预报、台风预报等都离不开概率．概率的准确含义是什么呢？我们用什么样的方法获取随机事件的概率,从而激发学生学习概率的兴趣?本节课通过学生亲自动手试验，让学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性,通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,是新课标理念的具体实施．
三维目标
1．通过获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，正确理解事件A出现的频率的意义；真正做到在探索中学习，在探索中提高．
2．通过数学活动，即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念，明确事件A发生的频率f n(A）与事件A发生的概率P(A）的区别与联系,体会数学知识与现实世界的联系．重点难点
教学重点：1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．
2．正确理解概率的意义．
教学难点：1。

对概率含义的正确理解．
2．理解频率与概率的关系．
课时安排
1课时
错误!
导入新课
思路1。

日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的．例如，掷一次硬币，正面是否朝上？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票中奖的可能性有多大？等等．尽管没有确切的答案,但其结果却呈现某种规律性，这就是下面我们将要学习的随机事件的概率．教师板书课题:随机事件的概率．
思路2。

1名数学家＝10个师
在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．
1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数量的船（为100艘）编队规模越小,编次就越多(为每次20艘，就要有5个编次）,编次越多,与敌人相遇的概率就越大．
美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1%,大大减少了损失，保证了物资的及时供应．
在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象;另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．随机现象是我们研究概率的基础，为此我们学习随机事件的概率．
推进新课
错误!
错误!
1．什么是必然事件?请举例说明．
2．什么是不可能事件？请举例说明．
3．什么是确定事件?请举例说明．
4．什么是随机事件？请举例说明．
5．什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？
6．频率与概率的区别与联系有哪些？
活动:学生积极思考，教师引导学生考虑问题的思路,结合实际的情形分析研究．(1）导体通电时发热；抛一块石头,石头会落回地面；“如果a＞b，那么a－b＞0”；这三个事件是一定要发生的．但注意到有一定的条件．（2）在常温下，锡熔化；在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；“没有水，种子能发芽”．这三个事件是一定不发生的．但注意到有一定的条件．（3）抛一块石头,石头会落回地面;“如果a＞b，那么a－b＞0”;在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化；“没有水，种子能发芽"．这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的，是确定的，不是模棱两可的．（4)掷一枚硬币，出现正面；某人射击一次，中靶；从分别标有号数1，2,3,4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；“某电话机在1分钟内收到2次呼叫"．这四个事件在一定的条件下或者发生或者不发生，是模棱两可的．(5)做抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时哪一个面朝上．通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，重视了掌握知识的过程，体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法，也体现了新课标的理念．
具体如下：
第一步每个人各取一枚硬币，做10次掷硬币试验，记录正面向上的次数和比例，填在下表中：
思考
试验结果与其他同学比较，你的结果和他们一致吗？为什么？
思考
与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例一致吗？为什么？
通过学生的试验，比较他们的试验结果，让他们发现每个人试验的结果、组与组之间试验的结果不完全相同，从而说明试验结果的随机性，但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小，小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.
第三步用横轴为试验结果，仅取两个值:1(正面）和0（反面），纵轴为试验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图，并进行比较，发现什么？
第四步把全班试验结果收集起来，也用条形图表示．
思考
这个条形图有什么特点?
引导学生在每组试验结果的基础上统计全班的试验结果，一般情况下，班级的结果应比多数小组的结果更接近0。

5，从而让学生体会随着试验次数的增加，频率会稳定在0。

5附近．并把试验结果用条形图表示，这样既直观易懂，又可以与前面《统计》的内容相呼应，达到温故而知新的目的．
第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上"这个事件发生的规律性．
思考
如果同学们重复一次上面的试验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？
引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律，并让学生叙述出现正面朝上的规律性：随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0。

5附近．由特殊事件转到一般事件，得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上，从而得出频率、概率的定义，以及它们的关系．一般情况下重复一次上面的试验,全班汇总结果与这一次汇总结果是不一致的，这更说明随机事件的随机性．
进一步总结事件的频数与频率，概括出概率的概念．(6）通过（5)的概括和总结写出频率与概率的区别与联系．
讨论结果:1。

必然事件：在条件S下,一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件(certain event），简称必然事件．
2．不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件(impossible event)，简称不可能事件．
3．确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．
4．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件，用A，B,C,…表示．5．频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数（frequency)；称事件A出现的比例f n(A)＝错误!为
事件A出现的频率(relative frequency)；对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率(probability）．
6．频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A与试验总次数n 的比值错误!，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率未知，常用频率作为它的估计值．
频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．比如，一个硬币是质地均匀的，则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5，与做多少次试验无关．
错误!
思路1
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
（1)“在标准大气压下，水在100 ℃沸腾";
（2)“技术发达后，不需要任何能量的‘永动机’将会出现”；
(3）“一个射击运动员每次射击都击中"；
（4)“太阳从东方升起"；
(5)“北京2月3日下雪”;
（6）“同性电荷相互排斥”;
（7)“某路口单位时间内发生交通事故的次数”；
（8)“购买一张彩票中奖”；
(9）“在一个三角形中，大边对的角小，小边对的角大"；
(10）“冰水混合物的温度是1 ℃”．
分析：学生针对有关概念，思考讨论，教师及时指点，为后续学习打下基础．根据自然界的规律和日常生活的经验积累,根据定义，可判断事件(1）(4）（6）是必然事件;事件（2)(9）（10）是不可能事件；事件(3)(5)(7)（8)是随机事件．
答案：事件（1）（4)（6)是必然事件；事件(2）（9）（10）是不可能事件;事件（3）（5)(7）（8)是随机事件．
点评：紧扣各类事件的定义，结合实际来判断．
例
(1)
(2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
分析：学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件A出现的频数n A与试验次数n的比值即为事件A的频率,当事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A的概率．
解：(1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95,0.88，0.92，0.89，0.91。

(2）由于频率稳定在常数0。

89，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89。

点评：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.变式训练
(1)填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位)．
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案:（1）0。

520 0。

517 0。

517 0.517
（2)由表中的已知数据及公式f n(A）＝错误!即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0。

518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.
思路2
例1 做掷一枚骰子的试验，观察试验结果．
(1)试验可能出现的结果有几种？分别把它们写出．
(2)做60次试验，每种结果出现的频数、频率各是多少？
分析：学生先思考或讨论，教师提示学生注意结果的可能情况,因为每一枚骰子有六个面，每个面上的点数分别是1,2，3，4,5,6,所以应出现六种结果，试验结果可列表求之．解：（1)试验可能出现的结果有六种，分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点．
(2)根据试验结果列表后求出频数、频率,表略．
例2 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多少？中10环的概率约为多少？
分析：学生先思考或讨论，教师提示学生注意结果的可能情况，中靶的频数为9，试验次数为10,所以中靶的频率为错误!＝0.9。

所以中靶的概率约为0.9。

解:此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9;中10环的概率约为0.2.
错误!
1．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)某地1月1日刮西北风；
（2）当x是实数时,x2≥0；
(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；
（4)一个电影院某天的上座率超过50%.
答案：（1）随机事件；（2）必然事件；(3)不可能事件;(4）随机事件．
2．大量重复做掷两枚硬币的试验，汇总试验结果，你会发现什么规律？
解：随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后,随着次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间［0，1］中的某个常数上，从而获取随机事件的概率．点评：让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法．
错误!
1．将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是（）．
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定
答案:B
提示：正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件．
2．下列说法正确的是（）．
A．任一事件的概率总在(0,1)内B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对
答案：C
提示:任一事件的概率总在［0，1］内，不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1。

3
（1)
(2)该油菜籽发芽的概率约是多少？
解:(1）填入表中的数据依次为1,0。

8，0。

9，0。

857,0.892,0.910,0.913,0。

893，0.903，0。

905。

(2)该油菜籽发芽的概率约为0.897.
4
(1
(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少?
解：（1)填入表中的数据依次为0.75,0.8，0.8,0.83,0。

8，0。

8，0.76。

（2)由于上述频率接近0.80，因此,进球的概率约为0.80。

课堂小结
本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件，它们都具有频率稳定性，即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上（即事件A的概率），这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大．反之，概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小．因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量．
错误!
完成课本本节练习．
错误!
本节课通过学生自己所举的例子加深对随机事件、不可能事件、必然事件这三个概念的正确理解；通过学生亲自动手试验,突破学生理解“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”的难点．同时发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近，然后得出概率的定义,总结出频率与概率的关系．在这个过程中，加深对知识的理解，使学生养成良好的思考习惯和科学的研究方法,培养学生发现问题和解决问题的能力,运用了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,符合新课标理念，应大力提倡．
错误!
1．男女出生率
一般人或许认为：生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比应当是1∶1,可事实并非如此．
公元1814年，法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794—1827）在他的新作《概率的哲学探讨》一书中,记载了一个有趣的统计．他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22∶21，即在全体出生婴儿中，男婴占51。

2％，女婴占48.8％。

可奇怪的是,当他统计1745～1784年整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另一个比是25∶24,男婴占51.02%，与前者相差0。

14%.对于这千分之一点四的微小差异,拉普拉斯感到困惑不解，他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面，一定有深刻的因素．于是，他深入进行调查研究，终于发现:当时巴黎人“重男轻女”,有抛弃女婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相，经过修正，巴黎的男女婴的出生比率依然是22∶21.
2．π中数字出现的稳定性（法格逊猜想）
在π的数值式中，各个数码出现的概率应当均为错误!。

随着计算机的发展，人们对π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计，得到的结果与法格逊猜想非常吻合．3．概率与π
布丰曾经做过一个投针试验．他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线，然后将针随意地投在纸上，他一共投了2 212次，结果与平行直线相交的共有704根．总数2 212与相交数704的比值为3。

142。

布丰得到的更一般的结果是：如果纸上两平行线间的距离为d，小针
的长为l，投针次数为n,所投的针中与平行线相交的次数为m，那么当n相当大时有:π≈2nl dm
.
后来有许多人步布丰的后尘，用同样的方法计算π值．其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini）．他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了π的值为3.141 592 9。

这与π的精确值相比，一直到小数点后七位才出现不同！用如此巧妙的方法，求到如此高精确的π值，这真是天工造物！。