精品：【全国百强校】湖北省黄冈市黄冈中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(原卷版)

湖北省黄冈市黄冈中学2015-2016学年高一下学期期中考试
数学试题
试卷满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、下列关于x 的不等式解集是实数集R 的为（ ）
A
0> B ．24410x x ++> C ．130x -> D ．
11
211
x x -<
++ 2、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C
对应的边，若222c a b =+，则角C 等于（ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 3、等比数列{}n a 各项均为正数，且564754a a a a +=，则3132310log log log a a a ++
+＝（ ）
A ．8
B ．10
C ．15
D ．20
4、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，则满足45,8,6A c a =︒-=的ABC ∆△的个数为m ，则m a 的值为（ ）
A ．36
B ．6
C ．1
D ．不存在 5、已知数列{}n a 首项1111,2
1n
n n
a a a a ++==
-，则2016a =（ ） A ．2- B ．1
2 C ．13
- D ．3 6、对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．－24＜k ＜0
B ．－24＜k ≤0
C ．0＜k ≤24
D ．k ≥24 7、数列{}n a 满足11a =，22
3
a =
，且
11112(2)n n n n a a a -++=≥，则n a 等于（ ） A ．
11
n + B ．12()3
n - C ．2()3
n D ．
21
n +
8、在300米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，45°，则塔高为（ ） A
．300- B
． C
D
．300（米） 9、若等差数列{}n a 中，511a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的n 是（ ） A ．8 B ．7或8 C ．8或9 D ．7
10、设实数,x y 满足约束条件220
10,0
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，若目标函数z ax by =+（0,0a b >>）的最大值为1，则32a b +的
最小值为（ ）
A
．17+ B ．49 C ．35 D
．11、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，……为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2016项为a 2016，则a 2016－5＝（ ）
A ．2023×2016
B ．2015×2022
C ．2023×1008
D ．2015×1011
12、己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2144
5
n n S a ++的最小值为（ ） A ．
1219 B ．272 C
．4 D ．67
5
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知0,0a b >>，216a b +=，则ab 的最大值为__________．
14、中国古代数学巨著《九章算术》中有“分钱问题”：现有5人分五钱，5人所得数依次成等差数列，前两人分的数与后三人分的数相等，问第二人分__________钱．
15、在ABC ∆中，已知60,1A b =︒=，则sin sin a b
A B
+=+__________．
16、设0,0a b >>，称
2ab
a b
+为,a b 的调和平均数．如图，线段AC 过⊙O 的圆心与圆交于点,C E ，AB 为圆的切线，B 为切点，BD AO ⊥于D ，F 在圆上且FO OA ⊥于O ．AC a =，AE b =，线段__________的长度是,a b 的几何平均值，线段__________的长度是,a b 的调和平均值．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）求下列关于实数x 的不等式的解集： （1）2
560x x -+-≤； （2）
22
220()1
x a
a R x a -<∈--． 18、（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，2384,15a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
2
21n a n b n -=++，求12310b b b b ++++的值．
19、（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C cos cos A
B
=
． （1）求角B 的大小；
（2）求函数sin y C A =的值域．
20、（本小题满分12分）某市人民广场立有一块巨大的电子显示屏，如图，为测量它的上下宽度（即AB 的长度）．一名学生站在如图C 处测得A ，B 的仰角分别为60°，45°，从C 点出发，沿着直线OC 再前进20米到达D 点，在D 点测得A 的仰角为30°．不考虑测角仪的高度和人的高度（即C ，D 视为测角仪所在的位置，E 视为人的眼睛所在位置） （1）求电子显示屏的上下宽度AB ；
（2）该生站在E 点观看电子显示屏，为保证观看节目的视觉效果最佳，即人的眼睛与A ，B 连线所成角最大，求O ，E 两点间的距离．（第二问结果保留一位小数，参考数据：
）
21、（本小题满分12分）定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n （n ∈N ＋）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的“轴点”个数为n a ． （1）求123,,a a a 并猜想n a 的表达式（不需要证明）；
（2）利用（1）的猜想结果，设数列{}1n a -的前n 项和为n S ，数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为T n ，若对一切n ∈N ＋，3(1)4
n n
n
n T m +<恒成立，求实数m 的取值范围． 22、（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22n n S a =-，记2log n n b a =. （1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若11c =1n
n n n
b c c a +=+
，，求证：3n c <；
（3）记n n n d b b +=+，求201522015d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值．（注：[x]表示不超过x 的最大整数，
例：[2.1]＝2，[－1.3]＝－2）。