高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数与余弦函数的性质教案 新人教A版必修4

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】
《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】
1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数
c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域
2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．
3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．
【教学重点难点】
教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域
【学情分析】
知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

（一）问题情境
复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？
生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？
生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等
提出本节课学习目标——定义域与值域
（二）探索研究
给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：
1.定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或),(+∞-∞).
2.值域
(1)值域
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
所以1|cos |,1|sin |≤≤x x ,
即1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是]1,1[-.
(2)最值
正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ
时,取得最大值1 ②当且仅当Z k k x ∈+-
=,22
ππ
时,取得最小值1- 余弦函数R x x y ∈=,cos ①当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1
②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1-
3.周期性
由)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ知:
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义：对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时, 都有)()(x f T x f =+,那么函数)(x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 由此可知,)0,(2,,4,2,,4,2≠∈--k Z k k πππππΛΛ都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数)(x f ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.
根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,)≠∈(0,2k Z k k π都是它的周期,最小正周期是π2.
4.奇偶性
由x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-
可知:x y sin =(R x ∈)为奇函数,其图象关于原点O 对称
x y cos =(R x ∈)为偶函数,其图象关于y 轴对称
5.对称性
正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2x k k Z π
π=+∈;
余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z ππ⎛
⎫+
∈ ⎪⎝⎭
, 对称轴是直线()x k k Z π=∈ (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点).
6.单调性 从]2,2[,sin ππ3-
∈=x x y 的图象上可看出: 当]2
,2[π
π-∈x 时,曲线逐渐上升,x sin 的值由1-增大到1 当]2
,2[ππ3∈x 时,曲线逐渐下降,x sin 的值由1减小到1- 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间)](22
,22[Z k k k ∈++-ππ
ππ上都是增函数,其值从1-增大到1;在每一个闭区间)](22
,22[Z k k k ∈+3+ππππ上都是减函数,其值从1减小到1-. 余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈-πππ上都是增函数,其值从1-增加到1;余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈+πππ上都是减函数,其值从1减小到1-.
三、例题分析
例1、求函数y=sin(2x+3π)的单调增区间．
解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性． 解：令z=2x+
3
π，函数y=sinz 的单调增区间为[2π-2k π+，22k ππ+]． 由 2π-2k π+≤2x+3π≤22
k ππ+得 512k ππ-+≤x ≤12k ππ+ 故函数y=sinz 的单调增区间为 [512k ππ-+， 12k ππ+ ]（ｋ∈Ｚ） 点评：“整体思想”解题
变式训练1. 求函数y=sin(-2x+
3π)的单调增区间 解：令z=-2x+3π，函数y=sinz 的单调减区间为[2π2k π+，322
k ππ+]
故函数sin(-2x+3π)的单调增区间为[ 712
k ππ--，12k ππ-- ]（ｋ∈Ｚ）． 例2：判断函数3
3()sin()42
f x x π=+的奇偶性 解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看()f x 与()f x -的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断． 解：∵33()sin()4
2f x x π=+=3cos 4
x -， ∴ 33()cos()cos 44
x x f x -=--=- 所以函数33()sin()42f x x π=+为偶函数． 点评：判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤．
变式训练2. ()lg(sin f x x =)
解：函数的定义域为R ，
()lg[sin()f x x -=-=lg(sin x -
=1lg(sin x -=lg(sin x -=()f x -
所以函数()lg(sin f x x =
例3. 比较sin2500、sin2600的大小
解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小
解：∵y=sinx 在[
2π2k π+，322k ππ+]（k ∈Z ），上是单调减函数， 又 2500<2600 ∴ sin2500>sin2600
点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单 调区间，运用单调性即可，若比较复杂， 先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．
变式训练3. cos
914cos 815ππ、 解：cos 1514cos 89
ππ> 由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。

五、反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

课堂小结：
1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题
2、数学思想方法：数形结合、整体思想。

达标检测：
一、选择题
1.函数2y x =的奇偶数性为（ ）.
A. 奇函数
B. 偶函数
C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
2.下列函数在[,]2π
π上是增函数的是（ ）
A. y =sin x
B. y =cos x
C. y =sin 2x
D. y =cos2x
3.下列四个函数中，既是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）. A. sin y x = B. sin 2y x = C. cos y x = D. cos2y x =
二、填空题
4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。

①cos x = ②2sin 3x = ③2sin 5sin 60x x -+= ④2cos 0.5x = __________________________________________________________
5.不等式sin x ≥22-
的解集是______________________. 三、解答题
6.求出数[]1sin ,2,232y x x x πππ⎛⎫=-∈-
⎪⎝⎭的单调递增区间. 参考答案：1、A 2、D 3、A 4、④ 5、5[22]45k x k π
πππ-+<<+ 6、5[,2]3
ππ 六、发导学案、布置预习。

如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线8x π=-
对称，求a 的值．
七、板书设计
正弦函数和余弦函数的性质
一、正弦函数的性质 例1
二、余弦函数的性质 例2
定义域、值域、单调、奇偶、周期对称 例3
八、教学反思
（1）根据学生学习知识的发展过程，在推导性质的过程中让学生自己先独思考，然后小组交流，再来纠正学生错误结论，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。

（2）关注学生的表达，表现，学生的情感需求，课堂明显就活跃，学生的积极性完全被调动起来，很多学生想表达自己的想法。

这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。

（3）判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的，帮助学生辨析，缩
短认识这些知识的时间，减少再出现类似错误的人数，在学生学习困惑时给与帮助。