第三章 平面问题的有限元法2

3-1 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单 、 、 、 元分析 4、整体分析与求解 5、结果分析 、 、
图 3-1
对于二维连续介质， 对于二维连续介质，以图所示的 建筑在岩石基础上的支墩坝为例， 建筑在岩石基础上的支墩坝为例，用 有限单元法进行分析的步骤如下： 有限单元法进行分析的步骤如下： (1)用虚拟的直线把原介质分割成 用虚拟的直线把原介质分割成 有限个三角形单元， 有限个三角形单元，这些直线是单元 的边界，几条直线的交点称为结点 结点。 的边界，几条直线的交点称为结点。 (2)假定各单元在结点上互相铰接， 假定各单元在结点上互相铰接， 假定各单元在结点上互相铰接 结点位移是基本的未知量 是基本的未知量。 结点位移是基本的未知量。 (3)选择位移函数。 选择位移函数 选择位移函数。 (4)通过位移函数，用结点位移唯 通过位移函数， 通过位移函数 一地表示单元内任一点的应变； 一地表示单元内任一点的应变；再利 用广义虎克定律， 用广义虎克定律，用结点位移可唯一 地表示单元内任一点的应力。 地表示单元内任一点的应力。 (5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元 利用能量原理， 利用能量原理 找到与单元内部应力状态等效的结点力， 应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。 应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。 (6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。 将每一单元所承受的荷载， 将每一单元所承受的荷载 按静力等效原则移置到结点上。 (7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程 在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程， 在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程 解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。 组：解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。
3-2 平面问题的常应变 三角形)单元 平面问题的常应变(三角形 单元 三角形
2、形函数的特点及性质
1)形函数N 坐标的线性函数， 1)形函数Ni为x、y坐标的线性函数，与位移函数有相同的阶 形函数 次。 2)形函数 形函数N 节点处的值等于1 而在其他节点上的值为0 2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。 即 N i ( xi , yi ) = 1 N i ( x j , y j ) = 0 N i ( xm , ym ) = 0
最终确定六个待定系数
1
ai α1 1 α2 = bi α 2A c 3 i ai α4 1 α5 = bi α 2A c 6 i
aj bj cj
aj bj cj
am ui bm uj cm um am vi bm vj cm vm
类似N j ( xi , yi ) = 0 N j ( x j , y j ) = 1 N j ( xm , ym ) = 0 N m ( xi , yi ) = 0 N m ( x j , y j ) = 0 N m ( xm , ym ) = 1
3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1 3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。 单元内任一点的三个形函数之和恒等于 4)形函数的值在0 1间变化，单元内任意一点（ 4)形函数的值在0—1间变化，单元内任意一点（x，y）有 形函数的值在
ai = x j y m − x m y j , bi = y j − y m , ci = x m − x j a j = x m y i − xi y m , b j = y m − y i , c j = xi − x m a m = xi y j − x j y i , bm = y i − y j , c m = x j − xi
3-2 平面问题的常应变 三角形)单元 平面问题的常应变(三角形 单元 三角形
三结点三角形单元
六个节点位移只能确定六个多项式 的系数， 所以平面问题的3 的系数 ， 所以平面问题的 3 节点三 角形单元的位移函数如下， 角形单元的位移函数如下， u =α1 +α2 x +α3 y v =α4 +α5x +α6 y 该位移函数， 该位移函数，将单元内部任一点的 位移设定为坐标的线性函数， 位移设定为坐标的线性函数，该位 移模式很简单。 移模式很简单。其中 α1 ~ α 6 为广义 坐标或待定系数，可据节点i 坐标或待定系数，可据节点i、j、 的位移值和坐标值求出。 m的位移值和坐标值求出。 a1
∂u α2 ∂x εx ∂v = α6 ε = εy = ∂y γ α + α 5 xy ∂u + ∂v 3 ∂x ∂y
由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数， 由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则 单元的应变分量均为常量， 单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为 常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化， 常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化， 应变为常量） 应变为常量）
1 v = [(ai + bx + ci y)vi + (aj + bj x + cj y)vj + (am + bmx + cm y)vm] i 2A
1 {(ai + bi x + ci y)ui + (a j + b j x + c j y)u j + (a m + bm x + cm y)u m } u= 2A 1 {(ai + bi x + ci y)vi + (a j + b j x + c j y)v j + (am + bm x + cm y )vm } v= 2A
3-2 平面问题的常应变 三角形)单元 平面问题的常应变(三角形 单元 三角形
1、位移函数 有限单元法的基本原理是分块近似， 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体 划分成若干细小网格，在每一个单元范围内， 划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各 点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。 点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每 个单元，可以假定一个简单函数， 个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单 元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、 元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、 位移模型、位移场。 位移模型、位移场。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，
3-2 平面问题的常应变 三角形)单元 平面问题的常应变(三角形 单元 三角形
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来 代替原来的连续体， 代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有 限个单元组成的离散体。 限个单元组成的离散体。 对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角 对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角 形单元。 形单元。 因平面问题的变形主要为平面变形， 因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有 的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。 的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。 单元与单元在节点处用铰相连， 单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载 也移置到节点上，成为节点荷载。 也移置到节点上，成为节点荷载。 如果节点位移或其某一分量可以不计， 如果节点位移或其某一分量可以不计，就在该节点 上安置一个铰支座或相应的连杆支座。 上安置一个铰支座或相应的连杆支座。
简写为
{δ} = [ N]{δ}
ui v i δi uj = δ j = δ vj m u m vm
e
ui v i 0 Nj 0 Nm 0 uj Ni 0 Nj 0 Nm vj um δi vm = INi INj INm δ j δ m
ai = xi ym − xk y j bi = y j − yk ci = xk − x j i,j,m轮换
3-2 平面问题的常应变 三角形)单元 平面问题的常应变(三角形 单元 三角形
令
1 Ni = (ai + bx + ci y) （下标i，j，m轮换） 下标i 轮换） i 2A
u Ni {δ} = = 0 v
3、收敛性分析
选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性， 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当 网格逐渐加密时， 网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确 解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件： 解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件： 位移函数必须含单元常量应变， (1) 位移函数必须含单元常量应变，位移函数中的一次项就是 提供单元中的常量应变的。 提供单元中的常量应变的。 单元必须能反映单元的刚体位移（ 即单元应变为0 (2) 单元必须能反映单元的刚体位移 （ 即单元应变为 0 时的位 前面位移函数改写为（注意： 移）。前面位移函数改写为（注意： α 2 , α 6 ,α 3 + α 5 为0 ） α −α3 α +α5 u =α1 − 5 y +α2 x + 3 y 2 2 α5 −α3 α3 +α5 v =α4 + x +α6 y + 2 2 则单元刚体位移为 显然， 显然，位移函数包 α −α u =α − y u =α1 −θ0 y 含了单元的刚体位 2 记 为 α −α 平动和转动） v =α4 +θ0 x 移（平动和转动） v =α + x
N i ( x, y ) + N j ( x, y ) + N m ( x, y ) = 1