2014-2015年黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2014-2015学年黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校高三（上）期
末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）2sin（﹣210°）的值为（）
A．﹣B．1C．D．0
2．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{1}D．{0，1}
3．（5分）设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣a2013＜a1＜﹣a2014，则必定有（）
A．S2013＞0，且S2014＜0B．S2013＜0，且S2014＞0
C．a2013＞0，且a2014＜0D．a2013＜0，且a2014＞0
5．（5分）若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10B．20C．30D．120
6．（5分）函数y=sin（﹣2x+）在区间[0，π]上的单调递增区间为（）A．[，]B．[0，]C．[，]D．[，π] 7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如
图所示，那么该几何体的体积是（）
A．B．4C．D．3
8．（5分）A、B、C三点不共线，D为BC的中点，对于平面ABC内任意一点O
都有=2﹣﹣，则（）
A．=B．=C．=D．=
9．（5分）将边长为2的等边△PAB沿x轴正方向滚动，某时刻P与坐标原点重合（如图），设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），关于函数y=f（x）的有下列说法：
①f（x）的值域为[0，2]；
②f（x）是周期函数；
③f（4.1）＜f（π）＜f（2013）；
④∫f（x）dx=．
其中正确的说法个数为（）
A．0B．1C．2D．3
10．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣
，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
11．（5分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为
她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（20）等于（）
A．761B．762C．841D．842
12．（5分）若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，
则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）
13．（5分）如图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得分的中位数之和是．
14．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成30°二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为5，圆M的面积为9π，则圆N的面积为．
15．（5分）已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y=x2与y=x围成的区域，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．16．（5分）对于四面体ABCD，以下命题中，真命题的序号为（填上所有真命题的序号）
①若AB=AC，BD=CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；
②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；
③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；
④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD
的垂心；
⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．
三、解答题：
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．
18．（12分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在[20，80）（单位：mg/100mL）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图
（1）若血液酒精浓度在[50，60）和[60，70）的分别有9人和6人，请补全频率分布直方图．图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S的值，并说明S的统计意义；（图乙中数据m i与f i分别表示图甲中各组的组中点值及频率）
（2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90mg/100mL的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90mg/100mL范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设ξ为吴、李两位先生被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．
19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．
20．（12分）如图，已知圆E：（x+）2+y2=16，点F（，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．
四、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．
（1）求证：△DEF∽△EFA；
（2）如果FG=1，求EF的长．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）
23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程；
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．
六、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．
2014-2015学年黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校高三
（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）2sin（﹣210°）的值为（）
A．﹣B．1C．D．0
【解答】解：2sin（﹣210°）=﹣2sin（180°+30°）=2sin30°=×2=1，
故选：B．
2．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{1}D．{0，1}
【解答】解：由A中x∈N，y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，
∴A={0，1}，
由B中不等式变形得：2x（x﹣2）≤1=20，
即x（x﹣2）≤0，
解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，
则A∩B={0，1}．
故选：D．
3．（5分）设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，
解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．
故选：C．
4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣a2013＜a1＜﹣a2014，则必定有（）
A．S2013＞0，且S2014＜0B．S2013＜0，且S2014＞0
C．a2013＞0，且a2014＜0D．a2013＜0，且a2014＞0
【解答】解：∵﹣a2013＜a1＜﹣a2014，
∴a2013+a1＞0，a1+a2014＜0，
∴S2013=
S2014=＜0，
故选：A．
5．（5分）若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10B．20C．30D．120
【解答】解：∵C n°+C n1+…+C n n=2n=64，
∴n=6．
T r+1=C6r x6﹣r x﹣r=C6r x6﹣2r，
令6﹣2r=0，∴r=3，
常数项：T4=C63=20，
故选：B．
6．（5分）函数y=sin（﹣2x+）在区间[0，π]上的单调递增区间为（）A．[，]B．[0，]C．[，]D．[，π]
【解答】解：y=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣），
当2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，即kπ+≤x≤kπ+时，k∈Z，函数单调增，
∴在区间[0，π]上的单调递增区间为[[，]，
故选：A．
7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如
图所示，那么该几何体的体积是（）
A．B．4C．D．3
【解答】解：由三视图知：余下的几何体如图示：
∵E、F都是侧棱的中点，
∴上、下两部分的体积相等，
∴几何体的体积V=×23=4．
故选：B．
8．（5分）A、B、C三点不共线，D为BC的中点，对于平面ABC内任意一点O
都有=2﹣﹣，则（）
A．=B．=C．=D．=
【解答】解：如图延长OA至M，使得OM=2OA，
又∵D是BD的中点，∴，
∴=2﹣﹣===，
连接DA延长至P，使得DA=AP，
则四边形PODM是平行四边形，
∴=2﹣﹣，
由此可以得到．
故选D
9．（5分）将边长为2的等边△PAB沿x轴正方向滚动，某时刻P与坐标原点重合（如图），设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），关于函数y=f（x）的有下列说法：
①f（x）的值域为[0，2]；
②f（x）是周期函数；
③f（4.1）＜f（π）＜f（2013）；
④∫f（x）dx=．
其中正确的说法个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：根据题意画出顶点P（x，y）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．
从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的有下列说法：
①f（x）的值域为[0，2]正确；
②f（x）是周期函数，周期为6，②正确；
③由于f（﹣1.9）=f（4.1），f（2013）=f（3）；
而f（3）＜f（π）＜f（4.1），
∴f（﹣1.9）＞f（π）＞f（2013）；故③不正确；
④∫f（x）dx表示函数f（x）在区间[0，6]上与x轴所围成的图形的面积，其
大小为一个正三角形和二段扇形的面积和，其值为
=+，故④错误．
故选：C．
10．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣
，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设右焦点为F′，则
∵=2﹣，
∴+=2，
∴E是PF的中点，
∴PF′=2OE=a，
∴PF=3a，
∵OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∴（3a）2+a2=4c2，
∴e==，
故选：C．
11．（5分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（20）等于（）
A．761B．762C．841D．842
【解答】解：根据前面四个发现规律：
f（2）﹣f（1）=4×1，
f（3）﹣f（2）=4×2，
f（4）﹣f（3）=4×3，
…
f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）；
这n﹣1个式子相加可得：
f（n）=2n2﹣2n+1．
当n=20时，f（20）=761．
故选：A．
12．（5分）若a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，函数f（x）=，
则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10x=4，
∴a，b分别为函数y=4﹣x与函数y=lgx，y=10x图象交点的横坐标
由于y=x与y=4﹣x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10x的图象关于y=x对称
∴a+b=4
∴函数f（x）=
当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0，
∴x=﹣2或x=﹣1，满足题意
当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意
∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）
13．（5分）如图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比赛每场比赛得分的茎叶
图，则甲、乙两名学生得分的中位数之和是54．
【解答】解：由图可知甲的得分共有6个，中位数为=31；
∴甲的中位数为31，
乙的得分共有7个，中位数为23，
∴乙的中位数为23
则甲乙两人比赛得分的中位数之和是54
故答案为：54．
14．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成30°二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为5，圆M的面积为9π，则圆N的面积为13π．
【解答】解：∵圆M的面积为9π，
∴圆M的半径为3，
根据勾股定理可知OM==4，
∵过圆心M且与α成30°二面角的平面β截该球面得圆N
∴∠OMN=60°，
在直角三角形OMN中，ON=2，
∴圆N的半径为=，
∴圆的面积为13π
故答案为：13π
15．（5分）已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y=x2与y=x围成的
区域，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为．
【解答】解：联解y=x2与y=x，得或
∴两曲线的交点分别为O（0，0）、A（1，1）．
因此，两条曲线围成的区域A的面积为
S=∫01（﹣x2）dx=（）==．
而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，
∴在Ω上随机投一点P，则点P落入区域A中的概率P===，
故答案为：
16．（5分）对于四面体ABCD，以下命题中，真命题的序号为①②④（填上所有真命题的序号）
①若AB=AC，BD=CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；
②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；
③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；
④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD
的垂心；
⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．
【解答】解：如图，
对于①，∵AB=AC，BD=CD，E为BC中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
又AE∩ED=E，
∴BC⊥面AED，
∴面AED⊥平面ABC．
∴命题①正确；
对于②，过A作底面BCD的垂线AO，垂足为O，
连结BO并延长交CD于F，连结DO并延长交BC于E，
由线面垂直的判定可以证明BF⊥CD，DE⊥BC，从而可知O为底面三角形的垂心，连结CO并延长交BD于G，则CG⊥BD，再由线面垂直的判断得到BD⊥面ACG，从而得到BD⊥AC．
∴命题②正确；
对于③，若所有棱长都相等，四面体为正四面体，该四面体的外接球半径是四面体高的四分之三，
内切球的半径是四面体高的四分之一，∴该四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1．
∴命题③错误；
对于④，若AB⊥AC⊥AD，过A作底面BCD的垂线AO，垂足为O，
由AB⊥AC，AB⊥AD，且AC∩AD=A，得AB⊥面ACD，则AB⊥CD，进一步由线面垂直的判定证得CD⊥面ABO，
则BO⊥CD，同理可证CO⊥BD，说明O为△BCD的垂心．命题④正确；
对于⑤，如图，
∵E、F、G、H分别为BC、AC、BD、AD的中点，
∴HF∥DC，GE∥DC，
∴EFHG为平面四边形．
∴命题⑤错误．
∴真命题的序号是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题：
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且=．（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）已知等式=，由正弦定理得=，即tanB=，
∴B=；
（2）∵b=2，cosB=，
∴cosB==，
∴a2+c2=ac+4，
又∴a2+c2≥2ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c取等号，
∴S=acsinB≤，
则△ABC为正三角形时，S max=．
18．（12分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在[20，80）（单位：mg/100mL）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图
（1）若血液酒精浓度在[50，60）和[60，70）的分别有9人和6人，请补全频率分布直方图．图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S的值，并说明S的统计意义；（图乙中数据m i与f i分别表示图甲中各组的组中点值及频率）
（2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90mg/100mL的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90mg/100mL范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设ξ为吴、李两位先生被抽中的人数，求ξ的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．
【解答】（本小题满分12分）
解：
（1）[50，60）的频率为，
[60，70）的频率为．
S统计意义：酒精浓度的平均数为25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×
0.1+75×0.1+85×0.05=47…（4分）
（2）70～90共有60×0.15=9人ξ的可能值为0，1，2；，
，
…（8分）
所以，ξ的分布列为：
ξ012
P
…（10分）
记“吴、李两位先生至少有1人被抽中”为事件A，…（12分）19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．
【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，
∴AM=BM=，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD⊂平面ADM
∴AD⊥BM；
（2）建立如图所示的直角坐标系，设，
则平面AMD的一个法向量，=（，，），
设平面AME的一个法向量为，
取y=1，得x=0，y=1，z=，所以=（0，1，），
因为
求得，所以E为BD的中点．
20．（12分）如图，已知圆E：（x+）2+y2=16，点F（，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，
故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．（2分）
设其方程为（a＞b＞0），可知a=2，，则b=1，（3分）所以点Q的轨迹Γ的方程为为．（4分）
（Ⅱ）存在最小值．（5分）
（ⅰ）当AB为长轴（或短轴）时，可知点C就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），
则．（6分）
（ⅱ）当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为
y=kx，设点A（x A，y A），
联立方程组消去y得，，
由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，可知直线
OC的方程为，
同理可得点C的坐标满足，，则
，，（8分）
则S
=2S△OAC=|OA|×|OC|=．（9分）
△ABC
由于≤，
所以，当且仅当1+4k2=k2+4，即k2=1时取等号．综合（ⅰ）（ⅱ），当k2=1时，△ABC的面积取最小值，（11分）
此时，，即，，
所以点C的坐标为，，，
．（13分）
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．
【解答】解：（1）因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上，
所以﹣m=﹣1，解得m=1．
因为f′（x）=﹣1=0，
所以切线的斜率为0，
所以切线方程为y=﹣1．
（2）因为f′（x）=﹣m=．
①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，
所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，
则f （x）max=f （e）=1﹣me．
②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，
所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，
则f （x）max=f （e）=1﹣me．
③当1＜＜e，即＜m＜1时，
函数f （x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，
则f （x）max=f （）=﹣lnm﹣1．
④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，
函数f （x）在（1，e）上单调递减，
则f （x）max=f （1）=﹣m．
综上，①当m≤时，f （x）max=1﹣me；
②当＜m＜1时，f （x）max=﹣lnm﹣1；
③当m≥1时，f （x）max=﹣m．
（3）不妨设x1＞x2＞0．
因为f （x1）=f （x2）=0，
所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，
可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．
要证明x1x2＞e2，
即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．
因为m=，
所以即证明＞，
即ln＞．
令=t，则t＞1，于是lnt＞．
令ϕ（t）=lnt﹣（t＞1），
则ϕ′（t）=﹣=＞0．
故函数ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，
所以ϕ（t）＞ϕ（1）=0，即lnt＞成立．
所以原不等式成立．
四、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．
（1）求证：△DEF∽△EFA；
（2）如果FG=1，求EF的长．
【解答】（1）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（2）由（1）得，，EF2=FA•FD．
因为FG是切线，所以FG2=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）
23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程；
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0），当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程．
【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为
∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1．…（5分）
（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P
所以有：
又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1
∴动点P的轨迹方程为．…（10分）
六、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
24．（选做题）已知f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|，不等式f （x ）＜4的解集为M ． （1）求M ；
（2）当a ，b ∈M 时，证明：2|a +b |＜|4+ab |．
【解答】（Ⅰ）解：f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|=
当x ＜﹣1时，由﹣2x ＜4，得﹣2＜x ＜﹣1； 当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=2＜4； 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2． 所以M=（﹣2，2）．…（5分）
（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M ，即﹣2＜a ，b ＜2，
∵4（a +b ）2﹣（4+ab ）2=4（a 2+2ab +b 2）﹣（16+8ab +a 2b 2）=（a 2﹣4）（4﹣b 2）＜0，
∴4（a +b ）2＜（4+ab ）2， ∴2|a +b |＜|4+ab |．…（10分）
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0) n
n
a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m
n m n
a
a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分
数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()0,,,m m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称
指数函数
定义
函数(0x
y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定
义
域
R
值域
(0,)+∞
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
函数 名称 对数函数
定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 (0,)+∞ 值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
a 变化对 图象的影响
在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．
x y
O
(1,0)1x =
log a y x
=x
y
O (1,0)
1
x =log a y x
=。