等差数列与等比数列高考精华

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通项、求和公式中涉及五个量(a1 、d、an、n 、Sn)通过解方程“知三可以求二” ,事实上很多问题通过转化为a1 、d便迎刃而解。

a1 、d是等差数列的两个基本量。

例1:在等差数列{an}中, ap=q , aq=p , 求a(p+q)?
解:依题意得:a1+(p-1)d=q d=-1
a1+(q-1)d=p ∴a1=p+q-1 ∴a(p+q)=0
3.交汇函数,认清本质
(1)an=f(n)=pn+q图象是直线上的离散点集,两条件(如a5,a10)等差数列即可确定。

(2)Sn=dn2/2+(a1-d/2)n的图象(d≠0时)是过原点的抛物线上的离散点集,由于过(0,0),只要给出两个条件(如S5、,S10)就可确定等差数列。

例2:等差数列{an}中,3 a5=7 a10 且a1<0,则前n项和Sn最小的是()?(A)S7或S8(B)S13 (C)S12 (D)S15
解:3(a1+4d)=7(an+9d)∴d=(-4 a1)/51>0
Sn=(-2 a1)n2/51+(53 a1n)/51
对称轴=53/4=13.25∵|13-13.25| <|14-13.25| ∴S13 最小
4.技巧方法,广泛迁移
优良的思维品质表现为能用最明确最简单的方式,了解和解决问题。

首先,减少运算量,掌握下列公式十分有益:
(1)an=am+(n-m)d (2)若m+n=p+q 则an+am=ap+aq
(3)2 am =a1+a2m-1 (4)Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m 成等差数列
例3:{an}是等差数列,S11=33,则a6=?若a6=3,则S11=?
解:S11=33 11(a11+a1)/2 =33 a11+a1=6 2 a6=6 a6=3
此外,还有思想方法的迁移,在公式的推导过程中隐含着下列思维方法:
累差法倒序相加法迭代法
a2-a1=d a3-a2=d ……+ )an-an-1=d an-a1=(n-1)d Sn=a1+a2+…+an-1+anSn=an+an-1+…+a2+a12 Sn=n〔(a1+an)+…+(an +a1)〕Sn=n(a1+an)/2 an =an-1+d =an-2+2d =an-3+3d …… =a1+(n-1)d
例4:已知数列{an}的首项a1=0,an+1=an+(2n+1)求{an}的通项公式。

解:∵a2-a1 =2×1+1=3,a3-a2 =2×2+1=5,a4-a3 =2×3+1=7,… ,an-an-1 =2×(n-1)+1=2n-1 ∴an-a1 =n2-1 又∵a1 =0 ∴an =n2-1
此数列虽不是等差数列,但相邻两项的差却是等差数列(奇数列),类比等差数列求和时使用的累差法便可求出通项公式。

等差数列
通项公式
an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n≥2) an=kn+b(k,b为常数)
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式:Sn=a1+a2+a3······+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②由①+②得
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n个)=n(a1+an) 固Sn=n(a1+an)/2
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半:
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质
且任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列,等等。

和=(首项+末项)×项数÷2 项数=(末项-首项)÷公差+1 首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项设a1,a2,a3为等差数列。

则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3,即2a2=a1+a3。

等比数列
通项公式
an=a1q^(n-1) an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和
当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 当q=1时,等比数列的前n项和的公式为Sn=na1
性质
任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k ∈{1,2,…,n} (4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。

在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质:①若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。

注意:上述公式中a^n表示A的n次方。

一、等差数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为:
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为:
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。

在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项。


且任意两项am,an的关系为:
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等。

和=(首项+末项)*项数÷2
项数=(末项-首项)÷公差+1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
项数=(末项-首项)/公差+1
等差数列的应用:
日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别
时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,长安等差数列进行分级。

若为等差数列,且有ap=q,aq=p.则a(p+q)=-(p+q)。

若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。

等比数列:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)
(2)前n项和公式是:Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)
且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)若m,n,p,q∈N*,则有:ap·aq=am·an,
等比中项:aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
●难点磁场
(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为_________.
●案例探究
命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,属★★★★★级题目.
知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题.
[例2]设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.
知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件,求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列,分析该数列项的分布规律从而得解.
错解分析:题设条件中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是关键,计算易出错;而对数的运算性质也是易混淆的地方.
技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前n项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列Sn是n的二次函数,也可由函数解析式求最值.
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
●难点磁场
(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为_________.
●案例探究
命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,属★★★★★级题目.
知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题.
[例2]设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.
知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件,求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列,分析该数列项的分布规律从而得解.
错解分析:题设条件中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是关键,计算易出错;而对数的运算性质也是易混淆的地方.
技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前n项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列Sn是n的二次函数,也可由函数解析式求最值.
本文来自:【爱学啦】原文地址:
/shuxue/jiangjie/18309.html
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在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质:
② 若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
●难点磁场
(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30,前2m项的和为100,求它的前3m项的和为_________.
●案例探究
命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,属★★★★★级题目.
知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题.
[例2]设等比数列{an}的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)
命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.
知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件,求出an;进而利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列,分析该数列项的分布规律从而得解.
错解分析:题设条件中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是关键,计算易出错;而对数的运算性质也是易混淆的地方.
技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前n项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列Sn是n的二次函数,也可由函数解析式求最值.
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