线性代数与空间解析几何01-第23节 逆矩阵的判定(伴随矩阵法)_23

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3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法 3. 奇异与非奇异矩阵
定义3.4.3 若 |A| = 0, 则称方阵A为奇异(退化) 矩阵; 若 |A| ≠ 0, 则称A为非奇异(非退化)矩阵.
可逆矩阵都是非奇异矩阵. 由上述定理, 还可得出如下推论： 推论1 初等变换不改变矩阵的奇异性. 证 设P是与A同阶的初等矩阵, 则|P|≠ 0, 且 |PA| = |AP| = |A||P| , 当A为奇异矩阵即|A|=0时, |PA| = |AP| = 0, 说明奇异矩阵A经过初等行变换
A13 A23 A33 3 5 2
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法
例3.4.1 判断下列矩阵是否可逆, 若可逆, 求
出逆矩阵.
1
（1）A
1
2 0
1
1 ;
（2）A
1 1
2 1
0 2.
2
4
2
1 3 0
解 （2）
6
A1
1 | A|
A*
1732
3 1 5
4 1 2
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法 1、伴随矩阵法
定义3.4.2 设A (aij )为n阶矩阵,Aij为行列式 | A| 中元素 aij的代数余子式 (其中 i , j 1 , 2 , ,n ),
则称矩阵
A11
A*
A12
A21 A22
An1 An2
A1n
A 2n
A nn
,则
A*
a22 a
21
a12. a11
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法 2. 逆矩阵的判定
定理3.4.2 若方阵A可逆, 则 |A| ≠ 0. 证 若A可逆, 则A-1存在, 且有
AA-1 = A-1A = E, 所以有 |AA-1 |= |A-1A |= |A| |A-1 | = 1≠0. 故 |A|≠0.
例3.4.1 判断下列矩阵是否可逆, 若可逆, 求
出逆矩阵.
1 2 1
（1）A
1
0
1 ;
2 4 2
1 2 1
2）A 1 0 2.
－1
3
0
解 (2) 由对角线法则计算得 |A| = -7≠0, 所以
A可逆. 分别计算A中每个元的代数余子式为：
A11 6, A12 2, A13 3, A21 3, A22 1, A23 5, A31 4, A32 1, A33 2 .
为A的伴随矩阵.
3.4 逆矩阵
2. 可逆矩阵的判定及求法 1、伴随矩阵法
注意： (1)A*中Aij的位置是第 j 行第 i 列, 是通常排序 方式的转置形式; (2)任何方阵都存在伴随矩阵; (3) 二阶方阵的伴随矩阵特殊,可用口诀“主换
位, 副变号” 记忆.
如
A a11 a21
a12 a22
于是 AA* A* A | A| E, 即A
A* A* A E.
| A| | A|
由定义知, A可逆, 且 A1 1 A*. | A|
用公式 A1 1 A* 求得逆矩阵的方法称为
| A|
伴随矩阵法. 适合用于2阶及3阶方阵求逆.
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法
2. 可逆矩阵的判定 综合定理3.4.2和定理3.4.3得: 方阵A可逆的
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法
例3.4.1 判断下列矩阵是否可逆, 若可逆, 求
出逆矩阵.
1 2 1
（1）A
1
0
1 ;
2
4
2
解 （2）
1 2 1
2）A 1 0 2.
－1
3
0
则
A11 A21 A31 6 3 4 A* A12 A22 A32 2 1 1,
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法 推论2说明, 在验证B是否为A的逆矩阵时, 只
需验证一个等式AB = E 或BA=E即可,但注意A, B 须是方阵的前提下才能如此验证.
也就是说, 只有方阵才可能存在逆矩阵, 若不 是方阵, 即使满足AB = E 或BA=E, 也不可能有逆 矩阵 .
(3)若n阶方阵A可逆, 则 ( A* )* | A |n2 A .
(4)若同阶方阵A、B可逆，则 (AB)*=B*A* .
(5) (AT)*=(A*)T .
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法
例3.4.2 设n阶方阵A满足方程 A2-3A-10E=0
证明: A和A-4E都可逆, 并求它们的逆矩阵.
3.4 逆矩阵
（一）小结
A11
1.
伴随矩阵
A*
A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An 2
Ann
2. 逆矩阵的判定:方阵A可逆的充分必要条件
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法
推论1 初等变换不改变矩阵的奇异性. 证 |PA| = |AP| = 0, 或列变换后仍是奇异矩阵; 当|A|≠ 0时, |PA| = |AP| ≠ 0, 仍是非奇异矩阵. 推论2 若A, B都是n阶方阵, 且满足AB = E (或BA=E ), 则A可逆, 且A-1 = B . 证 由AB = E 得 |A||B| = 1, 于是|A|≠0, A可逆; 则A-1存在, 又 B = EB = (A-1 A)B = A-1E = A-1.
是 |A| ≠ 0 .
3.伴随矩阵法求逆矩阵 A1 1 A*. | A|
4.奇异与非奇异矩阵
5.定理3.4.2的两个推论
3.4 逆矩阵 （二）思考题
若方阵A、B可逆, 推导伴随矩阵的如下性质：
(1) ( A* )1 ( A-1 )* 1 A, | A* || A |n1 . | A|
(2) 设A为阶方阵, k为实数, 则 (kA)* k A n1 * .
本节重点、难点
重点：逆矩阵的概念及性质, 初等变换求逆矩阵 难点：有关逆矩阵的证明, 初等变换法求逆矩阵
3.4 逆矩阵
第7讲 伴随矩阵法求逆矩阵
3.4 逆矩阵 本讲主要内容
逆矩阵的判定 伴随矩阵 伴随矩阵法求逆矩阵 小结与思考题
本讲重点、难点
重点：伴随矩阵法求逆矩阵 难点：逆矩阵的判定
线性代数与空间解析几何本章主要内容31矩阵32矩阵的运算33矩阵的初等变换34逆矩阵35矩阵的分块36矩阵的秩34逆矩阵本节主要内容逆矩阵的概念可逆矩阵的判定及求法矩阵方程的解法34逆矩阵本节基本要求理解逆矩阵的概念掌握逆矩阵的性质熟练掌握求逆矩阵的方法掌握矩阵方程的解法本节重点难点重点
线性代数与空间解析几何
第3章 矩阵
本章主要内容
3.1 矩阵 3.2 矩阵的运算 3.3 矩阵的初等变换 3.4 逆矩阵 3.5 矩阵的分块 3.6 矩阵的秩
3.4 逆矩阵 本节主要内容
逆矩阵的概念 可逆矩阵的判定及求法 矩阵方程的解法
3.4 逆矩阵
本节基本要求
理解逆矩阵的概念 掌握逆矩阵的性质 熟练掌握求逆矩阵的方法 掌握矩阵方程的解法
充分必要条件是|A|≠0.
例3.4.1 判断下列矩阵是否可逆, 若可逆, 求
出逆矩阵. 1 2 1
（1）A
1
0
1 ;
2
4
2
1 2 1
2）A 1 0 2.
－1 3 0
解（1）由于A中1、3两列对应元相同, 所以
|A| = 0, 因此A不可逆.
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法
A21
A22
An1
| A|
An2
0
0
| A|
0
0
an2 ann A1n
A2n
A nn
0
0 | A|
|A| E,
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法
定理3.4.3 设A为n阶方阵, 若|A| ≠ 0, 则A可逆,
且 A1 1 A*.
| A|
证 同理可得 A*A | A| E.
3.4 逆矩阵
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法
2. 可逆矩阵的判定
定理3.4.3 设A为n阶方阵, 若|A| ≠ 0, 则A可逆,
且 A1 1 A*.
| A|
证
a11
AA*
a21
an1
若|A| ≠ 0, 记 A (a ij ), A* ( Aij )T , 由于
a12 a22
a1n A11 a2n A12