2014年重庆高考理科数学试题

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复平面内表示复数(12)i i -的点位于( )
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
2. 对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )
139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列
3. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( )
$.0.4 2.3A y x =+ $.2 2.4B y x =- $.29.5C y x =-+ $.0.3 4.4C y x =-+
4. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===r r r
，且(23)a b c -⊥r r r ，则实数k =（ ） 9
.2A - .0B .C 3 D.152
5.执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
A.12s >
B.35s >
C.710s >
D.45
s >
6. 已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x
>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）
.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝
【答案】D 【解析】
试题分析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题； 所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.学科zxxk
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A.54
B.60
C.66
D.72 【答案】B
【解析】
试题分析：
8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得
,4
9
||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =
⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49
D.3
9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72
B.120
C.144
D.168
10.已知ABC ∆的内角2
1
)sin()sin(2sin ,+
--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( ) A.8)(>+c b bc B.()162ac a b +> C.126≤≤abc D.1224abc ≤≤
【答案】A
二、填空题.
11. 设全集{|110},{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9},()U U n N n A B A B =∈≤≤===I 则ð______.
所以答案应填：14
-
. 考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.
13. 已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()412
2
=-+-a y x 相交于B A ，两点，且
ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14. 过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PBC 分别交圆于B 、C ， 若6=PA ， AC =8，BC =9，则AB =________. 【答案】4 【解析】 试题分析：
由切割线定理得：2
PA PB PC =⋅,设PB x =，则||9PC x =+
所以，()369,x x =+即2
9360x x +-=，解得：12x =-（舍去），或3x =
又由是圆的切线，所以ACP BAP ∠=∠,所以ACP BAP ∆∆:、
||||||PA AB AC PC ∴
=,所以86
412
AB ⨯==
所以答案应填：4.
考点：1、切割线定理；2、三角形相似.
15. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t
y t
x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 4cos 00,02ρθθρθπ-=≥≤<，则直线l 与曲线C 的公共点的极径
=ρ________.
16.若不等式22
1
2122
++
≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________.
由图可知：()min 1522
f x f ⎛⎫==
⎪
⎝⎭,由题意得：2
15222a a ++≤，解这得:11,2a -≤≤ 所以答案应填：11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.zxxk
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题13分，（I ）小问5分，（II ）小问8分）
已知函数()()⎪⎭⎫
⎝
⎛
<
≤->+=22
0sin 3πϕπ
ωϕω，
x x f 的图像关于直线3
π
=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. （I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪
⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫
⎝⎛326
432παπαf ，求⎪⎭
⎫
⎝⎛+23cos πα的值. 【答案】（I ）2,6
π
ωϕ==-；（II 315
+【解析】
试题分析：（I ）由函数图像上相邻两个最学科网高点的距离为π求出周期，再利用公式2T π
ω
=
求出ω的值；
考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象和性质.
18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字 是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（Ⅱ）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望. （注：若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.
故X 的分布列为
X
1 2 3
P
17
42 4384 112
从而()1743147
12342841228
E X =⨯
+⨯+⨯=
考点：1、组合；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 19. （本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问7分）
如题（19）图，四棱锥ABCD P -中，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ， 3
,2π
=
∠=BAD AB ，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=
,2
1
. （Ⅰ）求PO 的长；
（Ⅱ）求二面角C PM A --的正弦值.
由0,0,n AP n MP ⋅=⋅=r u u u r r u u u r 得111113-3023330
442
x z x y z ⎧+=⎪⎪⎪-+=⎪⎩故可取1531,2,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u r
20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问3分，（Ⅲ）小问5分） 已知函数
22()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点
(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -.
（Ⅰ）确定,a b 的值； （Ⅱ）若3c =，判断()f x 的单调性；
（Ⅲ）若
()f x 有极值，求c 的取值范围.
21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，
121||22||F F DF =12DF F ∆的面积为
2
2
. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..
从而122DF =
，由112DF F F ⊥得222
211292
DF DF F F =+=，因此2322DF =.
所以12222a DF DF =+=，故
2222,1a b a c ==-=
因此，所求椭圆的标准方程为：2
212
x y +=
1121242
223
CP PP x =
== 考点：1、圆的标准方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量的数量积的应用. 22.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 设21
11,22(*)n n n a a a a b n N +==-++∈
（Ⅰ）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n
n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论.
当1n =时结论显然成立.
即101k a +≤≤这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立.
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