2020年湘教版八年级数学下册第1章直角三角形单元检测卷(含答案)

第1章直角三角形
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
1.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,则图中与∠C相等的角有()
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
图1图2
2.如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°,BD=2,则AD的长度是()
A.6
B.8
C.12
D.16
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一,下面四幅图中,不能证明勾股定理的是()
图3
4.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=10,用尺规作图的方法作线段AD和线段DE,保留作图痕迹如图4所示,认真观察作图痕迹,则△BDE的周长是()
A.8
B.5
C.
D.10
图4图5
5.如图5,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD 的边上.若点P到BD的距离为,则符合题意的点P有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
6.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“有一
架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问绳索有多长?”则绳索长为()
A.12.5尺
B.13.5尺
C.14.5尺
D.15.5尺
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
7.若一个直角三角形斜边上的中线长为20,则斜边长为.
8.如图6,∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线上一点,PC∥OB,交OA于点C,CD⊥OB于点D.若PC=3,则CD的长为.
9.若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm,则它的面积为cm2.
图6图7
10.如图7,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则需要添加的条件是(写出一个即可).
11.如图8,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC边上,将△ABC沿AE折叠,点B 恰好落在AC边上的点B'处,则BE的长为.
图8图9
12.如图9,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,M为AB边的中点,连接ME,MD,ED.设AB=4,∠DBE=30°,则△EDM的面积为.
三、解答题(本大题共5小题,共52分)
13.(8分)如图10,∠ACB=∠CDE=90°,B是CE的中点,∠DCE=30°,AC=CD.求证:AB//DE.
图10
14.(10分)如图11,在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破.已知点C 与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,
且CA⊥CB,为了安全起见,爆破点C周围250米范围内不得进入.问在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要暂时封锁,请说明理由.
图11
15.(10分)如图12,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是△ABC的角平分线,ED⊥BC于点D,连接AD.
(1)请你写出图中所有的等腰三角形;
(2)若BC=10,求AB+AE的长.
图12
16.(10分)如图13所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是AB边的中点,CH⊥AB于点H,CD平分∠ACB.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E,连接AE,BE.求证:CM=EM.
图13
17.(14分)如图14,将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图14①方式摆放,其中
∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF=DE.
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出旋转后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③.你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请写出AF,EF与DE之间的关系,并说明理由.
图14
详解详析
1.[解析] A∵∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠C+∠B=90°,∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°,∴∠C=∠BDF=∠BAD.
∵∠DAC+∠C=90°,∠DAC+∠ADE=90°,∴∠C=∠ADE,∴图中与∠C相等的角有3个. 故选A.
2.[解析] A∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠BCD+∠ACD=90°,∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD= ∠A=30°.∵BD=2,∴BC=2BD=4,∴AB=2BC=2×4=8,∴AD=AB-BD=8-2=6.故选A.
3.D
4.[解析] D∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠B=45°.由尺规作图可知,AD平分∠CAB,DE⊥AB.又∵∠ACB=90°,∴ED=CD.
在Rt△ACD和Rt△AED中,∵AD=AD,CD=ED,∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AC=AE,
∴△BDE的周长=BD+ED+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10.故选D.
5.[解析] A如图,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
∵∠BAD=90°,AB=AD=2,∴BD=4,∠ADB=45°,∴AE=BD=2>.
∵∠ADC=90°,∴∠FDC=90°-∠ADB=45°,∴△CDF是等腰直角三角形.
又∵CD=,∴CF=1<.∵点P到BD的距离为,∴这样的点P有两个,
它们分别在AB,AD边上.
6.C
7.[答案] 40 [解析] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
8.[答案] [解析] ∵P是∠AOB的平分线上一点,PC//OB,∴∠CPO=∠POB=∠COP,
∴PC=OC.∵CD⊥OB,∠AOB=30°,∴CD=OC=PC=.
9.[答案] 120 [解析] 设该三角形的三边长分别为5x cm,12x cm,13x cm.
由题意,得5x+12x+13x=60,解得x=2,则该三角形的三边长分别为10 cm,24 cm,26 cm.
∵102+242=262,∴这是一个直角三角形,∴S=×10×24=120(cm2).
10.AC=AD(答案不唯一)
11.[答案] [解析] 根据折叠的性质可知BE=B'E,AB=AB'=3.
在Rt△ABC中,由勾股定理可得BC=4.设BE=x.
在Rt△B'EC中,由勾股定理可得B'E2+B'C2=EC2,即x2+22=(4-x)2,解得x=.
12.[答案] [解析] ∵在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,∴△ABE,△ABD都是直角三角形.∵M为AB边的中点,∴EM,DM分别是△ABE,△ABD斜边上的中线,∴EM=DM=AB.
∵EM=AB=MA,∴∠MAE=∠MEA,∴∠BME=2∠MAE.同理,DM=AB=MA,
∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD= 2∠DAC.∵BE⊥AC,∠DBE=30°,∴∠C=60°.又∵AD⊥BC,∴∠DAC=30°,∴∠EMD=60°, ∴△DEM是边长为2的等边三角形,∴S△EDM=.
13.证明:∵∠CDE=90°,∠DCE=30°,∴ED=CE.∵B是CE的中点,∴BC=CE,∴BC=ED.在△ABC和△CED中,∵AC=CD,∠ACB=∠CDE=90°,BC=ED,∴△ABC≌△CED(SAS), ∴∠ABC=∠CED,∴AB//DE.
14.解:公路AB需要暂时封锁.理由:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
因为BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,所以AB=500米.
因为S△ABC=AB·CD=BC·AC,所以CD===240(米).
因为240米<250米,所以有危险,因此AB段公路需要暂时封锁.
15.解:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠C=45°.又∵ED⊥BC,
∴∠EDC=90°,∴∠DEC=∠C=45°,∴DE=DC,故△DCE为等腰直角三角形.
∵BE是△ABC的角平分线,∠BAC=∠BDE=90°,∴AE=DE,∴△ADE为等腰三角形.
∵AE=DE,BE=BE,∴Rt△ABE≌Rt△DBE,∴AB=DB,∴△ABD为等腰三角形.
故图中所有的等腰三角形为△ABC,△DCE,△ADE,△ABD,共4个.
(2)由(1)可知AB=DB,AE=DE=DC,∴AB+AE=DB+DC=BC=10.
16.证明:(1)∵∠ACB=90°,CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACD=45°,∴∠1=45°-∠BCH,∠2=45°-∠ACM.∵在Rt△ABC中,M是AB边的中点,∴AM=MC,∴∠BAC=∠ACM.
又∵CH⊥AB,∴∠BCH+∠ABC=∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BCH=∠BAC=∠ACM,∴∠1=∠2.
(2)∵CH⊥AB,EM⊥AB,∴CH//EM,∴∠1=∠MED,∴∠MED=∠2,∴CM=EM.
17.解:(1)证明:如图①,连接BF.∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE,AC=DE.∵∠ACB=∠DEB=90°, ∴∠BCF=∠BEF=90°.在Rt△BFC和Rt△BFE中,∵BF=BF,BC=BE,∴Rt△BFC≌Rt△BFE,∴CF=EF.∵AF+CF=AC,∴AF+EF=DE.
(2)画出正确图形如图②.(1)中的结论AF+EF=DE仍然成立.
(3)(1)中的结论不成立.此时AF,EF与DE之间的关系为AF-EF=DE.
理由:如图③,连接BF.∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE,AC=DE.
∵∠ACB=∠DEB=90°,∴∠BCF=∠BEF=90°.
在Rt△BFC和Rt△BFE中,∵BF=BF,BC=BE,∴Rt△BFC≌Rt△BFE,∴CF=EF.
∵AF-CF=AC,∴AF-EF=DE,∴(1)中的结论不成立,正确的结论是AF-EF=DE.。