数字信号处理第2章答案 史林 赵树杰编著

第二章作业题 答案
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2.1将序列1,
01,1
()0
,22,30
,
n n x n n n =⎧⎪-=⎪⎪
==⎨⎪=⎪⎪⎩其他
表示为()u n 及()u n 延迟的和。

解：首先将表示为单位脉冲序列的形式：
()x n ()()()
()=123x n n n n δδδ--+-对于单位脉冲函数，用单位阶跃序列表示，可得：
()n δ()u n ()()()
1n u n u n δ=--将上式带入到的单位脉冲序列表达式中，可得：
()x n ()()()
()()()()()()()()()()()
()1231122342122324x n n n n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n δδδ=--+-=------+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=--+-+---%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。

(1)()sin1.2x n n =(2)()sin 9.7x n n π=(5)()sin(
)cos(
)
4
7
n
n
x n ππ=-解：理论分析详见P18性质7）周期序列
题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号，分析其周期性，则
()0()sin x n A n ωϕ=+需判断：
2π
ω1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。

观察（1）、（2）、（5），依次为：、、，从而可知
0ω0 1.2ω=09.7ωπ=12,47
π
π
ωω==
（1）为非周期，（2）、（5）为周期序列。

（2）中，，因此周期。

02220
9.797π
πωπ==20N =
（5）中，第一部分周期为，第二部分周期为，因此序列
1028N π
ω==20214N π
ω==周期为。

56N =%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.9试确定下列系统是否为线性时不变系统？
(1) 。

()()()sin y n x n n ω=(2) ， m 为正整数。

()()0
n
m y n x m ==
∑解：利用线性时不变系统定义、性质分析。

（1）()()()sin y n x n n ω=线性分析：
()()()()()()()()()()()()12121212sin sin sin y n T ax n bx n ax n bx n n ax n n bx n n aT x n bT x n ωωω'=+⎡⎤⎣⎦
=+⎡⎤⎣⎦=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
因此为线性系统。

时不变分析：
()()()000sin y n n x n n n n ω-=--⎡⎤⎣⎦
而系统输入为时，
()0x n n -()()()()
00sin y n T x n n x n n n ω'=-=-⎡⎤⎣⎦得：，因此为时变系统。

()()0y n y n n '≠-综上，为线性时变系统。

()()()sin y n x n n ω=（2）()()
n
m y n x m ==∑线性分析：
()()()()()()()
()()12120120
12n
m n
n
m m y n T ax n bx n ax m bx m ax m bx m aT x m bT x m ==='=+⎡⎤⎣⎦
=+⎡⎤⎣⎦
=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∑∑∑
因此为线性系统。

时不变分析：
()()
()()()()()()()()()000
0001012+01+n n m y n n x m x x x x x x x x x n n -=-=
=++++++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑……而系统输入为时，
()0x n n -()()()
()()()()()()000
000000=++1++1n
m y n T x n n x m n x n x n x n x n x n x n n ='=-=-⎡⎤⎣⎦-----++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∑...+...得：，因此为时变系统。

()()0y n y n n '≠-综上，为线性时变系统。

()()0
n
m y n x m ==
∑%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2.11试求题2.11图所示线性时不变系统的单位脉冲响应()h n ，图中
[]1()40.5()(3)n h n u n u n =⨯--23()()(1)()
h n h n n u n ==+ 4()(1)h n n δ=- 5()()4(3)
h n n n δδ=--题2.11图 线性时不变系统
如果输入序列()()(1)x n n n δδ=--，求该系统的输出序列()y n 。

解：此题涉及到了线性时不变系统的输入、输出关系，即：
()()()
*y n x n h n =以及线性卷积的性质：交换律、结合律、分配律。

系统的输入输出关系可表示为：
()()()()()(){}
()()
12345****y n x n h n h n h n h n x n h n =-+⎡⎤⎣⎦将进行变形，尽量表示为单位脉冲序列的形式，以方便运算，则：
()()1,2,3,4,5i h n i =()()()()()()()()()
140.5340.5124212n n h n u n u n n n n n n n δδδδδδ=⨯--⎡⎤⎣⎦
=⨯+-+-⎡⎤⎣⎦=+-+- ()()()()231h n h n n u n ==+()()41h n n δ=-()()()
543h n n n δδ=--此时注意：
()()()
()()()()()()()()()()()()()
234*111111h n h n h n n u n n u n n n u n nu n nu n nu n u n n n u n δδ-=+-+-=+--=--+=+()()()()()()()()()()()()()()()
1234**4212*42124212h n h n h n h n n n n n n u n n n n n n n u n u n u n δδδδδδδ-⎡⎤⎣⎦
=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=+-+-++-+-，与之卷积实质是序列本身与序列右移一个单位所得新序列的差。

()()()1x n n n δδ=--与不宜合并一起然后与求线性卷积，应该分
()()()()1234**h n h n h n h n -⎡⎤⎣⎦()5h n ()x n 别与求线性卷积，从而：
()x n ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()()
1234***42124212411212134122342124122342123x n h n h n h n h n n n n n n n u n u n u n n n n n n n u n u n u n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n δδδδδδδδδδδδδδδδ-⎡⎤⎣⎦
=+-+-++-+----------------=+-+-------=------()()
()()()()()()()()
5*4314414344x n h n n n n n n n n n δδδδδδδδ=----+-=----+-因此，
()()()()()()()()
()()()()()()()()
12345****4212314344y n x n h n h n h n h n x n h n n n n n n n n n n n n n δδδδδδδδ=-+⎡⎤⎣⎦=------+----+-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2.15设系统的差分方程为
()(1)(),01,(1)0
y n ay n x n a y =-+<<-=试分析该系统是否为线性、时不变系统。

解：
1、根据条件可知：
()0
(),01
n
n m m y n a x m a -==<<∑2、根据上式判断：
=>系统为线性系统
()()()()()()
()()121201200
12=n
n m m n n
n m n m m m T px n qx n a px m qx m p a x m q a x m pT x n qT x n -=--==+⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎣⎦
=+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∑∑∑时变性分析与2.9（2）题相同，，为时变系统。

()()0y n y n n '≠-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2.18线性时不变系统的差分方程为
11
()(1)()(1)22
y n y n x n x n =
-++-若系统是因果的，试用递推法求系统的单位脉冲响应。

解：11
()(1)()(1)22
h n h n n n δδ=
-++-令，则得：
0n =11
(0)(1)(0)(1)22
h h δδ=
-++-因为系统为因果系统，因此：
()0,0
h n n =<故：
1
(0)(0)(1)1
2
h δδ=+-=以此为契机，依次递推可得：
11(1)(0)(1)(0)221
h h δδ=
++=11
(2)(1)(2)(1)2212
h h δδ=
++=111(3)(2)(3)(2)224
h h δδ=
++=()1
10()1
112
n n h n u n n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.19如果线性时不变系统的单位脉冲响应为
()(),1
n h n a u n a =<求系统的单位阶跃响应。

解：
将用表示，则：
()u n ()n δ()
()k u n n k δ∞
==-∑由于系统具有线性时不变性，因此当系统输入为时，根据线性时不变性的性质，()n k δ-系统输出为：
()()()
n k y n h n k a u n k -=-=-因此输入为单位阶跃序列时，系统的输出为：
()()
n k k y n a u n k ∞
-==-∑。