高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义课后导练 苏教版选修12

3.3 复数的几何意义
课后导练
基础达标
1．i 2+i 3+i 4对应的点在（ ）
A.实轴上
B.虚轴上
C.第一象限
D.第三象限
解析：∵i 2+i 3+i 4=-1-i+1=-i,∴B 正确.
答案：B
2．z 1=1+2i 、z 2=2-i 、z 3=i 23-、z 4=i 32+对应的点（ ）
A.在圆|z |=2上
B.在|z |=5上
C.在圆|z |2=5上
D.不共圆
解析：∵|z 1|=5212=
+,|z 2|=5)1(222=-+,|z 3|=5,|z 4|=5,∴C 正确.
答案：C 3．如果向量OZ =0，则下列说法中正确的个数是（ ）
①点Z 在实轴上 ②点Z 在虚轴上 ③点Z 既在实轴上，又在虚轴上
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①②③正确.
答案：D
4．若OZ =（0，-3），则OZ 对应的复数（ ）
A.等于0
B.等于-3
C.在虚轴上
D.既不在实轴上，也不在虚轴上
解析：向量OZ 对应的复数为-3i.
答案：C
5．复数2-3i 对应的点在直线_________上（ ）
A.y=x
B.y=-x
C.3x+2y=0
D.2x+3y=0
解析：复数2-3i 对应的点为（2，-3），经验证在3x +3y =0上.
答案：C
6．满足条件|z |<3的复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是__________.
解析：由复数的几何意义可知.
答案：以原点为圆心，3为半径的圆的内部
7．已知复数z =x-2+yi 的模是22，则点（x,y ）的轨迹方程是__________. 解析：由|x -2+y i|=22,得(x -2)2+y 2
=8.
答案：(x -2)2+y 2=8
8．复数z =x+3+i(y-2),(x,y∈R )且|z |=2,则点（x,y ）的轨迹方程是__________. 解析：∵22)2()3(-++y x =2,
∴(x +3)2+(y -2)2
=4.
答案：(x +3)2+(y -2)2=4
9．已知|z |=2+z -4i,求复数z .
解析：设z =x +y i(x 、y ∈R ),则由题意知 22y x +=2+x +i y -4i=(x +2)+(y -4)i, ∴,40,
222-=+=+y x y x 即⎩⎨⎧==.
4,3y x
∴z =3+4i.
10．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45°，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z . 解：设z =a+bi(a 、b∈R ). ∵OZ 与x 轴正向的夹角为45°,|z |=1, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+=0,1,122a b a a b 或⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>=+-=0,1,122a b a a b ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.22,2222,22b a b a 或 ∴z =i 2222+或z =i 2
222-. 综合运用
11．实数x 分别取什么值时，复数z =x 2+x-6+(x 2--15)i 表示的点：（1）在实轴上？
（2）在虚轴上？
解：(1)当x 2-2x -15=0,即x =-3或x =5时，复数z 对应的点在实轴上.
（2）当x 2+x -6=0,即x =2或x =-3时，复数z 对应的点在虚轴上.
12．设z 是虚数，ω=z +z
1是实数，且-1<ω<2.求|z |的值及z 的实部的取值范围. 解析：∵z 是虚数，∴可设z =x +y i(x ,y ∈R 且y ≠0)，
ω=z +z
1=(x +y i)+yi x +1=x +y i+22y x yi x +- =(x +22y x x +)+(y -22y
x y +)i ， ∵ω为实数且y ≠0,
∴1-
221y x +=0， 即x 2+y 2=1,∴|z |=1此时ω=2x ,
由-1<ω<2得-1<2x <2.
∴-2
1<x <1. 即z 的实部的范围是（-2
1，1） 13．已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1=sin 2θ+i,z 2=-cos 2θ+icos2θ,其中
θ∈(0,2π)，设对应的复数为z .
（1）求复数z ;
(2)若复数z 对应的点P 在直线y=
21x 上，求θ的值. 解：（1）z =z 2-z 1=-cos 2θ-sin 2θ+i(cos2θ-1)
=-1-2sin 2θ·i.
（2）点P 的坐标为(-1,-2sin 2θ),
由点P 在直线y =
21x 上,得-2sin 2θ=-2
1. 所以sin 2θ=41,则sin θ=±2
1. 因为θ∈(0,2π),所以θ=6π,65π,67π,611π. 拓展探究
14．若复数z 满足|z +3+i|≤1,求：
（1）|z |的最大值和最小值；
（2）|z -1|2+|z +1|2的最大值和最小值；
（3）|z -3|2+|z -2i|2的最大值和最小值.
解：（1）如下图所示,|OM |=221)3(+=2. ∴|z |ma x =2+1=3,|z |min =2-1=1.
(2)|z -1|2+|z +1|2=2|z |2+2.
∴|z -1|2+|z +1|2的最大值为20，最小值为4.
（3）如右图，在圆面上任取一点P ，与复数z 1=3，z 2=2i 的对应点A 、B 相连，得向量PB PA 、，再以PB PA 、为邻边作平行四边形将问题再次转化为（1）的类型.
设z a =3,z b =2i,P 为圆面上任一点，z P =z . 则2||2+2||2=||2+(2|O P |)2 =7+4|O P |2
, ∴|z -3|2+|z -2i|2=2
1(7+4|z -23-i|2). 而|z -23-i|ma x =|O′M |+1=1+243, |z -23-i|min =|O′M |-1=2
43-1, ∴|z -3|2+|z -2i|2的最大值为27+432，最小值为27-432.。