微积分在实际中的应用

微积分的综合应用
微积分的综合应用表此刻：
1）微分在近似计算中能够较快的求得近似值，一般偏差不大，能够节俭时间和精力；
2）定积分在物理学中的应用：变力做功问题常常是用微积分来求功；
3）设计桥拱也是微积分利用的一个例子，利用微积分知识能够计算桥墩的受压状况
以及整座桥的抗压抗风能力，进而设计出既轻又坚固的桥身；
4）天气预告也常常用到微积分例子，将众多的外界要素当成多元函数，进行概括剖析；城市规划、建筑设计等用到了空间分析几何；
5）设计元件、容器等节俭资料又保证质量的问题，需要运用微积分计算不规则物体
的表面积、体积、质量等有关数据；
6）微积分能够用于在天文学上当算引力做功，轨道及运动状况；
此外，微积分在经济学还有特别宽泛的作用，在计算盈余状况，投资风险，希望值，回
报率，保险行业等都要用到微积分知识。

综上，不论是在科学研究仍是实质生活中，微积分作为一种数学工具的作用是非比寻
常的。

站在我们学生的角度，能够掌握微积分的基础知识并在现实中灵巧运用，才算是真实地理
解了这门课程的精华。

下边用以详细模型来说明方法及过程。

对于火箭升空原理的商讨
火箭是一种靠发动机发射物质产生的反作使劲、向前推动的飞翔器，是实现卫星上天和航天飞翔的运载工具，故称运载火箭。

火箭技术就是要解决火箭的制造和发射等问题。

没有火箭技术的
发展，就没有空间科学蓬勃发展的今日——火箭技术为人类翻开了探究宇宙的大门。

本文主要议论
微积分在发射过程中的应用。

一、火箭升空过程中的主要原理
设 t 时辰主体的质量为m，速度为v。

dt 时间内有质量为dm、速率为u 的流动物加到
主体上。

t+dt 时辰主体的质量变成m+dm、速度变成 v+dv ，t 时辰质点系的动量为mv+udm ，t+dt 时辰质点系的动量为（m+dm ）（v+dv ）。

下列图为质量流动的质点系。

若主体受外力下，流动物质受外力
F ’，则依据质点系动量定理的微分形式，有
dp
( m dm)(v dv) (mv
udm)
F F '
dt
dt
在这一类问题中，流动物体所受外力常常远小于主体所受外力，故 F ’能够忽视。

上式
经整理并略去二阶无穷小量后，可得：
m dv
F (u v)
dm
dt
dt
式中 (u v) 是流动物 dm 相对主体的速度，若以
v ’表示上式也可写为
dv F v'
dm
m
dt
dt
此式即为密舍尔斯基方程。

方程中
m 为 t 时辰主体的质量，
dv
为 t 时辰主体的加快度， v ’
dt
为流动物马上加到主体上相对主体的速率，
dm
为主体质量随时间而增大的速率，
F 为 t 时
dt
刻主体所受合外力。

假如主体不停流出质量（如火箭） ，密舍尔斯基方程相同是合用的，只
是方程中的
dm
0 ， v ’表示流动物体刚才走开主体时相对主体的速度；在火箭飞翔中，
v ’
dt
v'
dm
的方向与主体的行进方向相同，它是喷气对火箭的反冲力，
与火箭行进的方向相反，
dt
也就是火箭发动机的推力。

二、 发射卫星的三级火箭用法
我们不如利用密舍尔斯基方程计算理想状态下火箭飞翔状况。

设初始质量为 m 的火箭在重力场中竖直发射，喷气速率（相对火箭）为 v ’，方向向下。

若空气阻力不计，火箭所受外力只有重力 mg 方向向下， 按密舍尔斯基方程以竖直向上为 x 轴的正方向，其重量式为
m dv
mg
v'
dm
dt
dt
分别变量，积分，并代入初始条件：
t=0 时初速度为
0，初始质量为
m ，得随意时辰火箭的
速度
v v' ln
m 0
gt
m
为了剖析方便，在反冲力远大于重力时，重力可忽视不计；于是有
v
v' ln
m 0。

m
一般 v ’≈ 2500m/s ，
m 0
≈6，最后末速度只好达到 4500m/s ，小于第一宇宙速度，达不到
m
人造卫星所需要的速度。

所以发射卫星要使用多级火箭。

设 m 10 为火箭原始质量：
当第一级火箭燃料燃尽时火箭质量为
m 1， v 1
v' ln
m 10 ；
m 1
当第二级火箭燃料燃尽时火箭质量为
m 2， v 2
m
20
v 1 ；
v'ln
m 2
当第三级火箭燃料燃尽时火箭质量为
m 3， v 3
m
30
v 2
m 10
m 20
m
30
v'ln
v'ln
m 2 m 3
m 3 m 1
依据经验，一般 v ’=2500m/s ，
m 10
m 20
m 30
5，则 v 3 =12100m/s 。

即便考虑重力
m 1 m 2
m 3
和空气阻力的影响， 实质速度也能够超出第一宇宙速度， 达到运输要求。

依据以上剖析过程，火箭级数越多，最后的速率越大。

再考虑此外一个要素——资料的用量（质量） 。

多级火箭在发射过程中逐级抛弃，令m i
为第 i 级火箭质量（燃料与结构自己之和）
，λ m i 为结构自己质量， （ 1-λ） m i 为燃料质量。

假定 u 不变，即 v ’不变，以剖析三级火箭为例：有 m 0
m 1 m 2
m 3 m p ，连立上边推
导的 v 3 表达式获得
m 0 m 1 m 2 m 3 m p
v 3
ln m 0
m p m 2 m 3 m p m 3 v' m 1 m 2 m 3 m p
m 2 m 3
m p
m 3
m p
为选用 m 1、 m 2、 m 3 使得 m p 最大，令
a 1
m 0
， a 2
m p
m 2 m 3
m p m 2 m 3 m p
m 3
， a 3
m p
m p m 3
则方程组下式变成
v
a 1
a 2
a 3 v'
ln
(a 2 1) 1
(a 3 1)
1 (a 1 1) 1
因为 a 1 、 a 2 、 a 3 是对称的，故当 a 1 a 2
a 3 时， a 1 、 a 2 、 a 3 获得最小值而 m p 最大。

a ，有
v
a 1
3
a v
记 a 1 a 2
a 3
ln
1 1)
，即
e 3 v'
v'
(a 1
1 (a 1)
v
m 0 3
记
p e
3v' 1
，方程组最后转变成
p
m p
我们设 v=10500m/s ， v ’=3000m/s ，λ =0.1 ，则
m 0
77 。

对其余级数的火箭同理：
m p
级数
质量比
1
- 2 3
149 77
4
65
5
60
∞
50
从表格上能够看出， 级数越多， 越省资料。

既然级数多有那么多利处，际发射中，大多采纳三级火箭而不用更多级呢？
可是为何在实
第一， 三级火箭速度已经达到运载要求，
而再增添快度需要耗费更多燃料；
其次，剖析
m 0
质量比表格发现，三级与更多级所用资料的多少相差其实不太大；此外，
级数越多， 结构
m p
越复杂，工作的靠谱性越差，增添级数，技术要求、成本大大增添，点火装置增加，发生危
险的几率增大，这些安全要素都是实质发射中特别要考虑的。

所以，综合考虑，我们选择三级火箭作为运载工具。

三、实例思虑与其余
以实质问题为例：小型火箭初始质量 900kg ，此中包含 600kg 燃料。

燃料以的速率焚烧， 产
生气体以相对火箭主体 2000m/s 的速度向下喷出， 且火箭上涨过程中， 空气阻 力与速度的平方成正比，比率系数为
，重力加快度取
2。

依据密舍尔斯基方程：
dv F dm ，能够成立数学模型：
m
v'
dt
dt
(m 1.5t) dv
( m 1.5t) g kv 2 v'
dm
， 0 t 40
dt
dt
式中m 为火箭的初始质量（900kg），t 为引擎开启的时间（0 t 40），dv 为火箭升空实dt
际加快度，g 为重力加快度（2）， K 为比率系数， v 为火箭相对地面竖直向上
速度，v’为喷出气体马上加到火箭上时相对火箭的速度-2000m/s，dm 为火箭质量随时间增dt
大的速度。

于是可得以下方程组：
(900 1.5t ) dv
9.8(900 1.5t ) 0.4v 2 3000
dt
v(0) 0
遗憾的是因为上式等号右边v2的存在，方程不是一阶线性常微分方程，所以没法以我
们当前掌握的积分方法加以求解。

若获得速度与时间的关系式v(t ) ，便能计算火箭在随意时dv 40
刻的加快度a(t ) 以及火箭在封闭引擎前的上涨高度H v(t)dt 等数据了。

dt 0。