第一讲 无穷级数及其收敛性

§第一讲无穷级数及其收敛性
一、无穷级数的概念
定义1 把一个数列﹛u n﹜的各项依次用“+”号连接起来所得到的表达式
u1+u2+…+u n+…, (1)
称为无穷级数或数项级数，简称为级数.u n的下标n称为项数，u n称为级数的通项，它是项数n的函数。

级数（1）的前n项之和
S n=u1+u2+…+u n
称为级数的前n项部分和。

定义4 若级数（1）的部分和数列{S
}收敛于有限值S,即
n
limS n=S,则称级数（1）收敛且和为S,记为;如果部分和数列{Sn}发散，则称级数发散。

二、级数的基本性质
性质1级数∑u n与∑ku n （k≠为实数）
同时收敛或同时发散.当∑u n收敛与S时，∑ku n收敛于
kS，即
∑ku n=k∑u n .
性质2 若级数∑u n和∑v n都收敛，其和分别为A和B，则级数∑(u n v n)也收敛，其和为A+_B，即
∑(u n+_v n)=∑u n∑v n
性质3 在级数的前面加上或去掉有限项或者改变级数中有一项限的值，不改变级数的敛散性.但在级数收敛的情况下，新级数的和一般要改变.
性质4 在一个收敛级数中按原来的顺序任意添加符号，所构成的新级数仍然收敛，且和不变.
推论如果一个级数按原来的顺序以某种方式添加括号后所构成的级数发散，那么原来的级数必定n发散.
性质5 （级数收敛的必要条件）收敛级数的通项必趋向于零.即如果∑u n收敛，则.=0.。