上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

复旦附中高二期中数学卷
一、填空题
1.已知向量(,1)a k =与(2,1)b k =+垂直，则实数k =________. 【答案】13
- 【解析】 【分析】
根据向量垂直，得到数量积为0，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为向量(,1)a k =与(2,1)b k =+垂直， 所以21310⋅=++=+=a b k k k ，解得13
k =-. 故答案为：13
-
【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.
2.若矩阵()20210A x =， 10B y ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则AB =________.
【答案】()2021 【解析】 【分析】
根据矩阵乘积的概念，可直接得出结果.
【详解】因为()20210A x =， 10B y ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以()()20211002021=⨯+⨯+⨯=AB x y . 故答案为：()2021
【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，熟记概念与运算法则即可，属于基础题型.
3.行列式4
23
5
4112
k
---的元素3-的代数余子式的值为10，则(,8)a k =的模为________.
【答案】10
【分析】
先由题意，结合代数余子式的概念，得到21
2(1)2(2)11012
+-=-⨯-+⨯=-k
k ，求出6k =，
再由向量模的计算公式，即可得出结果.
【详解】因为行列式4
23
5
4
112
k ---的
元素3-的代数余子式的值为10，
所以21
2(1)
2(2)141012
+-=-⨯-+⨯=+=-k
k k ，解得6k =，
因此2810=+==a k .
故答案为：10
【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记代数余子式的概念，以及向量模的坐标表示即可，属于常考题型.
4.若(2,1)n =是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角是________. 【答案】arctan 2π- 【解析】 【分析】
先由题意求出直线斜率，再记l 的倾斜角为α，进而可求出结果.
【详解】因为(2,1)n =是直线l 的一个法向量，所以直线l 的斜率为：2k =-， 记l 的倾斜角为α，则tan 2α，则arctan 2απ-=.
故答案为：arctan 2π-
【点睛】本题主要考查由直线的法向量求直线倾斜角，熟记法向量的概念，以及斜率的定义即可，属于基础题型.
5.关于x 、y 的二元线性方程组25
2x my nx y +=⎧⎨
-=⎩
的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为
103011⎛⎫
⎪⎝⎭
，则mn =________. 【答案】1-
【分析】 先由题意得到31x y =⎧⎨
=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解，求出1
1
m n =-⎧⎨=⎩，进而可得出结果. 【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组25
2x my nx y +=⎧⎨-=⎩
的增广矩阵经过变换，最后得到的
矩阵为103011⎛⎫
⎪
⎝⎭，所以31x y =⎧⎨=⎩是方程组252
x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解， 因此65312m n +=⎧⎨-=⎩，解得1
1m n =-⎧⎨=⎩
，
所以1mn =-. 故答案为：1-
【点睛】本题主要考查系数矩阵的逆矩阵解方程组，熟记线性方程组与矩阵之间关系即可，属于常考题型.
6.若直线330ax y ++=与直线(2)10x a y +-+=平行，则a 的值为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】
由直线平行，得到(2)3101310a a a ⨯--⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩
，求解，即可得出结果.
【详解】因为直线330ax y ++=与直线(2)10x a y +-+=平行，
所以有(2)3101310a a a ⨯--⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，即(3)(1)0
30a a a -+=⎧⎨-≠⎩
，解得1a =-.
故答案为：1-
【点睛】本题主要考查由两直线平行求参数的问题，熟记两直线平行的充要条件即可，属于常考题型.
7.直线l 与圆22(5)4x y -+=相切，且l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，这样的直线l 共有________条. 【答案】6
【分析】
先由题意得到圆心坐标与半径，根据l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，分别讨论：截距相等（不为0），截距互为相反数，直线过原点，三种情况，根据直线与圆相切，列出等式，分别求解，即可得出结果.
【详解】因为圆22(5)4x y -+=的圆心坐标为()5,0，半径2r
由l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，
（1）若截距相等（不为0），可设:l x y a +=，因为直线l 与圆22(5)4x y -+=相切，
2
2
502a r
，解得522a
，此时直线有两条；
（2）若截距互为相反数，可设:l x y a -=，
2
2
502a
r
，解得5
22a
，此时直线有两条；
（3）若直线过原点，可设：:0l kx
y
，
02k r
，解得221
21
k
，此时直线有两条； 综上，满足条件的直线共有6条. 故答案为：6
【点睛】本题主要考查判断圆的切线条数，熟记点到直线距离公式，会用几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型.
8.直线l 过点(4,7)-， 且被圆2
2
(1)(2)25x y -+-=截得的弦长为8，则l 的方程为_____. 【答案】4x =或4350x y ++= 【解析】 【分析】
先由题意得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离；分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为圆2
2
(1)(2)25x y -+-=的圆心坐标为(1,2)，半径=5r ，
又直线l 被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离为：2243=-=d r 当直线l
斜率不存在时，由l 过点(4,7)-，得:4l x =，满足题意； 当直线l 斜率存在时，可设:(7)(4)l y
k x ，即470kx y k ，
所以有
2
247
31k k k ，即
2
311
k k ，解得4
3
k =-，
因此4:(4)73
l y x ，即4350x y ++=.
故答案为：4x =或4350x y ++=
【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程，熟记直线与圆的位置关系，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.
9.在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，()
3,3A ，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩
，
则OA 在OP 上的投影的取值范围是__________ 【答案】[]3,3- 【解析】 【分析】
根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤
∠∈⎢⎥⎣⎦
；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.
【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：
由题意可知：6
AOB π
∠=
，56
AOC π
∠=
OA 在OP 上的投影为：cos 93cos 23cos OA AOP AOP AOP ∠=+∠=∠
AOB AOP AOC ∠≤∠≤∠ 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢
⎥⎣⎦
33cos ,22AOP ⎡⎤
∴∠∈-⎢⎥⎣⎦
[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-
本题正确结果：[]3,3-
【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.
10.如图，光线从(,0)P a (0)a >出发，经过直线:30l x y -=反射到(,0)Q b ，该光线又在Q 点被x 轴反射，若反射光线恰与直线l 平行，且13b >，则实数a 的取值范围是________.
【答案】(5,)+∞ 【解析】 【分析】
先记经过点P 的入射光线与直线l 的交点为M ，由题意得到直线MQ 的斜率为：1
3
MQ k =-
，与直线:30l x y -=垂直的直线斜率为：3k =-；设直线PM 斜率为PM k ，由到角公式求出
13
9
PM k =
，再由直线MQ 与直线l 联立求出点M 坐标，表示出PM k ，求出a b 、关系，进而可得出结果.
【详解】记经过点P 的入射光线与直线l 的交点为M ， 由题意可得：直线MQ 的斜率为：13
MQ k =-
， 与直线:30l x y -=垂直的直线斜率为：3k =-； 设直线PM 斜率为PM k ，
由到角公式可得：11MQ PM PM MQ k k k k k k k k --
=+⋅+⋅，即
1
3
34
31
133133
PM PM
k k -+--==-+⋅，
解得139
PM k =
， 又直线MQ 的方程为：1()3y x b =--，由1()3
30y x b x y ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩
解得,26b b M ⎛⎫
⎪⎝⎭， 因此0
13692
PM
b
k b a -==-，解得513a b =，
又13b >，所以5
513
a b =
>. 故答案为：(5,)+∞
【点睛】本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型.
11.当实数x 、y 满足2
2
1x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，
则实数a 的取值范围是________. 【答案】[56,5]- 【解析】 【分析】
先由题意，设cos x θ=、sin y θ=，得到525x y ≤+≤
，再由
|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关得到65
5
a a ⎧+≥⎪⎨≤⎪⎩求解，即可得出结果.
【详解】因为实数x 、y 满足2
2
1x y +=，
可设cos x θ=、sin y θ=
，则()2cos 2sin x y θθθϕ+=+=+，其中1tan 2
ϕ=，
所以2x y +≤
因为|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，
所以只需|2||62|(2)(62)6x y a a x y x y a a x y +-++--=+-++--=，
即6a a ⎧+≥⎪⎨≤⎪⎩
6a ≤≤
故答案为：6,
【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，熟记圆的参数方程即可，属于常考题型. 12.已知(1,1)A a -，(1,1)B a +，若在曲线
|||1|
143
x a y --+=上恰有4个不同的点P ，使PA PB λ⋅=，则λ的取值范围是________.
【答案】119
{}(8,15)25
【解析】 【分析】 先由
|||1|
143
x a y --+=得24y -≤≤，设(,)P x y ，得到(1,1)PA a x y =---，(1,1)PB a x y =+--，进而得到2
2
2523119
,21925252573119,1492525y y PA PB y y ⎧⎛⎫++
-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⋅=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，令2
2
2523119
,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++
-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛
⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩，由题意得到，函数
2
2
2523119
,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++
-≤<⎪ ⎪⎪⎝
⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩与t λ=只需有两个交点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】由
|||1|143
x a y --+=得|1|
13y -≤，解得24y -≤≤；
因为点P 在曲线|||1|
1
43
x a y
--
+=上，可设(,)
P x y，又(
1,1)
A a-，(1,1)
B a+，则(1,1)
PA a x y
=---，(1,1)
PB a x y
=+--，
所以
()2
222
1241
()1(1)(1)1
9
y
PA PB a x y y
--
⋅=--+-=+--
2
2
2
2523119
,21
25(1)96192525
1
92573119
,14
92525
y y
y y
y y
⎧⎛⎫
++-≤<
⎪ ⎪
---⎪⎝⎭
=-=⎨
⎛⎫
⎪
-+≤≤
⎪
⎪⎝⎭
⎩
，
令
2
2
2523119
,21
92525
2573119
,14
92525
y y
t
y y
⎧⎛⎫
++-≤<
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
=⎨
⎛⎫
⎪
-+≤≤
⎪
⎪⎝⎭
⎩
，
因为在曲线
|||1|
1
43
x a y
--
+=上恰有4个不同的点P，使PA PBλ
⋅=，
则函数
2
2
2523119
,21
92525
2573119
,14
92525
y y
t
y y
⎧⎛⎫
++-≤<
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
=⎨
⎛⎫
⎪
-+≤≤
⎪
⎪⎝⎭
⎩
与tλ
=只需有两个交点；
作出函数大致图像如下：
由图像可得：119
25
λ=或815λ<<. 故答案为：119
{
}(8,15)25
【点睛】本题主要考查平面向量与曲线方程的综合，利用转化与化归思想，先将问题转化为函数图像交点问题，熟记向量数量积的坐标运算，二次函数的图像与性质，以及数形结合的思想即可，属于常考题型. 二、选择题
13.设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A. 若a b a b a b +=-⊥，则 B. 若,a b a b a b ⊥+=-则
C. 若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=
D. 若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=- 【答案】C 【解析】
试题分析：对于A 若a b a b +=-，则2
2
22a b ab a b a b ++=+-，得
0ab a b =-≠，则a b ⊥不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠，
所以B 不正确．对于C a b a b +=-，则2
2
22a b ab a b a b ++=+-，得
0ab a b =-≠，则cos 1θ=-，则a 与b 反向，因此 存在实数λ，使得a b λ=，所以C
正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=，则2
2
,a b a a b a λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b ≠-，则a b a b +≠-，所以D 不正确．故选C ． 考点：平面向量的综合题
14.设()12,A a a ，()12,B b b ，()12,C c c 点均非原点，则“OC 能表示成OA 和OB 的线性组
合”是“方程组1112
22a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量坐标公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：若OC 能表示成OA 和OB 的线性组合，则OC xOA yOB =+， 即()()()121212,,,c c x a a y b b =+，
即1112
22a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，则方程有解即可，不一定是唯一解，
若111
2
22a x b y c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩有唯一解，则OC xOA yOB =+，
即OC 能表示成OA 和OB 的线性组合，即必要性成立，
则“OC 能表示成OA 和OB 的线性组合”是“方程组1112
22a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的必要不
充分条件， 故选：B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合平面向量基本定理进行判断是解决本题的关键．
15.已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①
3450a b -+>；② 当0a >时，2+a b 有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0
a >且1a ≠时，11
b a +-的取值范围是93
(,)(,)44
-∞-+∞；正确的个数是（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意得到()()3450450a b -+++<，推出3450a b -+<，根据题意，作出不等式所
表示的平面区域，分别由2+a b ，22a b +，
1
1
b a
+-的几何意义，结合图像，即可得出结果. 【详解】因为点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧， 所以()()3450450a b -+++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时，3450a b -+<表示的平面区域如下： 令2t a b =+，则22a t b =-+，显然t 表示直线22
a t
b =-+在b 轴截距的2倍， 截距越大，t 越大；
由图像可得，t 无最大值和最小值；故②错误. 设坐标原点到直线3450x y -+=的距离为d ，则2
2
513(4)
=
=+-d ，
又22a b +表示3450-+<x y 对应的平面区域内的点与原点距离的平方， 因此221a b +>；故③正确；
因为1
1b a +-表示3450
01
a b a a -+<⎧⎪>⎨⎪≠⎩对应平面区域内的点(,)M a b 与定点(1,1)P -连线斜率，
作出345001a b a a -+<⎧⎪
>⎨⎪≠⎩
对应的平面区域如下：
由图像可得：5
194104
--
<==--PM PA k k 或3
4
>PM k ， 即11b a +-的取值范围是93(,)(,)44
-∞-+∞，故④正确. 故选：B
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，会分析目标函数所表示的几何意义，作出不等式所表示平面区域，即可求解，属于常考题型.
16.已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤，6AP AB ⋅=，2AQ PA =，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ） A. 36 B. 60
C. 72
D. 108
【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意，以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，根据向量数量积的运算，得到动点P 的轨迹，求出AP 扫过的三角形的面积；再推出动点Q 轨迹，求出AQ 扫过的三角形的面积，进而可求出结果.
【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ， 设(,)P x y ，所以(,)=AP x y ，(2,0)AB =，
由||5AP ≤得2225+≤x y ；又6AP AB ⋅=，所以26x =，即3x =， 所以216≤y ，解得44y -≤≤；
因此，动点P 在直线3x =且44y -≤≤上，即8=PC ， 则AP 扫过的三角形的面积为：
1
83122
⨯⨯=； 设点00(,)Q x y ，因为2AQ PA =，所以00(,)2(,)=--x y x y ， 所以026=-=-x x ，02=-y y ， 因此，动点Q
直线6x =-且088-≤≤y 上，所以16=QD ，
则AQ 扫过的三角形的面积为：
1
166482
⨯⨯=； 所以动线段PQ 所形成图形的面积为124860+=. 故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，以及轨迹问题，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量模的计算公式即可，属于常考题型. 三、解答题
17.已知ABC ∆的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -. （1）求BC 边所在直线的点方向式方程；
（2）BC 边上中线AD 的方程为230x y c -+=，且7ABC S =△，求点A 的坐标.
【答案】（1）
21
42
x y
--
=
-
；（2）(3,0)
-或(3,4).
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出直线的方向向量，进而可求出结果；
（2）先由（1）得到直线BC的一般式方程，根据题意求出中线AD的方程，根据三角形面积
求出三角形的高为：
2
△
===
ABC
S
h
BC AD的方程，即可求出结果.
【详解】（1）因为(2,1)
B、(2,3)
C-，所以BC边所在直线的方向向量为：(4,2)
=-
BC，因此，BC边所在直线的点方向式方程为：
21
42
x y
--
=
-
；
（2）由（1）得，直线BC的一般式方程为：240
x y
+-=；
因为D点为(2,1)
B、(2,3)
C-的中点，则(0,2)
D，
由中线AD
的方程为230x y c-+=，所以6c=，因此2360-+=m n 又==
BC7
ABC
S=
△
，
所以三角形
的高为：2△===ABC S h BC即点(,)A m n到直线BC=所以211+=m n或23+=-m n，由2112360m n m n+=⎧⎨-+=⎩得34m n=⎧⎨=⎩；由232360m n m n+=-⎧⎨-+=⎩得30m n=-⎧⎨=⎩，即点A的坐标为(3,4)或(3,0)
-.
【点睛】本题主要考查求直线的方程，以及由直线方程求点的坐标问题，熟记直线方程的几种形式，以及两直线交点坐标的求法即可，属于常考题型.
18.已知()()
4,3,23261.
a b a b a b
==-⋅+=
（1）求向量a与b的夹角θ；
（2）若()1c ta t b =+-，且0b c ⋅=，求t 及c . 【答案】(1)
23
π. (2) 35T =
,63c =. 【解析】
分析：（1）要求向量a 与b 的夹角θ，根据夹角公式应先求cos a b
a b θ⋅=
⋅。

由已知4,3a b ==，可求得12a b ⋅=。

将()()
23261.a b a b -⋅+=展开变形可得6a b ⋅=-。

进
而可得1cos ,2a b a b θ⋅=
=-⋅根据夹角的范围可求得23
π
θ=。

（2）已知向量a 与b 的模及夹角，故将()1c ta t b =+-代入0b c ⋅=，可得()2
11590,b c ta b t b t ⋅=⋅+-=-+=。

进而
解得35t =。

进而可得()321=55c ta t b a b =+-+。

所以2
232,5
5c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭展开可得2
2
32108,5525c a b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
进而可得63c =。

详解：（1）因为()()
23261a b a b -⋅+=， 所以2
2
4|43|61a a b b -⋅-=。

因为4,3,a b ==，所以6,a b ⋅=- 所以61
cos ?,122
a b a b θ⋅-=
==-⋅ 因为(0,)θπ∈，所以23
π
θ=。

（2）因为()1c ta t b =+-，且0b c ⋅=，
所以()()2
16911590b c ta b t b t t t ⋅=⋅+-=-+-=+=,
解得35
t =。

所以()32
1=
55
c ta t b a b =+-+，
所以2
2223291249124108||()16(6)95525252525252525
c a b a a b b =+
=+⋅+=⨯+⨯-+⨯= 所以63.5
c =
点睛：本题考查向量的夹角、数量积、模等知识。

()()1122,,,a x y b x y ==
⑴求向量的夹角的方法：12122222
1
1
22
cos a b
a b
x y
x y θ⋅=
=++。

⑵求向量的模：22211a a x y =
=+
19.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲，若点Q 在矩形区城ABCD 内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败，已知18AB =米，E 为AB 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线远动方式行进.
（1）如图建系，求Q 的轨迹方程；
（2）记EP 与EB 的夹角为θ，[0,]θπ∈，如何设计AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功？
（3）若EP 与EB 的夹角为60，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度，才能挑战成功？
【答案】（1）22(12)36x y -+=；（2）6AD ≥；（3）25.7︒. 【解析】 【分析】
（1）先设(,)Q x y （0y ≥），由题意得到(0,0)A ，(9,0)E ，2=AQ EQ ，列出等量关系，化简整理，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，得到点Q 的轨迹是以(12,0)为圆心，以6为半径的上半圆在矩形区域
ABCD 内的部分，进而可得出结果；
（3）根据题意得到2=AQ EQ ，120∠=AEQ ，根据正弦定理求出sin ∠=QAE ，进而可求出结果.
【详解】（1）设(,)Q x y （0y ≥），由题意可得：(0,0)A ，(9,0)E ，
又机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线远动方式行进， 所以2=AQ EQ ，
=22
(12)36x y -+=（0y ≥）
； （2）由（1）知，点Q 的轨迹是以(12,0)为圆心，以6为半径的上半圆在矩形区域ABCD 内的部分，
所以当6AD ≥时，就能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使之挑战成功；
（3）由题意，在AEQ ∆中，2=AQ EQ ，120∠=AEQ ，
由正弦定理得：sin sin =∠∠EQ AQ
QAE AEQ
，
所以sin ∠=
QAE ，因此25.7∠=≈QAE ， 即应在矩形区域ABCD 内，按照与AB 方向夹角为25.7︒的方向释放机器人乙，才能挑战成功. 【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及三角形中的几何计算，熟记正弦定理，以及轨迹方程的求法即可，属于常考题型.
20.如图，已知直线1:0l kx y +=和直线2:0(0,0)l kx y b b k ++=>≥，射线OC 的一个法向量为3(,1)=-n k ，点O 为坐标原点，(4,2)P ，(4,4)Q --，点A 、B 分别是直线1l 、2l 上的动点，直线1l 和2l 之间的距离为2，1⊥PM l 于点M ，⊥PN OC 于点N ；
（1）若1k =，求OM ON +的值； （2）若||8PA PB +=，求PA PB ⋅的最大值；
（3）若0k =，2AB l ⊥，求||||||PA AB BQ ++的最小值. 【答案】（1）2（2）32；（3）452. 【解析】 【分析】
（1）先由1k =得到射线OC 的方程为：(0)y x x =≥，根据点到直线距离公式求出PN ，
PM ，由勾股定理求出ON ，OM ，进而可求出结果；
（2）根据题意，得到224(1)=+b k ，设(,)-A m km 、(,)--B n kn b ，得到(4,2)=---PA m km ，
(4,2)=----PB n kn b ，由||8PA PB +=，结合柯西不等式得到
22(8)(4)2(4)(4)2(2)(2)+-++++≥--++++m n km kn b m n km kn b ，进而可求出结果；
（3）先由题意，作出点P 关于直线1y =-的对称点(4,4)-M ，得到=PA BM ，设(,2)-B x ，
得到22
2(4)4(4)42++=++=++-+PA AB BQ BM BQ x x ，进而可求出结
果.
【详解】（1）因为1k =，所以3(1,1)=-n ，所以射线OC 的方程为：(0)y x x =≥； 所以4222
-=
=PN ，224225=+=OP 22
32=
-=ON OP PN
又直线1:0l x y +=，所以42322
+==PM ，所以22
2=
-=OM OP PM
，
因此42+=OM ON
（2）因为0,0≥>k b ，直线1l 和2l 之间的距离为2，所以2
21=+b k
，即224(1)=+b k ；
设(,)-A m km 、(,)--B n kn b ，因为(4,2)P ， 则(4,2)=---PA m km ，(4,2)=----PB n kn b ， 所以(8,4)+=+-----PA PB m n km kn b ，
又||8PA PB +=，所以22(8)(4)64+-++++=m n km kn b ，
因为22(8)(4)2(4)(4)2(2)(2)+-++++≥--++++m n km kn b m n km kn b ， 所以(4)(4)(2)(2)32⋅=--++++≤PA PB m n km kn b ， 故PA PB ⋅的最大值为32；
（3）因为0k =，所以1:0l y =，2:20+=l y ，如图所示：
作出点P 关于直线1y =-的对称点(4,4)-M ，则=PA BM ， 设(,2)-B x ，
所以22
2(4)4(4)42++=++=++-+PA AB BQ BM BQ x x ，
同理，可由对称性得：当且仅当B
(0,2)-时，+BM BQ 取得最小值22045=，
因此||||||PA AB BQ ++的最小值为452.
【点睛】本题主要考查向量在平面几何中的应用，以及直线的综合应用，熟记向量数量积运算，模的计算公式，柯西不等式，点到直线距离公式等即可，属于常考题型，难度较大. 21.已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .
（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；
（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{|(,)1}D P d P l =≤所表示的图形的面积为多少？
（3）求到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}C P d P l d P l ==，并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中1l AB =，2l CD =，(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --.
【答案】（1）；（2）4π+；（3）21{(,)|0,0}{(,)|,0,01}{(,)|1,1}4
=≥=
≤≤≤=-->x y x y x y x y y x x y y x x . 【解析】
【分析】 （1）设(,3)-Q x x 是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，表示出
=PQ
（2）因为(,)1d P l ≤表示Q 在线段AB 上时，线段PQ 长度的最大值不超过1，由此得到点集所表示的图形是一个正方形和两个半圆组成，进而可求出其面积；
（3）根据题意，得到两直线方程，确定直线之间关系，进而可得出结果.
【详解】（1）设(,3)-Q x x 是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则
==PQ (35)≤≤x ，
因此，当3x =时，min (,)==d P l PQ （2）由题意，设l 的端点为A B 、，
以AB 所在直线为x 轴，以AB 垂直平分线所在直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，
则点的集合{|(,)1}D P d P l =≤由如下曲线围成：
1:1(1)=≤l y x ；2:1(1)=-≤l y x ；221:(1)1(1)++=≤-C x y x ；
222:(1)1(1)-+=≥C x y x ，
其面积为：22214ππ=⨯+⨯=+S ；
（3）因为1l AB =，2l CD =，(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --，
所以1:1l x =；2:1l x =-；
因为到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}C P d P l d P l ==，根据两条直的方程可知，两条直线间的关系是平行，
所以得到两条线段距离相等的点是y 轴非负半轴，抛物线21(0,01)4
=≤≤≤x y y x ，直线1(1)y x x =-->，如图所示：
【点睛】本题主要考查直线方程的应用，直线与直线位置关系，熟记直线的方程，直线与直线位置关系，以及二次函数性质即可，属于常考题型.。