(A)教师资格认定考试高级中学数学-2

(A)教师资格认定考试高级中学数学-2
(总分：150.00，做题时间：90分钟)
一、{{B}}单项选择题{{/B}}(总题数：8，分数：40.00)
1.设正数a，b满足，则______。

A．0 B． C．1
（分数：5.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[解析] 由[*]，可得4+2a-b=4，即2a=b，故[*]，所以[*][*]。

2.已知定义域为R的函数f(x)在(8，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数，则______。

∙ A.f(6)＞f(7)
∙ B.f(6)＞f(9)
∙ C.f(7)＞f(9)
∙ D.f(7)＞f(10)
（分数：5.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[解析] y=f(x+8)为偶函数，则f(x+8)=f(-x+8)，即y=f(x)关于直线x=8对称。

又f(x)在(8，+∞)上为减函数，故在(-∞，8)上为增函数，检验知选D。

3.若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为______。

A． B． C． D
（分数：5.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[解析] [*]，即[*]，所以2a+b+c的最小值为[*]，故选D。

4.设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率
是______。

A． B． C． D
（分数：5.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[解析] 题目中层[*]表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此[*]，故选D。

5.设设有P2P1A=B，则P2等于______。

A． B．
C． D
（分数：5.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：[解析] P1A表示互换矩阵A的第一、二行，矩阵B表示矩阵A先互换第一、二行，然后将互换的矩阵的第一行乘以(-1)加到第三行，所以[*]，故选B。

6.设三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+cx+d f(x)的极大值点为______。

∙ A.0
∙ B.1
∙ C.-1
∙ D.2
（分数：5.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：[解析] 由题干[*]知
f(x+1)-f(x)=12x2+18x+1，即：3ax2+(3a+2b)x+(a+b+c)=12x2+18x+1
解方程组：[*]，可得a=4，b=3，c=-6，即有：f(x)=4x3+3x2-6x+d，从而可知：f′(x)=12x2+6x-6，f″(x)=24x+6，所以有稳定点[*]，x2=-1，由[*]，f″(-1)=-18＜0，可知函数f(x)的极大值点应为x=-1，故选C。

7.曲线和直线y=x及y=2所围成的图形的面积为______。

A．1 B． C．1-ln2 D
（分数：5.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[解析] 先做草图，求出曲线、直线间的交点的坐标[*]，B(2，2)，C(1，1)。

方法一：选取变量x 为积分变量，则由图可得三线所围的图形的面积为 [*] [*] 方法二：选取变量y为积分变量，则由图可得三线所围的网形的面积为 [*] 故选D。

8.《普通高中数学课程标准(实验)》设置了四个选修系列，其中选修系列2是为希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的，下列内容不属于选修系列2的是______。

∙ A.导数及其应用
∙ B.圆锥曲线与方程
∙ C.统计案例
∙ D.框图
（分数：5.00）
A.
B.
C.
D. √
解析：[解析] 《普通高中数学课程标准(实验)》中选修系列2由3个模块组成：选修2-1(常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何)、选修2-2(导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入)和选修2-3(计数原理、统计案例、概率)。

框图属于系列1选修1-2，故选D。

二、{{B}}简答题{{/B}}(总题数：5，分数：35.00)
9.已知数列{a n}的前n项和是S n，且2S n+a n=1(n∈N*)。

(1)求证：数列{a n}是等比数列；
(2)记b n=10+log9a n，求{b n}的前n项和T n的最大值及相应的n值。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：((1)2S n+a n=1，2S n-1+a n-1=1(n≥2，n∈N*)，相减得3a n=a n-1，又2S1+a1=1得[*]则a n≠0，[*][*]，数列{a n}是等比数列。

(2)由(1)知数列{a n}是等比数列，[*]，当T n最大值时[*]有19≤n≤20，因n∈N*，则n=19或n=20，故[*]。

) 解析：
10.⊙O的直径AB与弦CD相较于E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相较于点F。

(1)求证：CD∥BF；
(2)连接BC，若⊙O的半径为4，求线段AD、CD的长。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：((1)证明：BF是圆的切线，AB为圆的直径，所以有BF⊥AB，又AB⊥CD，所以CD∥BF。

(2)[*]，所以AD=6 [*])
解析：
11.a及方程组通解。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(因为此方程有非零解，故系数矩阵的行列式为零。

[*]
所以，a2=1，即a=±1。

(1)当a=1时，对此方程组的系数矩阵进行行变换
[*]
原方程组等价于[*]，即[*]。

取x2=1，得ζ1=(-2，1，1)T为方程组的基础解系。

则方程组的通解为X=kζ1=k(-2，1，1)T，k∈R。

(2)当a=-1时，[*]
原方程组等价于[*]。

取x2=1，得ζ2=(1，1，0)T为方程组的基础解系。

故通解为X=kζ2=k(1，1，0)T，k∈R。

)
解析：
12.高中数学课程是如何体现注重“双基”的？
（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：((1)强调概念、结论产生的背景。

新课程明确提出了要了解概念、结论产生的背景、应用，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，希望通过数学知识、数学结论的形成过程，更好地理解数学概念和结论的本质，在对数学本质的反复认识过程中，提高个体的数学素养。

(2)强调经历知识产生发展的过程。

强调对结论本质的认识，这是教育的一个发展和进步，有深刻的教育价值，
体现了学习者现实的学习过程、人的认识过程，也是对“双基”内涵更为丰富、更为深刻的认识和要求。

学生只有经历实实在在的数学活动的学习过程，才能比较自然地去想一些问题，去认识一些问题，去思考一些问题，经过同化、顺应等心理活动过程、心理变化过程，去理解概念和结论的本质，也才能内化为自己认知结构中的东西，仅仅通过模仿和记忆是不会有这个结果的。

(3)强调体会概念和结论中所蕴涵的数学思想方法。

对“双基”的发展还体现在学习某个概念和结论时，体会其中所蕴涵的数学思想方法，而且过一段时间后，进一步体会它们在后续学习中的作用。

)
解析：
13.简述两条以上传统的学生数学学习评价中存在的最主要问题。

（分数：7.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((1)评价过分强调甄别与选拔的功能，忽视激励与发展的功能。

(2)评价过分关注数学书面考试的结果，忽视对学生数学学习过程的评价。

(3)评价的主体单一，忽视了多方评价的价值。

(4)评价标准机械划一，忽略了学生个体的差异发展。

(5)评价内容片面，过于注重书面考试的分数，忽视对学生的数学综合素质的评价。

(6)评价方法单调，过于注重学业成绩的定量评价，忽视学生发展的定性评价。

(7)忽视评价结果的运用，使评价的激励、调控、教育、发展功能得不到充分发挥。

(8)学生基本处于被动地位，自尊心、自信心得不到保护。

)
解析：
三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：10.00)
14.设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f′(x)≥0，g′(x)≥0。

证明：对任何a∈[0，1]，
有
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设[*] 则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且F(x)=g(x)y′(x)-f′(x)g(1)=f′(x)[g(x)-g(1)] 由于x∈[0，1]，f′(x)≥0，g′(x)≥0，因此F′(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减。

注意到[*] 而[*] 故F(1)=0。

因此x∈[0，1]时，F(x)≥0，由此可得对任何a∈[0，1]，有 [*])
解析：
四、{{B}}论述题{{/B}}(总题数：1，分数：15.00)
15.以人为本的评价思想具体表现在哪些方面？结合你对这一问题的认识，谈谈具体做法。

（分数：15.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((1)以人为本的评价思想应具体表现在：要尊重个体差异，要关注学习困难的学生，允许暂时达不到目标的学生推迟测评。

(2)教学评价在于给学生找到并提供成功的支撑，使每个学生都获得成功的机会，每个学生都有自己的优势智能领域，教学评价在于让学生发现自己的优势领域，同时又认识到自己的不足，从而协调地发展自己，尽可能使自己在多方面得到发展。

以人为本，就是要关注个体的处境和需求，尊重和体现个体的差异，激发个体的主体精神，以促进个体最大限度地实现自身的价值。

(3)评价要以人为本，并不是说分数就可以取消。

(4)评价要以人为本，体现在对教师的课堂教学评价中，就是要尊重教师的个性．允许教师有独特的教学方式，倡导教师扬长避短，发挥某一方面的才能，而不是强迫教师接受某一教学模式。

)
解析：
五、{{B}}案例分析题{{/B}}(总题数：1，分数：20.00)
16.案例：阅读下列三位教师有关“正弦定理”的教学片段。

教师甲的教学过程：创设情境：
题1：在建设水口电站闽江桥时，需预先测量桥长AB，于是在江边选取一个测量点C，测得CB=435m，
∠CBA=88°，∠BCA=42°。

由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题？引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。

(设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。

) 师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？生：……，“大角对大边，
大边对大角”。

师：“”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？引出课题：“正弦定理”。

教师乙的教学过程：师：请同学们想一想，我们以前遇到解三角形的一般问题时，是怎样处理的？众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。

可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。

师：如果一般三角形具有某种边角关系，那么对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻
找一般三角形的各边及其对角之间的关系。

同学们可以参与小组共同研究。

(1)学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。

(2)展示学生研究的结果。

师：请说出你研究的结
论？生：。

师：你是怎样想出来的？生：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边C。

师：有没有其他的研究结论？(根据实际情况，引导学生分析判断结论正确与否．或留课后进一步深入研究。

) 师：
对一般三角形是否成立呢？众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结
论；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。

那么
对等边三角形是否成立呢？生：成立。

师：对任意三角形是否成立呢？现在让我们借助于《几何
画板》做一个数学实验．…… 师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。

边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。

结论：对于任意三角形都成立。

教师丙的教学过程：师：对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？之前的探索对我们有没有帮助？学生分组讨论，每组派一个代表总结。

(以下的证明过程，根据学生回答情况进行叙述) 生：思考
得出①在Rt△ABC中成立，如前面检验。

②在锐角三角形中，如图1设BC=a，CA=b，AB=c 作：AD⊥BC，
垂足为D 在Rt△ABD中，∴AD=AB·sinB=c·sinB 在Rt△ADC中，∴AD=AC·sinC=b·sinC
∴csinB=bsinC ∴同理，在△ABC中，∴③在钝角三角形中，如图2设∠C为钝角，
BC=a，CA=b，AB=c 作AD⊥BC交BC的延长线于D 在Rt△ABD中，∴AD=AB·sinB=c·sinB 在
Rt△ADC中，∴AD=AC·sin∠ACD=b·sin∠ACB ∴c·sinB=b·sin∠ACB ∴同锐角三角形证
明可知师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相。

问题： (1)分析三种教学过程的特点。

(2)说明正弦定理的教学过程中应该注意的问题。

（分数：20.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：((1)教师甲：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

教师乙：教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的
研究结沦作准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。

引导
学生的思维逐步形成“情境思考”—“提出问题”—“研究特例”—“归纳猜想”—“实验探究”—“理
论探究”—“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。

教师丙：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

(2)“解三角形”既是高
中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。

解三角形作
为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。

“正弦定理”作
为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过
对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，解决简单的三角形度量问题。

教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。

) 解析：
六、{{B}}教学设计题{{/B}}(总题数：1，分数：30.00)
17.高中“随机抽样”设定的教学目标如下：①通过对具体的案例分析，逐步学会从现实生活中提出具有一定价值的统计问题：②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性：③以问题链的形式深刻理解样本的代表性。

完成下列任务： (1)根据教学目标①，设计至少两个问题，并说明设计意图：(2)根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图： (3)根据教学目标③，设计问题链(至少包含两个问题)，并说明设计意图；(4)相对义务教育阶段的统计教学，本节课的教学重点是什么？(5)作为高中阶段的起始课，其难点是什么？ (6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？
（分数：30.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((1)问题①：请同学们看章头图中的有关沙漠化和缺水量的数据，你有什么感受？
设计意图：通过一些数据让学生充分感受我们生活在一个数字化时代，要学会与数据打交道，养成对数据产生的背景进行思考的习惯。

问题②：我发现我们班级有很多的同学都是戴眼镜的，谁能告诉我我们班的近视率？
设计意图：通过与学生比较贴近的案例入手，让学生体会到统计是从日常生活中产生的。

(2)实例①：在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员做了一次民意测验，调查兰顿(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(当时的总统)中谁将当选下一届总统。

为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车量登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有)。

通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎，于是杂志预测兰顿将在选举中获胜。

实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜，其数据如下：
候选人预测结果% 选举结果%
罗斯福43 62
兰顿57 38
问题：你认为预测结果出错的原因是什么？
设计意图：通过案例让学生体会到：在抽样调查中，样本的选择是至关重要的，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性。

实例②：如果要调查下面这几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查？你们对于普查和抽样调查是怎么看的？普查一定好吗？请举例。

a．了解全班同学每周的体育锻炼时间：
b．调查市场上某个品牌牛奶的含钙量：
c．了解一批日光灯的使用寿命。

普查抽样调查
需要大量的人力、物力和财力节省人力、物力和财力
不能用于带有破坏性的检查可以用于带有破坏性的检查
在操作正确的情况下，能得到准确结果结果与实际情况之间有误差
设计意图：通过普查和抽样调查的比较，使学生感受抽样调查的必要性和重要性。

(3)问题①：如果我们想了解晋中市高一学生的近视率，你认为该怎么做呢？
问题②：我们是否可以用晋中市高一年级学生的近视率来估计山西省高中生的近视率？为什么？
设计意图：通过进一步的追问，加深学生对样本代表性的理解。

让学生进一步的认识到：在多背景下的抽样会产生偏差，以及样本的随机性与样本大小在产生有代表性的样本中的作用，同时对后面的内容进行简单介绍。

(4)本节课是高中阶段学习统计学的第一节课，统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。

学生在九年义务阶段已经学习了收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法。

在高中学习统计的过程中还将逐步让学生体会确定性思维与统计思维的差异，注意到统计结果的随机性特征，统计推断是有可能错的，这是由统计本身的性质所决定的。

统计有两种，一种是把所有个体的信息都收集起来，然后进行描述，这种统计方法称为描述性统计，例如我国进行的人口普查。

但是在很
多情况下我们无法采用描述性统计对所有的个体进行调查，通常是在总体中抽取一定的样本为代表，从样本的信息来推断总体的特征，这称为推断性统计。

例如有的产品数量非常的大或者有的产品的质量检查是破坏性的。

统计和概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。

抽样调查是我们收集数据的一种重要途径，是一种重要的、科学的非全面调查方法。

它根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干单位组成的事物总体中．抽取部分样本单位来进行调查、观察，用所得到的调查标志的数据来推断总体。

其中蕴涵了重要的统计思想——样本估计总体。

而样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则为：保证样本能够很好地代表总体。

而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑。

相对于义务教育阶段的统计教学，本节课的重点是：能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题，理解随机抽样的必要性与重要性。

(5)教学难点是：如何使学生真正理解样本的抽取是随机的，随机抽取的样本将能够代表总体。

(6)本节课主要内容是让学生了解在客观世界中要认识客观现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来认识此现象。

如何取得有代表性的观测资料并能够正确的加以分析，是正确的认识未知现象的基础，也是统计所研究的基本问题。

本节课的内容对接下来学习基本的获取样本数据的方法，以及几种从样本数据中提取信息的统计方法(包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归)等内容有直接影响。

)
解析：。