三元一次方程组解法

三元一次方程组解法

初中学生在用消元法解三元一次方程组时，因为未知数相对较多，常常陷入无法将方程专化成二元方程组或一元方程的困境。消元过程成了斩不断理还乱的局面。造成这种情况的原因，主要是方法没有掌握。这篇文章将通过具体例题的分析和解答，分析总结具体方法。

解三元一次方程组的基本思想是化归思想，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程或一元一次方程。

一、含二元一次方程的三元一次方程的解法

这类方程一般有两种做法，一是方程组中某个二元一次方程不动，另两方程结合消去此方程中不含有的未知数，可以得到一个二元方程，将新方程与不动的方程联立，可以得到一个二次方程组。这种方法可简称“不动法”。

例解方程组x﹢y+z=26 ○1

2x+y-z=18 ○2

x -z=1 ○3

分析：○3中不含y，可将○1○2结合，消去y，可得关于x、z 方程,把这个方程与○3结合，可以得一个二元一次方程组，先求出x、z，再求y 。

解：由○2-○1得：x-2z=-8 ○4

由○3○4联立得：x-2z=-8

x-z=1

解这个方程组得: x=10

z=9

将x=10 代入○1得:10+y+9=26 ∴x=10

z=9 y=7 y=7 z=9

二是将二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，分别代入另外两个方程中去，就可以得到两个方程，将这两个方程联立可以得到一个二元一次方程组。这个方法可简称为“动法”。下面用这种方法将上面方程再解一次。

解：由○3得：x=z+1 ○4

将○4代入得：(z+1)+y+z=26

y+2z=25○5

将○4代入得:2(z+1)+y-z=18

y+z=16 ○6

由○5○6联立得：y+2z=25

y+z=16

解得：z=9

y=7 x=10

将代入得：x=10 ∴y=7

z=9

二、全由三元一次方程构成的三元一次方程组

这类方程的一般解法是连续两次消去同一个未知数，把两次消元得到的方程联立成方程组，解这个方程组，就可以得到两个未知数的值，然后再求另一个未知数的值。

例解方程组3x+y-4z=13○1

5x-y+3z=5 ○2

x+y- z=3 ○3

分析：y系数较简单，可以连续两次消去y.

解：由○1+○2得：8x-z=18 ○4

由○2+○3得：6x+2z=8 3x+z=4 ○5

由○4○5联立，可得方程组8x-z=18 解得：x=2

3x+z=4

z=-2

将x=2 代入得:2+y-(-2)=3 y=-1

z=-2

x=2

∴y=-1

z=-2

三、含有比例的三元一次方程组

这类方程组，我们经常设比值为某个未知数，然后将原方程组中各个未知数都用这个比值未知数表示出来，可以得到一个关于这个比

值未知数的一元一次方程，求出这个比值未知数，再进一步求原方程组中的未知数。

例解方程组x：y：z=3：4：5 ○`1

x+ y+ z=36 ○2

解：设x=3k y=4k z=5k代入○2得:

3k+4k+5k=36

k=3

x=9

∴y=12

z=15

注意：x：y：z=3：4：5 等价于=

例解方程组x：y=5：3 ○1

x：z=7：3 ○2

2x-y-z=34 ○3

解：由○1设x=5k y=3k 把x=5k代入○2得：

5k：z=7：3 z= k

把x=5k y=3k z= k代入○3 得：k=7

x=35

y=21

z=15

四其它情况

例解方程组x+y=7 ○1

y+z=8 ○2

z+x=13 ○3

分析：如果三式相加，得到的方程三个未知数的系数相同，用它分别与原方程组中各方程相减，就可以求出各个未知数的值。这种方法称为整体法。

解由得：2x+2y+2z=28 x+y+z=14○4

由○4-○1得：z=7

由○4-○2得：x=6

由○4-○3得：y=1

x=6

y=1

z=7

例解方程组○1

x+ y+ z=36 ○2

分析：此题利用等比性质求解较易。

解由○1可设：○3

由等比性质得：2x+2y+2z=9k

x+y+ z= k ○4

把○4代入○3得：k=8 把k=8代入○3得：x+y=16

y+z=24

z+x=32利用上例的解法，可得：x=12

y=4

z=20