2017-2018学年宁夏育才中学学益校区高二12月月考数学(理)试题

2017-2018 学年度第一学期学益学区学校第二次月考卷
一、选择题（每题
5 分，共 60 分）
1. 给出以下四个命题 : ①若“ p ∨ q ”为真命题 , 则 p,q 均为真命题；②“若
a>b, 则 2a >2b -1 ”的
否命题为“若 a ≤ b, 则 2a ≤ 2b -1 ”；③“ ? x ∈R,x 2+x ≥ 1”的否认是“ ? x 0∈ R,
+x 0≤ 1”；④
“ x>0”是“ x+ ≥ 2”的充要条件。

此中不正确的命题是 ( )
A. ①②
B.
②③
C.
①③
D.
③④
2．以下图，空间四边形
OABC 中，
，点 M 在 OA 上，且 OM ＝ 2MA ，N
为 BC 中点，则 等于 (
)
1 2 1
2 1 1 1 1 1
2 2 1
A. 2a － 3b ＋ 2c B ．－ 3a ＋2b ＋ 2c C. 2a ＋2b － 2c D ．－ 3a ＋ 3b － 2c
x 2 y 2
3．已知椭圆 a 2＋ 25＝ 1(a>5) 的两个焦点为
F 1、F 2，且 |F 1F 2| ＝8，弦 AB 经过焦点 F 1，则△
ABF 的周长为 (
)
2
A ．10
B ．20
C ．2 41
D ．4 41 4．已知方程
x 2 y
2
1的图像是双曲线，那么 k 的取值范围是 ( )
2
k k
1
A ． k 1
B
． k 2
C ． k 1或 k 2
D ． 1 k 2
5．设抛物线的极点在原点，准线方程为 x ＝－ 2，则抛物线的方程是 ( ) ．
A ． y 2＝－ 8x
B
． y 2＝ 8xC ． y 2＝－ 4x
D
．y 2＝ 4x
6．椭圆 x 2＋ my 2＝ 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则
m 的值是 (
)
1
1
A. 4
B. 2
C
． 2
D
． 4
x 2 y 2
2
1
2
2
2，则此椭圆
7．设椭圆 m ＋ n ＝ 1 (m>0， n>0) 的右焦点与抛物线 y ＝ 8x 的焦点同样，离心率为 的方程为 ( )
x 2
y 2
x 2 y 2
x 2 y 2
x 2
y 2
A. 12＋ 16＝ 1
B.
16＋ 12＝1 C.
48＋ 64＝ 1
D.
64＋
48＝ 1
x 2
y 2
y ＝ 3x ，它的一个焦点在抛物线y 2
8．已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a>0 ，b>0) 的一条渐近线方程是 ＝ 24x 的准线上，则双曲线的方程为 (
)
x 2 y 2
x 2 y 2
x 2
y 2
x 2
y 2
A. 36－ 108＝ 1
B. 9 － 27＝1
C.
108－ 36＝ 1 D.
27－ 9＝1
9．设 F 1， F 2 是双曲线 x 2
y 2 1的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且
3|PF 1| ＝4|PF 2| ，则
24
△PF F 的面积等于 (
) ．
1 2
A ．4 2
B ．83
C ．24
D
． 48
x 2
y 2
2
2
10．设椭圆 C ：a
＋b ＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F 、F 、P 是 C 上的点， PF ⊥F F ，∠ PFF
1 2 2 1 2 1 2
＝30°，则椭圆 C 的离心率为 (
)
3
1 3
1
A. 6
B
．3
C. 3
D
．2
11．以椭圆
x 2
y 2 =1内的点 M(1,1) 为中点的弦所在直线的方程为 (
) ．
16
4
A ． 4x －y － 3＝ 0
B ．x － 4y ＋ 3＝ 0 C
． 4x ＋y － 5＝ 0
D ． x ＋ 4y － 5＝ 0 12．抛物线 y ＝ x 2 上到直线 2x － y ＝ 4 距离近来的点的坐标是
(
)B
3
5
3 9
A. 2，4
B ． (1,1) C.
2，4D ． (2,4)
二、填空题（每题
5 分，共 20 分）
13. 命题“存在
. 抛物线 x 2
2py( p
0) 的焦点
x >-1, +x -2016>0 ”的否认是
为 F ， 其 准 线 与 双 曲 线 x 2
y 2
1订交于 A,B 两点，若
ABF
为等边三角形，则
p .
15．给出以下四个命题：①方程x 2＋ y 2－2x ＋ 1＝0
x 2 y 2
表示的图形是圆；②椭圆
3＋ 2＝1 的离心
5 ；③抛物线 x ＝ 2y 2
的准线方程是 x ＝－ 1 y 2 x 2
率 e ＝
3；④双曲线 49 － ＝－ 1 的渐近线方程是 y
8 25
5
＝± 7x. 此中不正确的选项是 ________． ( 填序号 )
16．给出四个命题：
①若 l 1∥ l 2，则 l 1， l 2 与平面 α 所成的角相等；
②若 l 1， l 2 与平面 α 所成的角相等，则
l 1∥ l 2；
③ l 1 与平面 α 所成的角为 30°， l 2⊥ l 1，则 l 2 与平面 α 所成的角为 60°；④两条异面直线与同一平面所成的角不会相等．
以上命题正确的选项是 ________．
三、解答题（第 17 题 10 分， 18 至 22 题每题 12 分）
17. 已知 p:-2 ≤ 1-
≤ 2,q:x 2-2x+1-m 2≤ 0(m>0), 且 p 是 q 的必需不充足条件
, 务实数
m
的
取值范围 .
x 2
y 2
18．已知点 M 在椭圆 36＋ 9 ＝ 1 上， MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 P ′，而且 M 为
线段 PP ′的中点，求 P 点的轨迹方程．
2 2
19．以下图， F ，F 分别为椭圆
x
y ＝ 1(a ＞b ＞ 0)
A ，
B 为两个顶
2 2 的左、右两个焦点，
C ：a
＋ b
1
2
C 上的点 1， 3 4.
2 1
2
点，已知椭圆
到 F ，F 两点的距离之和为
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 过椭圆 C 的焦点 F 2 作 AB 的平行线交椭圆于 P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积．
20. 直三棱柱 ABC － A ′ B ′C ′中， AC ＝ BC ＝ AA ′，∠ ACB ＝90°， D 、E 分别为 AB 、BB ′的中点．
(1) 求证： CE ⊥ A ′ D ；
(2) 求异面直线 CE 与 AC ′所成角的余弦值．
2 2
x y
21．已知 F1， F2分别为椭圆100＋b2＝ 1(0 ＜ b＜ 10) 的左、右焦点，P 是椭圆上一点．
(1)求 PF1·PF2的最大值；
643
(2) 若∠ F1PF2＝60°，且△ F1PF2的面积为3，求b的值．
22．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在座标轴上，离心率为2，且过点P(4 ，－10) ．(1)求双曲线的方程；
(2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证：→ →
MF1· MF2＝ 0；
(3)求△ F1MF2的面积．
选择题答案
CBDCB ABBCC DB
填空题
13. 对随意 x>-1,x 2+x-2016 ≤ 0 14.
2 3
15. ①②④
16. ① 解答题
17. 【分析】由 x 2-2x+1-m 2≤0, 得 1-m ≤ x ≤ 1+m, 因此 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}.
由 -2 ≤1-≤ 2, 得 -2 ≤x ≤ 10.
因此 p:B={x|x>10 或 x<-2},
由于 p 是 q 的必需不充足条件 ,
因此 A
B,因此
2
2
2
x y
x 0
18.
解 设 P 点的坐标为 (x ，y) ，M 点的坐标为 (x 0，y 0) ．∵点 M 在椭圆 36＋ 9 ＝ 1 上，∴ 36＋
y 20
9＝1.
∵M 是线段 PP ′的中点，
x 0＝ x ，
x 0＝x
2
2
x 0
y 0
∴ y
把
y
代入 36＋ 9 ＝ 1，
y 0＝ 2， y 0＝2
x 2
y 2
得 36＋ 36＝ 1，即 x 2＋ y 2＝ 36.
∴P 点的轨迹方程为 x 2＋y 2＝ 36.
19. 解： (1) 由题设知， 2a ＝ 4，即 a ＝ 2，
3 2 3
1
2
＝ 1，解得 b 2＝ 3，
将点 1， 2 代入椭圆方程得
22＋ b 2
x 2
y 2
故椭圆方程为 4 ＋ 3 ＝ 1.
(2) 由(1) 知 A(－2，0)，B(0， 3) ，
3
因此 k PQ＝ k AB＝2，因此 PQ所在直线方程为
3
y＝2 (x － 1) ，
3
y＝2（ x－ 1），
由x2y2得 8y2＋ 4 3y－ 9＝ 0，4＋3＝1，
3设 P(x 1， y1) ， Q(x2， y2) ，则 y1＋y2＝－2，9
y1· y2＝－8，
因此 |y 1－ y2| ＝（ y1＋ y2）2－ 4y1y2＝3921 4＋4×8＝2，
112121
因此 S△ F1PQ＝2|F 1F2| · |y 1－y2 | ＝2× 2×2＝2 .
20.【分析】 (1) 证明：设＝ a，＝ b，＝ c，依据题意， |a|＝ |b| ＝ |c| 且 a·b＝b·c ＝c·a＝ 0，
∴＝b＋c，＝－ c＋ b－ a. ∴·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即 CE ⊥A′D.
(2)＝－ a＋ c，∴ || ＝|a| ，|| ＝|a|.·＝ ( － a＋c) ·
＝c2＝ |a| 2，
∴ cos 〈，〉＝＝.
即异面直线 CE与 AC′所成角的余弦值为.
21. 【解】 (1)PF 1·PF2≤PF1＋ PF2
2＝ 100( 当且仅当 PF1＝ PF2时取等号 ) ，2
∴PF1·PF2的最大值为 100.
1643 (2)S △ F1PF2＝2PF1·PF2sin 60 °＝3，
256
∴P F1·PF2＝3，①
由题意知：
222
PF1＋ PF2＋ 2PF1·PF2＝ 4a ，
222
°，
PF1＋PF2－ 4c ＝ 2PF1·PF2cos 60
∴3PF1·PF2＝ 400－ 4c2. ②
由①②得 c＝6，∴ b＝8.
22.【解】 (1) ∵ e＝ 2，∴可设
双曲线方程为 x2－y2＝λ .
∵过点 P(4 ，－10) ，
∴16－ 10＝λ ，即λ＝ 6.
22
(2)法一由(1) 可知，双曲线中 a＝ b＝ 6，∴c＝2 3，
∴F1( － 2 3， 0) ， F2(23，0) ，
m m
∴k MF1＝3＋2 3， kMF2＝3－2 3，
2m
2 m
kMF1·kMF2＝9－12＝－3 .
∵点 (3 ， m)在双曲线上，
2 2
∴9－ m＝ 6， m＝ 3，
故 kMF1·kMF2＝－ 1，∴ MF1⊥ MF2.
→1→2
∴MF· MF＝ 0.
法二→→3－ 3，－ m)，
∵ MF＝( －23－ 3，－ m)， MF＝ (2
12
→→
22
∴MF· MF＝ (3 ＋ 23) ×(3 － 2 3) ＋ m＝－ 3＋ m，
12
∵M点在双曲线上，
22
∴9－ m＝6，即 m－ 3＝ 0，
→→
∴MF1· MF2＝ 0.
(3) △ F1MF2的底边 |F 1F2| ＝ 4 3，
△F1MF2的高 h＝ |m| ＝ 3，
∴S△ F1MF2＝ 6.。