集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语
1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性： 确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：
N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．
(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A
B 或B A .
A
B ⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
A ⊆
B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中至少存在一个元素
不属于A .
(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .
两集合相等：A ＝B ⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
A ⊆
B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一
个元素也符合A 中元素的特性．
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.
0，{0}，∅，{∅}之间的关系：∅≠{∅}，∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}． 3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.
[常用结论]
(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.
(4)补集的性质：A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.
(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．
(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
[基础自测]
一、走进教材
1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 020}，a＝22，则()
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．
二、走出误区
常见误区：①忽视集合的互异性致误；②分类讨论不全面导致漏解；③忽视区间端点值．
3．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.
4．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
考点一集合的基本概念[基础自学过关]
[题组练透]
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数
为( )
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2
D ．－2
3．已知集合A ＝{x ∈N |1<x <log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( )
A ．(8，＋∞)
B ．[8，＋∞)
C ．(16，＋∞)
D ．[16，＋∞)
4．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．
[解题技法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
考点二 集合的基本关系 [师生共研过关]
[例1] (1)(2018·河北唐山第一次模拟)设集合M ＝{x |x 2－x ＞0}，N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
1x
＜1，则( )
A ．M
N
B ．N
M
C ．M ＝N
D ．M ∪N ＝R
(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．
[对点变式]
1.(变条件)在本例(2)中，若“B ⊆A ”变为“B
A ”，其他条件不变，如何求解？
2.(变条件)在本例(2)中，若“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，如何求解？
[解题技法]
1．集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
2．根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
[跟踪训练]
1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P
2．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0,3a－1]，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
考点三集合的基本运算[师生共研过关]
[例2](1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N ＝()
A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}
C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}
(2)(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1，0,1}，则(∁
A)∩B＝()
U
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
(3)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是()
A．(－4,3) B．[－3,4]
C．(－3,4) D．(－∞，4]
[解题技法]
集合基本运算的方法技巧
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
[跟踪训练]
1．(2019·河南许昌、洛阳三模)已知集合A＝{x|y＝－x2＋1}，B＝(0,1)，则A∩B＝() A．(0,1)B．(0,1]
C．(－1,1) D．[－1,1]
2．(2019·江西南昌外国语学校适应性测试)已知集合M＝{x|0＜x＜5}，N＝{x|m＜x＜6}，若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m＋n等于()
A．9 B．8
C．7 D．6
3．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是()
A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)≠∅
C．M∩N＝U D．M⊆(∁U N)
4．若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(∁R A)∪B＝________.
考点四集合的新定义问题[师生共研过关]
[例3](1)(2019·河南南阳第一中学第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x ∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为() A．1 B．0
C．－1 D．sin α＋cos α
(2)(2020·河北保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝()
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0≤x＜2}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜1}
[解题技法]
解决集合新定义问题的2个策略
[跟踪训练]
1．定义集合的商集运算为A B ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B
A ∪
B 中的元素个数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；
③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．。