八年级四边形经典提高题(106题)

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八年级几何综合题
（一）（2008学年静安区八下末）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC ，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC ． （1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；
（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
（二）（2008学年静安区八下末）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF ∥AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，∠EPF=90°，PE=PF ，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE=x ，MN=y ． （1）求边AD 的长；
（2）如图，当点P 在梯形ABCD 部时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．
（三）（2008学年徐汇区八下末）如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE =CG ，AH =CF ．
求证：四边形EFGH 是平行四边形；
（四）（2008学年徐汇区八下末）如图，在△ABC 中，AB =BC ，BD 是中线，过点D 作DE ∥BC ，过点A 作AE ∥
BD ，AE 与DE 交于点E ．
求证：四边形ADBE 是矩形．
F H D A
E
A
D
B
C
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（五）（2008学年徐汇区八下末）如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC =5．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F ．在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的最小度数．
（六）（2008学年徐汇区八下末）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC 的面积；
（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式；
（3）当∆OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）
（七）（2008学年金山区八下末）如图，四边形A BC D ，AB∥DC，55B ∠=°，185∠=°， 240∠=° （1）求∠D 的度数；
O
F E
D C
B
A
O
A
B
C
P
x
y
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（2）求证：四边形A BC D 是平行四边形．
（八）（2008学年金山区八下末）如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB=DC ，AD∥BC，
AD=2，点P 为梯形部一点，若PB=PC ，且PA⊥PD． （1）求证：PA=PD ； （2）求PA 的长.
（九）（2008学年金山区八下末）如图，已知在矩形ABCD 中，AB=3，点E 在BC 上且∠BAE =30°，延长BC 到点F 使CF ＝BE ，连结DF ．
（1）判断四边形AEFD 的形状，并说明理由； （2）求DF 的长度；
（3）若四边形AEFD 是菱形，求菱形AEFD 的面积．
（十）（2008学年奉贤区八下末）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（4分）
（2）AC = 2DG ．（4分）
A C
B
F
D
E G
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（十一）（2008学年奉贤区八下末）边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动
点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）
⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式与自变量x 的取值围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；
如果不能，请简单说明理由。

（2分）
（十二）（2008学年嘉定区八下末） 如图1，点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，四边形OCDE 是平行四边形.求证：OE 与AD 互相平分.
A
B
C
D
O
E
图1
D C B A
E
F
P。

O
D
C
B
A 备用图
O 。

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（十三）（2008学年嘉定区八下末）已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点（如图2）.
求证：（1）MN ∥BC ；
（2）)(2
1
AD BC MN -=.
（十四）（2008学年嘉定区八下末）已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，联结BP 、DP . （1）若将AD 顺时针旋转︒30至AP ，如图3所示，求BPD ∠的度数. （2）若将AD 顺时针旋转α度)900(︒<<︒α至AP ，求BPD ∠的度数.
（3）若将AD 逆时针旋转α度)1800(︒<<︒α至AP ，请分别求出︒<<︒900α、︒=90α、︒<<︒18090α三种情况下的BPD ∠的度数（图4、图5、图6）.
A
B
C
D
M N
图2
A
B
C
D
P
图3
A
B
C
D
P
M
图4
A
C
D
P
B
图5
A
B
C
D
P
图6
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O
F
E
D
C
B A
O
G
E D
C
B
A
（十五）（2008学年浦东新区八下末）如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AC BE ⊥，BD CF ⊥，垂足分别是E 、F ．
求证：CF BE =．
（十六）（2008学年浦东新区八下末）如图，点O 是⊿ABC 任意一点， G 、D 、E 分别为AC 、OA 、OB 的中点，F 为
BC 上一动点，问四边形GDEF 能否为平行四边形？若可以，指出F 点位置并且证明。

（十七）（2008学年浦东新区八下末）在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，
cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移
动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2
）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；
（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．
C
B
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（十八）（2007学年青浦区八下末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，已知AB=13cm ，AC=24cm 。

（1） 求：菱形ABCD 的面积；
（2） 如过点D 作BC DE ⊥，垂足为E ，求DE 的长
（十九）（2007学年青浦区八下末）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，BC=3AD ，M 、N 为底边BC 的三等分点，联结AM ，DN 。

（1） 求证：四边形AMND 是平行四边形；
（2） 联结BD 、AC ，AM 与对角线BD 交于点G ，DN 与对角线AC 交于点H ，且BD AC ⊥。

试判断四边形AGHD
的形状，并证明你的结论。

（二十）（2008学年松江区八下末）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ,E 、F 分别是两腰的中点，联接AF ,
过点E 作EG ∥AF ,交BC 于点G ,联结FG . 求证：四边形AEGF 是平行四边形.
（二十一）（2008学年松江区八下末）如图，已知正方形ABCD 边长为4，对角线AC 、BD 交于O 点，E 、F 分别是边AB 、BC 上两点（与A 、B 、C 不重合），且OE ⊥OF .
(1)求证：BE=CF ;
N
M
G C
F
D
B E
A
D
C F
(2)若
求BE的长．
（二十二）（2008学年浦区八下末）如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD BC
∥，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．
求证：四边形MENF是菱形；
（二十三）（2008学年松江区八下末）如图1，A、B 是直线a 上的两个定点，点C、D在直线b 上运动（点C
在点D 的左侧），AB=CD=4cm. 已知 a // b, a、b
．连接AC, BD, BC，把△ABC沿BC折叠得
△A1 BC．
(1) 当A1、D两点重合时，则AC= cm.；（直接写出结果）
(2) 如图2，若A1落在直线b 的上方，连接A1 D , 探究A1D 与BC的位置关系，并说明理由；
(3) 若A1落在直线b 的下方，且以点A1、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求AC的长．
(4) 若A1落在直线b的上方，且以点A1、B 、C 、D为顶点的四边形是矩形，则AC=cm. ．（直接写出
结果）
D
C
B
A b a
图1
A1
D
C
B
A
b
a
图2
A
B
E
M
N
F
C
D
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（二十四）（2008学年浦区八下末）已知：梯形ABCD 中，AB//CD ，BC ⊥AB ，AB =AD ，联结BD （如图1）．点P 沿梯形的边,从点A B C D A →→→→移动，设点P 移动的距离为x ，BP =y . （1） 求证：∠A =2∠CBD ；
（2） 当点P 从点A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示．试求CD 的长； （3） 在（2）的情况下，点P 从点A B C D A →→→→移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰三角形？若能，
请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的取值；若不能，请说明理由．
（二十五）（2009学年奉贤区八下末）如图，已知△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和 ∠BAC 外角的平分线，BE ⊥AE ．
求证： AB=DE ．
（二十六）（2009学年奉贤区八下末）如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =AB =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE 交于点P 。

（1）求证：AF=BE ；（4分） （2）请猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论。

（4分）
A
B
C D （图1）
（图2）
x
A B
C D E
F
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（二十七）（2009学年奉贤区八下末）已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.
（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；
（二十八）（2012学年东陆中学八下暑假作业）如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，DC ⊥BC,沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 上，记为E,如果AD=4,BC=6,求EB 的长。

AD E BC
（二十九）（2012学年东陆中学八下暑假作业）（1）边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AEFG,两图叠成一个“蝶形风筝”（如下图阴影部分），求风筝的面积。

AB E F DC
G
（2
）如图，梯形ABCD 的两底长AD=6,BC=10,EF 为中位线，而且∠B=90°
如果P 为AB 上一点，而且PE 将梯形ABCD 分成面积相等的两区域，则⊿EFP 与梯形ABCD 的面积比是多少。

AB EF
D D C A B E
F H G
Ｐ DC
（三十）（2013年中考）如图8，在△ABC 中，0
=90ABC ∠，B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC ∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；
（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：B A ∠=∠+∠．
（三十一）（2009学年闵行区八下末）如图，在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除
外），联结DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线，垂足为点E 、F ． （1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？
请证明你的结论；
（2）当点P 在边BC 上时，正方形的边长为2．设CE = x ，AF = y ．
求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当x = 1时，求EF 的长．
（三十二）（2009学年松江区八下末）如图,平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别是∠DAB 、∠CBA 的角平分线，AE 、BF 交于O 点，与DC 分别交于E 、 F 两点(1) 求证：DF =CE ；(2) M 为边AB 上不与端点重合的任意一点，过M 作MN ∥BF , 交AE 于点N ，MG ∥AE 交BF 于点G ，求证：四边形MNOG 是矩形．
（三十三）（2009学年松江区八下末）在一长8cm 、宽4cm 的矩形纸片，要折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH (见方案一)，记菱形EFGH 的面积为S 1；乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF (见方案二), 记菱形AECF 的面积为S 2，请你通过计算，比较S 1与S 2的大小？
D
C
B
A
（备用图）
D C
B
A
E
F
P
M
A
D
C
F B
E G
O
N E D
A
图8
O
E
D
C
B A
（三十四）（2009学年松江区八下末）直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD=CD =4，∠B ＝45°，点E 为直线DC 上一点，联接AE ，作EF ⊥AE 交直线CB 于点F ． （1）若点E 为线段DC 上一点（与点D 、C 不重合），（如图1所示），
① 求证：∠DAE ＝∠CEF ；② 求证：AE=EF ； （2）联接AF ，若△AEF 的面积为2
17
，求线段CE 的长(直接写出结果，不需要过程)．
（三十五）（2009学年浦东新区八下末）已知：如图，在ABC ∆中，AC BD ⊥，AB CE ⊥, 垂足分别为D 、E ，BD 与CE 相交于点O ，且CE BD =．求证：OC OB =．
（三十六）（2009学年浦东新区八下末）如下图，在Rt ABC △中，9030C A ∠=∠=°，°． （1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
（2）在已作的图形中，若l 分别交AB AC 、与BC 的延长线于点D E F 、、，
连
接
BE ．
求证：2EF DE =．
Ｂ Ａ
Ｃ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ A
P
N
M C
B
A
（三十七）（2009学年浦东新区八下末）已知：如图，在ABC ∆中，4,90==︒=∠BC AC C ，点M 是边AC 上一动点（与点A 、Ｃ不重合），点N 在边CB 的延长线上，且BN AM =，联结MN 交边AB 于点P ．
（1）求证：NP MP =；（2）若设y BP x AM ==,，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当BPN ∆是等腰三角形时，求AM 的长．
（三十八）（2010学年普陀区八下末）如图，在ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =. 求证：四边形EBFD 是平行四边形.
（三十九）（2010学年普陀区八下末）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知//AD BC ,AB CD =,AE BC ⊥于E ，
60B ∠=︒,45DAC ∠=︒
,AC =求梯形ABCD 的周长。

.
（四十）（2010学年普陀区八下末）如图，在正方形ABCD 中，
F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于
G ，DE 、延长线相交于点
H ，点M 是CG 的中点. 求证：（1）//BM GH (2)BM CF ⊥
D
C B A
（四十一）（2010学年黄浦区八下末）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，M 、N 分别为边AD 与BC 的中点.求证：四边形BMDN 是菱形.
（四十二）（2010学年黄浦区八下末）如图，在矩形ABCD 中，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，M 、N 是垂足. （1）求证：AN =CM ；（2）如果AN =MN =2，求矩形ABCD 的面积.
（四十三）（2010学年黄浦区八下末）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD . （1）如果∠A =︒50，∠B =︒80，求证：AB CD BC =+.
（2）如果AB CD BC =+，设∠A =︒x ，∠B =︒y ，那么y 关于x 的函数关系式是_______.
（四十四）（2010学年静安区八下末）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ，EF =AD ．求证：四边形AEFD 是矩形．
（四十五）（2010学年静安区八下末）已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ，
（1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；
（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．
A B E F C D
（四十六）（2010学年宝山区八下末）如图5，菱形ABCD 的对角线交于点O ，已知菱形的 周长为54，且AC 是BD 的2倍，试求该菱形的面积．
（四十七）（2010学年宝山区八下末）如图8，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 、G 分别是AB 、CD 的中点， 点F 在边BC 上，且BF=1/2（AD+BC)（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形； （2）联结AF ,若AG 平分FAD ，求证：四边形AEFG 是矩形．
（四十八）（2010学年宝山区八下末）如图9，已知矩形ABCD ，把矩形ABCD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ．
（1）若AB=3，BC=6，试求四边形ABDE 的面积； （2）记AD 与BE 的交点为P ，若AB=a ，BC ＝b ，
试求PD 的长（用a 、b 表示）．
（四十九）（2010学年宝山区八下末）已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、
C 不重合），
过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F .
D
C
B
A
（图5）
O B
E A
D
G
C
F
（图8）
（图9）
C
D
（1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），
① 求证：PB=PE ；
②在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；
（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断
上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果
不能，试说明理由．
（五十）（2010学年嘉定区八下末）如图6.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且BC CE 2
1
.过点E 作EF ∥CA ，交CD 于点F ，联结OF . （1）求证：OF ∥BC ；
（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.
A B
（图6）
D
C
O
E
F
（五十一）（2010学年嘉定区八下末）已知：如图7.四边形ABCD 是菱形，6=AB ，︒=∠=∠60MAN B .绕顶点A 逆时针旋转MAN ∠，边AM 与射线BC 相交于点E （点E 与点B 不重合），边AN 与射线CD 相交于点F .
（1）当点E 在线段BC 上时，求证：CF BE =；
（2）设x BE =，ADF △的面积为y .当点E 在线段BC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，写出函数的定义域；
（3）联结BD ，如果以A 、B 、F 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE 的长.
（五十二）（2010学年浦东新区八下末）已知：如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，交AE 于点D ，联结CD .求证：四边形ABCD 是菱形．
（五十三）（2010学年闵行区八下末）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=8，对角线AC ⊥AB ，∠B=60°，M 、N 分别是边AB 、DC 的中点，连接MN ，求线段MN 的长．
A M
N
D C
B E F
（图7）
A D
C
B （备用图）
F
O E
D
C B
A
第21题图
（五十四）（2010学年浦东新区八下末）如图，ABCD 是正方形，点G 是线段BC 上任意一点（不与点B 、C 重合），DE 垂直于直线AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F . （1）求证：EF BF AF =-；
（2）当点G 在BC 延长线上时（备用图一），作出对应图形，问：线段AF 、BF 、EF 之间有什么关系（只写结论，不要求证明）？
（3）当点G 在CB 延长线上时（备用图二），作出对应图形，问：线段AF 、BF 、EF 之间又有什么关系（只写结论，不要求证明）？
（五十五）（2010学年闵行区八下末）已知：如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ．AF ∥BC ，
且AF=BC ，连接DF ．（1）求证：四边形AFDE 是平行四边形；（2）如果AB=AC ，∠BAC=60°，求证：AD ⊥EF ．
（五十六）（2011学年宝山区八下末）如图8，已知梯形ABCD 中，
AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边AD 的延长线于点M ，联结BD ．
（1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；
（2）若BD =DC ，联结CM ，求证：四边形ABCM 为矩形．
备用图二备用图一B C B C G
G F
E
D C B A 第25题图 A
D
F
M
（五十七）（2010学年闵行区八下末）已知：如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 为边BC 延长线上一点，连接DE ，BF ⊥DE ，垂足为点F ，BF 与边CD 交于点G ，连接
EG ．设CE=x ．
（1）求∠CEG 的度数；
（2）当BG=2时，求△AEG 的面积。

（3）如果AM ⊥BF ，AM 与BC 相交于点M ，四边形AMCD 的面积为y ， 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．
（五十八）（2011学年宝山区八下末）如图9，已知平行四边形ABCD ， E 是对角线AC 延长线上的一点，
（1）若四边形ABCD 是菱形，求证BE =DE ； （2）写出（1）的逆命题，并判断其是真命题还是假命题， 若是真命题，试给出证明；若是假命题，试举出反例．
（五十九）（2011学年静安区八下末）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ，EF =AD ． 求证：四边形AEFD 是矩形．
D C
B
A
E
（图9）
A B E F C D
（六十）（2011学年奉贤区八下末）已知，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠ABC =90°， BC =2AD ，点E 、F 分别是BC 和DC 的中点，联结AE 、EF 和BD ，AE 和BD 相交于点G . （1）求证：四边形AECD 是平行四边形；
（2）求证：四边形EFDG 是菱形。

（六十一）（2011学年宝山区八下末）已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，联结CF ，
P 是CF 的中点，联结EP 、DP ．
（1）如图11，当点E 在边AB 上时，试研究线段EP 与DP 之间的数量关系和位置关系；
（2）把（1）中的正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转90°，试在图12中画出符合题意的图形，并研究这时（1）
中的结论是否仍然成立；
（3）把（1）中的正方形AEFG 绕点A 任意旋转某个角度（如图13），试按题意把图形补画完整，并研究（1）中
的结论是否仍然成立．
（六十二）（2011学年奉贤区八下末）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 是边CD 上的任意一点（不与C 、
D 重合），将△AD
E 沿AE 翻折至△AFE ，延长E
F 交边BC 于点
G ，联结AG ． （1）求证：△ABG ≌△AFG ；
（2）若设DE =x ，BG =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围；
(3) 联结CF ，若AG ∥CF ，求DE 的长。

D
C
B
A
（图12）
（图11）
A
（图13）
A
B
E
C
D F G （图4）
（六十三）（2011学年浦东新区八下末）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，
点G 在边BC 上，且()BC AD CG +=2
1
．
（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形； （2）联结DG ，若ADE ADG ∠=∠2，求证：四边形DEGF 是矩形．
（六十四）（2011学年浦东新区八下末）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 90=∠A ，
45=∠C 4==AD AB ．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作BE EF ⊥交直线CD 于点F ．联结BF ．
（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示）
①求证：EF BE =．
②设x DE =，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．
F
E D
C B A
D C
B
A
G
A B
C
D
F
E
（六十五）（2011学年浦区八下末）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG //DB 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；
（2）若∠G ＝90︒，求证：四边形DEBF 是菱形．
（六十六）（2011学年浦区八下末）已知： O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF （如图1）。

（1） 求证：EO =FO ；
（2） 若正方形的边长为2， OE =2OA ，求BE 的长；
（3） 当OE =2OA 时，将△FOE 绕点O
AOE 1
是什
么三角形。

（六十七）如下图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，30A ∠=︒，
点D 为边AC 上的一动点，将ABD 沿直线BD 翻折，点A 落
在点E 处，如果DE AD ⊥时，那么DE = .
（六十八）如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．（1）求证：AE ＝DF ；
（2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
A
D
（六十九）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB′C′D ′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c ，请利用四边形BCC′D ′的面积验证勾股定理：a 2+b 2=c 2.
（七十）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．
(1)四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________．
(2)如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_____________________________．
(3)在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)
（七十一）（2006学年静安区二下末）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、
DA 上，且AE = CG ，AH = CF ，EG 平分HEF ∠．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2) 求证：四边形EFGH
图1
30︒
30︒
B D
A
C
图2 D 1
C 1
B 1C
A
D
B 图3 C
A
D B 图4
C
A
D
B D ＇
B
C D
A C ＇
B ＇
a b
c
是菱形．
（七十二）（2006学年静安区八下末）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．
（1） 由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？
并证明你所得到的结论；
（2） 联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函
数的定义域；
（3） 如果正方形的边长为2，FG 的长为2
5
，求点C 到直线DE 的距离．
（七十三）（2005学年浦区八下末）Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，AB =4，将一个300角的顶点P 放在AB 边上滑动，保持300角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，300角的另一边交射线．．BC 于点D ，连ED 。

（1）如图1
，D
（供操作实验用）
（供证明计算用）
B
当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 的长；（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗？若可能，求出PBDE 为平行四边形时AP 的长；若不可能，说明理由；（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值围。

（七十四）（2006学年浦区八下末）如图，已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD +BC =CD ，M 是AB 的中点。

求证：DM 、CM 分别平分∠ADC 和∠BCD
（七十五）（2006学年浦区八下末）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，cm BC AD 5==,AB =12 cm,CD =6cm , 点P 从A 开始沿AB 边向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

设运动时间为t 秒。

（1）求证：当t =
2
3
时，四边形APQD 是平行四边形； （2）PQ 是否可能平分对角线BD ？若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能，请说明理由； （3）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。

（七十六）（2007学年闵行区八下末）如图，已知在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为点E 、F ．
（1）求∠EAF 的度数；
B P D
（2）如果AB = 6，求线段AE 的长．
（七十七）（2007学年闵行区八下末）如图，已知在△ABC 中，O 是边BC 的中点，E 是线段AB 延长线一点，过点C 作CD // BE ，交线段 EO 的延长线于点D ，联结BD ，CE ．（1）求证：CD = BE ；
（2）如果∠ABD = 2∠BED ，求证：四边形BECD 是菱形．
（七十八）（2007学年闵行区八下末）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，BC = 8，60B ∠=︒，点M 是边BC 的中点，点E 、F 分别是边AB 、CD 上的两个动点（点E 与点A 、B 不重合，点F 与点C 、D 不重合），且120EMF ∠=︒．
（1）求证：ME = MF ；
（2）试判断当点E 、F 分别在边AB 、CD 上移动时，五边形AEMFD 的面积的大小是否会改变，请证明你的结论； （3）如果点E 、F 恰好是边AB 、CD 的中点，求边AD 的长．
（七十九）（2007学年南汇区八下末）已知正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,∠BAC 的平分线AF 交BD 于点E,交BC 于点F,求证：
OE=1/2CF A B C D
M
E F
A B C D E O
D
A
（八十）（2007学年南汇区八下末）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点，且CE CA =，联结AE ，
过点C 作CF AE ⊥，垂足为点F ，联结BF 、FD .
（1）求证：FBC ∆≌FAD ∆；（2）联结BD ，若3
5
FB BD =，且10AC =，求FC 的值.
（八十一）（2007学年闵行区八下末）在梯形ABCD 中，∠ABC =
90，AD ∥BC ，BC >AD ，AB =8cm ，BC =18cm ，CD =10 cm ，
点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从点D 开始沿 DA 边向终点A 以每秒2cm 的速度移动，设运动时间为t 秒. （1）求四边形ABPQ 为矩形时t 的值；
（2）若题设中的“BC =18cm ”改变为“BC =k cm ”，其它条件都不变，
（3）要使四边形PCDQ 是等腰梯形，求t 与k 的函数关系式，并写出k 的取值围；
（4）在移动的过程中，是否存在t 使P 、Q 两点的距离为10cm , 若存在求t 的值. 若不存在请说明理由？
F
E
D
C
B
A
B
（八十二）（2007学年浦东新区八下末）已知：如图，AM 是△ABC 的中线，D 是线段AM 的中点，AM =AC ，AE ∥BC ．求证：四边形EBCA 是等腰梯形．
（八十三）（2007学年浦区八下末）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，
AB AD DC ==，E 为底边BC 的中点，且DE AB ∥．求证：ADE △为
等边三角形．
（八十四）（2007学年浦区八下末）已知：正方形ABCD 的边长为28厘米，对角线AC 上的两个动点E F ，，点E 从点A 、点F 从点C 同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E 作EH ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于H ；
过F 作FG ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于G ，连接HG ，EB ．设HE ，EF ，FG ，
GH 围成的图形面积为1S ，AE ，EB ，BA 围成的图形面积为2S （这里规定： 线段的面积为0）．E 到达C F ，到达A 停止．若E 的运动时间为x 秒，解答以下问题：
（1）如图①，判断四边形EFGH 是什么四边形，并证明； （3）若y 是1S 与2S 的和，试用x 的代数式表示y ．
C
图①
E
（八十五）已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）（2）求证：1
2
CE BF =
； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．
（八十六）（2012学年模中学八下练习题）如图，在⊿ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D,CE 平分∠ACB,交AD 于点G,交AB 于点E,EF ⊥BC 于点F.求证：四边形AEFG 是菱形。

A E G B FDC
（八十七）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 的延长线上，而且EA ⊥CF 于点H,AE 与CD 相交于点G,（1）求证：AG=CF;（2）当点G 为CD 中点时，求证：FC=FE;（3）如果正方形ABCD 的边长为什2,当EF=EC 时，求DG 的长。

ADF GH BCE
（八十八）（2012学年）已知，如图2，在△ABC 中，D 为BC 的中点，且AD=AC E ，•EC
与AD相交于点F．
（1）求证：F为AD的中点；
（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长.
(八十九）（2012学年东陆中学八下暑假作业）在⊿ABC中，∠ACB=45°,点D为射线BC上一动点，（与B,C不重合），连接AD,以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF.
（1）如果AB=AC，如图1，而且点D在线段BC上运动，试判断线段CF与BD之间的位置关系，并且证明你的结论；
（2）如果AB≠AC,而且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；
（3）如果正方形ADEF的边DE所在的直线与直线CF相交于点P,已知AC=4√2，CD=2,求线段CP的长。

F
A
A
E
BDCBC
（图1）（图2）
（九十）（2012学年浦东八下末）已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F,CH⊥AD于点H,在AB边上取点E,使得AE=AH,在CD边上取点G,使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE.
(1)求证：四边形EFGH是菱形；（2）当∠B为多少度时，四边形EFHG是正方形？并且证明。

AHD
E
G
BFC
（九十一）（经典难题）已知：如图，P是正方形ABCD点，∠PAD＝∠PDA＝150．
31 / 34
F
求证：△PBC 是正三角形．
（九十二）（经典难题）如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．
（九十三）（经典难题）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的
延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
（九十四）（经典难题）如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
D 2 C 2 B 2 A 2 D 1
C 1 B 1 C
B D
A A 1
A P C D B
32 / 34
（九十五）（经典难题）如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．
（九十六）（经典难题）如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．
(九十七）（经典难题）设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．
（九十八）
（经典难题）已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠
APB 的度数．
（九十九）（经典难题）设P 是平行四边形ABCD 部的一点，且∠PBA ＝∠
D。