北京市东直门中学2017届高三提高测试卷(四)(数学理)(含答案)word版

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北京市东城区东直门中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11 考试时间：120分钟总分 150分第一部分（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．1．已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B = （）．A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-【答案】C【解析】{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<，{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23A B x x =<< ．故选C ．2．“0x >”是“20x x +>”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】201x x x +>⇔<-或0x >，∴“0x >”是“20x x +>”的充分不必要条件．故选A ．3．设命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为（）．A ．0x ∀>，sin 21x x -≤B ．0x ∃>，sin 21x x <-C ．0x ∀>，sin 21x x <-D ．0x ∃>，sin 21x x -≤【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x -≤”．故选A ． 4．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=（）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-，【答案】D 【解析】∵π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴4sin(π)sin 5αα+=-=-．故选D ．5．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -=在同一直角坐标系下的图像大致是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数1()2x g x -=，当0x =时，函数值为2，过点(0,2)，排除B ，D ．对于函数2()1log f x x =+，当1x =时，函数值为1，过点(1,1)，排除A ．综上，故选C ．6．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x 的图像（）．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【解析】ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将y x 的图象向左平移π12个单位．故选D ．7．设a ，b是两个非零向量（）．A ．若||||||a b a b +=- ，则a b⊥B ．若a b⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=- ，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，|||||a b a b +- ≥|，其中等号当且仅当向量a ，b共线时成立，所以由||||||a b a b +=- ，可得存在实数λ，使得a b λ=．故选C ．8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x ∈R ．（）． A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】由题意可得下图：A 项，1()||f a b '<，1a b '>，故A 项错误；B 项，若()f a b ≠，如图，1()2b f a <，1a b <，若()2bf a =，则等号成立，故B 项正确；C 项，2()||f a b >，2a b <，故C 项错误；D 项，2()2bf a >，2a b <，故D 项错误．综上所述，故选B ．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．定积分21d 1x x -⎰的值为__________．【答案】23【解析】1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰10．在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________．【答案】12【解析】12122-==>，31log 2log 2>．故三个数12，122-，3log 2中最小的数是12．11．设π02θ<<，向量(sin2,cos )a θθ= ，(1,cos )b θ=- ，若0a b ⋅= ，则tan θ=__________．【答案】12 【解析】∵22(sin2,cos )(1,cos )sin2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθθθθ⋅=⋅-=-=-=， ∴22sin cos cos θθθ=， ∵π02θ<<，∴cos 0θ>，∴2tan 1θ=，解得1tan 2θ=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x =x -;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．【答案】2 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以当1x >时，()(1)f x f x =-，故(6)(1)f f =；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以(1)(1)f f =-．当0x <时，3()1f x x =-，所以(1)2f =-，故(1)2f =．13．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．【答案】(3,)+∞ 【解析】)=x 22mx+4m (x>m )m m 2当0m >，函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨->⎩≤+的图象如图：∵x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-=-->-++， ∴y 要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则：24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得，3m >．故m 的取值范围是(3,)∞+．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB【答案】(0,4)【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，6,4F （），①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ≤≤，则(,4)PE x ==-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x ⋅=-+，∵[]0,6x <，∴716PE PF ⋅≤≤．∴当7λ=时有一解，当716λ<≤时有两解．②若P 在AD 上，设(0,)P y ，06y ≤≤，则(0,4)PE y =- ，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+．∵06y ≤≤，∴016PE PF ⋅≤≤．当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．③若P 在AB 上，设(,6)x x ，06x ≤≤，则(,2)PE x =-- ，(6,2)PF x =--， ∴2=64PE PF x x ⋅- +．∵06x ≤≤，∴74PE PF -⋅≤≤． ∴当7λ=-时有一解，当72λ-<≤时有两解．④若P 在BC 上，设(6,)P y ，06y ≤≤，则(6,4)PE y =-- ，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+．∵06y ≤≤，∴16PE PF ⋅0≤≤． ∴当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．综上所述，∴04λ<<．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）根据题意得：222()sin 2sin cos cos 2cos f x x x x x x =-++ 21sin 22cos x x =-+ sin 2cos 2x x =-π24x⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数()f x的最小正周期2ππ2T==．由πππ2π22π+242k x k--≤≤，k∈Z，可得：3πππ88k x kλ-≤≤+，k∈Z故函数()f x的单调递增区间是π3ππ,π88k k⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+，()k∈Z．（2）∵π3π,44x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin24x⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦π24x⎛⎫⎡-∈-⎪⎣⎝⎭，即()f x⎡∈-⎣，故函数()f x在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．16．已知数列{}(1,2,3,)na n= 满足12n na a+=，且1a，21a+，3a成等差数列，设23log10n nb a=-．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式．（2）求数列{}n b的前n项和n T．【答案】【解析】（1）12n na a=+，∴{}n a为等比数列，其公比为2．∵1a，21a+，3a成等差数列，∴2132(1)a a a=++，即1112(21)4a a a=++，解得：12a=．∴112n nna a q-==，222log103log210310nn nb a n=-=-=-，故2nna=，310nb n=-．（2）由310nb n=-，可得{}n b的前几项和为1(317)2nS n n=-．当13n-≤≤时，0nb<，即1(317)2n nT S n n=-=--；当4n≥时，可得：231317482(317)2422n nn nT S S n n-=-=-=++．综上可得，22317,132()31748,42nn nnT nn nn⎧-⎪⎪=∈⎨-⎪⎪⎩N≤≤≥++．17．在ABC △中，内角A 、B 、C 、所对边的长分别为a 、b 、c ，且1cos 2B =-．（1）若2a =，b =C 的大小．（2）求sin sin A C ⋅的取值范围．【答案】【解析】（1）在ABC △中，1cos 2B =-，(0,π)B ∈,∴2π3B =,sin B =．由正弦定理sin sin a b A B =，可得：2sin A =，∴1sin 2A =，∴π6A =． ∴ππ6C A B =--=．（2）π1sin sin sin sin sin sin 32A C C C C C C ⎫⎛⎫⋅=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111π12cos2sin 244264C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭++． ∵π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π2,666C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+．∴π1sin 2,162C ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，∴1π11sin 20,2644C ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，即1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦．故sin sin A C ⋅的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．18．已知函数1()e xxf x -=．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()e f x f x --≥成立，求实数a 的最小值．【答案】【解析】（1）∵1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，∴(0)1f =，(0)2f '=-， ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为2-，切点为(0,1)， ∴切线方程为：21y x =-+，即210x y -=+．（2）由()0f x =，可得1x =，即零点为1；由2x >时，()0f x '>，()f x 递增，2x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得：当2x =时，()f x 取得极小值，21()(2)e f x f ==-极小值，无极大值．【注意有文字】（3）当1x >时，1()0e x x f x -=<，当1x <时，1()0e xxf x -=>，若1a <，令12x =，2[,1)x a ∈，则1x ，[)2,x a ∈∞+，由于22()()0f x f x ⇔-<，则有121221()()()()e f x f x f x f x -<==-，不符合题意；若1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1()0f x ≤，2()0f x ≤，则有2()0f x -≥，所以121221()()()()e f x f x f x f x -=-≥≥，即1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1221()()e f x f x --≥成立．综上所述，实数a 的最小值是1．19．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -．（1）求椭圆E 的方程．（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），判断直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：c a =1b =，结合222a b =+c ，解得：a ，1b =，1c =，∴椭圆的方程为：2212x y =+．（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-≠+，将直线方程与椭圆方程联立，22(1)1,(2)12y k x k x y =≠⎧⎪⎨=⎪⎩+++，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k ---=++．由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -=++，1222(2)12k k x x k -=+，从而直线AP ，AQ 的斜率之和：12121212121211222(2)AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x --===-+++++++++ 4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=-⋅=--=-+．故直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．20．在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，n *∈N ．（1）当1m =时，求2a ，3a ，4a 的值．（2）是否存在实物m ，使2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列？证明你的结论．（3）当14m >时，证明：存在k *∈N ，使得2016k a >．【答案】【解析】（1）当1m =时，211n na a =++，10a =， ∴21a =，32a =，45a =．（2）∵2a ，3a ，4a 成等差数列，∴3243a a a a -=-，即222233a m a a m a -=-++，∴223232()()0a a a a ---=， ∴320a a -≠，∴3210a a -=+．将2a m =，23a m m =+，代入上式，解得1m =- 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．∴存在1m =-2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列．（3）∵221111244n n n n n a a a m a a m m ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+++，又14m >，∴令104d m =->． ∵1n n a a d --≥，12n n a a d ---≥，，21a a d -≥， ∴1(1)n a a n d --≥，即(1)n a n d -≥．取正整数20161k d>+，则： 2016(1)2016k a k d d d ⎛⎫->⋅= ⎪⎝⎭≥．故当14m >时，存在*k ∈N ,使得2016k a >．。

北京市2017届高三数学(理)综合练习66 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷 (选择题共40分)一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数11iz i+=-等于 A ．iB ．2iC ．1+iD ．1－i2．参数方程cos ,sin 3x y θθ==-⎧⎨⎩（θ为参数）化为普通方程是A ．()2231x y +-=B ．()2231y x ++= C ．30x y ++=D ．2213y x +=3．如图，程序框图所进行的求和运算是 A ．1+2+22+23+24+25 B ．2+22+23+24+25 C ．1+2+22+23+24 D ．2+22+23+244．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是 A ．AB AC BC +=u u u r u u u r u u u rB ．12AB BC DA =+u u u ru u ur u u u rC ．AD DC AC -=u u u r u u u r u u u rD ．2CD BA CA +=u u u r u u ru u r5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是 A ．16 B ．20 C ．1242+D ．1642+开始是输出S 否 n =1，S = 0 n <5 S = S +2 n n = n +1结束ODCBA6．有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有 A ．48种B ．24种C ．12种D ．6种7．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润（单位：万元）是1913.5y x =-，在B 地的销售利润（单位：万元）是216.24y x =+，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元8．定义集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”是b －a . 已知m ，n ∈R ，集合23M x m x m =+⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，34N x n x n =-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，且集合M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 A ．23B ．12C ．512D ．13第II 卷 (共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知等差数列{a n }中，a 2=－2，公差d =－2，那么数列{a n }的前5项和S 5= . 10．某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_________.11．已知x ，y 满足不等式组50,10,1,x y x y x +---⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 那么z =x +2y 的最大值是_____________.12．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，AB =BC =3，210CD = 则cos D = .13．已知函数()12log 2f x x kx k =-+，且方程f (x )=0有且只有一个实数根，那么实数k 的取值范围是__________________.14．在直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知11,04OA =-⎛⎫ ⎪⎝⎭u u u r，()121,0i i A A i +=-u u u u ur()1,2,,,i n =L L ， ()11,2,,,i i i A B A i n +∆=L L 是等边三角形，且点12,,,,n B B B L L 在同一条曲线C 上，那么曲线C 的方程是____________；设点()1,2,,,n B i n =L L 的横坐标是n (n ∈N *)的函数f (n )，那么f (n )= ____________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题13分）已知函数f (x )=2sin x cos x +2cos 2x +1. （I ）求f (x )的最小正周期；（II ）求f (x )在区间,02π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．（本题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠DAB =90°，PA⊥平面ABCD ，PA =AB =BC =2，AD =1. （I ）求证：BC ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；（III ）在侧棱PA 上是否存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.17．（本题13分）有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为25，12，丙通过面试的概率为p ，且三人能否通过面试相互独立. 记X 为通过面试的人数，其分布列为X 012 3 P940abc（I ）求p 的值；（II ）求至少有两人通过面试的概率；（III ）求数学期望EX .18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －a 2x 2+ax . （I ）若a =1，求函数f (x )的最大值；（II ）若函数f (x )在区间(1，+∞)上是减函数，求实数a 的取值范围.19．（本题13分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，离心率为2，且短轴的一个端点到下焦点F.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设直线y =－2与y 轴交于点P ，过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.20．（本题14分）对于数列{a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a n }的“差等比数列”，记为数列{b n }. 设数列{b n }的首项b 1=2，公比为q (q 为常数).（I ）若q =2，写出一个数列{a n }的前4项；（II ）（ⅰ）判断数列{a n }是否为等差数列，并说明你的理由；（ⅱ）a 1与q 满足什么条件，数列{a n }是等比数列，并证明你的结论；（III ）若a 1=1，1＜q ＜2，数列{a n +c n }是公差为q 的等差数列(n ∈N *)，且c 1=q ，求使得c n ＜0成立的n 的取值范围.(考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效)参考答案（理科）一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 二、填空题：9．20- 10．35 11．912 13．[)0,+∞ 14． 23y x =；212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：15．解：（Ⅰ）()sin 2cos 22f x x x =++ …………………………3分)24x π=++．所以)(x f 的最小正周期为π． …………………………6分（Ⅱ）因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，所以32[,]444x πππ+∈-，所以当244x ππ+=，即0x =时，sin(2)42x π+=，所以()f x 取得最大值3；当242x ππ+=-，即38x π=-时，sin()16x π+=-，所以()f x取得最小值2 …………………………13分 16．解；（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 是梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒， ∴.BC AB ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥ BC ， ∵PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB . ………………………… 3分（Ⅱ）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ∴()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P .∴()2,2,2PC =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r.∴cos ,3PC AB PC AB PC AB ===⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u r u u u r ∴异面直线PC 与AB…………………………8分（Ⅲ）假设在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，设()()0,0,0.E m m > ∴()1,2,0DC =u u u r ，()1,0,DE m =-u u u r. ∴设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =r，∴0n DC =u u r u u u r g ，0n DE =u u r u u u rg ，∴20,0.x y x mz +=⎧⎨-+=⎩令2x =，所以1y =-，2z m =. ∴22,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r .又∵平面ACD 的法向量为()0,0,2AP =u u u r，∴2cos ,3n AP =u u r u u u r，即42.3n AP n AP==⋅r u u u rg r u u u r 解得 1.m =∴点E 的坐标是()0,0,1.∴在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23. ………………………… 14分17．解：设 “甲通过面试”为事件1A ， “乙通过面试”为事件2A ，设 “丙通过面试”为事件3A ， ………………………… 1分所以()125P A =，()212P A = ，()3P A p = . （Ⅰ）由已知得()9040P X ==，即()219111.5240p ⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以14p =. ………………………… 4分（Ⅱ）设“至少有两人通过面试”为事件B ，由题意知()()()()1231231232b P X P A A A P A A A P A A A ===++21123131111.54254254240=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()()1233c P X P A A A ===2111.52420=⨯⨯=所以 ()()()1323.40P B P X P X ==+==………………………… 10分（Ⅲ）由题意得 ()()()()911023.20a P X P X P X P X ===-=-=-==所以99111230123.4020402020EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………… 13分18．解：（I ）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，………………………… 1分所以()212121x x f x x x x -++'=-+=，令()0f x '=，解得12x =-，或1x =.因为0x >，所以 1.x = ………………………… 3分所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， ………………………… 4分所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，即()f x 的最大值是()10.f = ………………………… 5分（II ）因为()22ln f x x a x ax =-+，定义域为()0,+∞，所以()()()221112.ax ax f x a x a x x-+-'=-+= ………………………… 7分 ①当0a =时，()10f x x'=>，所以()f x 在区间()0,+∞上为增函数，不符合题意. ………………………… 8分 ②当0a >时，由 ()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以1.x a >所以()f x 的单调减区间为（1a，+∞），所以11,0,a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩ 解得 1.a ≥ ………………………… 10分③当0a <时，()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以12x a >-，所以()f x 的单调减区间为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以11,20,a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩解得1.2a ≤- ………………………… 12分综上所述，实数a 的取值范围是[)1,1,.2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U………………………… 13分 19．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以设椭圆C 的方程是()222210y x a b a b+=>>. ………………………… 1分因为短轴的一个端点到下焦点F，离心率为2所以a = 1.c = 所以2 1.b =所以椭圆C 的标准方程是22 1.2y x += ………………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0,1F -，()0,2P -，且直线l 的斜率存在，设其方程为： 1.y kx =-，由 221,1,2y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222210.k x kx +--= ………………………… 6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以12222kx x k +=+，12212x x k -=+. ………………………… 7分所以PAB ∆面积1212PAB S PF x x ∆=⋅-（1x ，2x 异号）.所以PAB S ∆===………………………… 9分=≤2= ………………………… 12分当且仅当22111k k+=+，即0k=时，PAB S ∆有最大值是2 所以当0k=时，PAB ∆ ………………………… 13分20．解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，所以 24b =，38b =，所以11a =，23a =，37a =，1515a =. （写出满足条件的一组即可） ………………………… 2分（Ⅱ）（ⅰ）因为12b =，所以212a a -=，322a a q -=， 2432a a q -=，…，212n n n a a q ---=()2n ≥.所以()22121n n a a q q q --=++++L . ①若1q =，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列. ………………………… 3分 ②若1q ≠，所以()1121.1n n q a a q --=+-所以1n n a a +-=()()1212111n n q q qq------1221n n q q q--=-12n q -=.因为1q ≠，所以12n q-不是常数.所以数列{}n a 不是等差数列. ………………………… 5分（ⅱ）因为数列{}n b 是等比数列，首项12b =，公比为q ，所以22b q =，232b q =. 所以212a a =+，3122a a q =++.因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =⋅，即()()2211222.a a a q +=⋅++ 所以112a q a +=. 所以当112a q a +=时，数列{}n a 是等比数列. ………………………… 7分（Ⅲ）因为{}n n a c +是公差为q 的等差数列，所以()()11.n n n n a c a c q --+-+= 又212n n n a a q ---=，所以212.n n n c c q q ---=-所以3122n n n c c q q ----=-，…，322c c q q -=-，21 2.c c q -=-所以()2321n n n c nq q q q --=-++++L ()121.1n q nq q--=-- ………………………… 9分所以10c q =>，()2210c q =->，320c q =-<，4c =()2213212022q q q ⎛⎫--+=---< ⎪⎝⎭，…猜想：当3n ≥时，0n c <. 用数学归纳法证明：①当3n =时，30c <显然成立， ②假设当()3n k k =≥时，0k c <，那么当1n k =+时，()11212212.k k k n n c c q q q q q q ---+=+-<-=- 因为12q <<，3k ≥，所以2120.k q--<所以10.n c +<所以当1n k =+时，10n c +<成立.由①、②所述，当3n ≥时，恒有0n c <. ………………………… 14分。

D_北京市东城东直门中学2017-2018学年高三上期中数学试题(精品解析)

北京市东直门中学2017-2018年度高三第一学期期中试题（数学理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.设集合，，则下列结论正确的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合，集合或，∴．故选．2.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】试题分析：由得，对应点为，位于第三象限，选C.考点：复数运算3.如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由平面向量，知：在中，，，∴，故错误；在中，，故错误；在中，，∴，∴，故正确；在中，∵，∴与不平行，故错误．综上所述．故选．4.设函数的图象为，下面结论中正确的是（）．A. 函数满足B. 图象关于点对称C. 图象可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数【答案】B【解析】项．∵，∴，故错误；项．∵，∴的图象关于点对称，故正确；项．∵，∴的图象由函数的图象向右平移个单位得到，故错误；项，当时，，∴函数在区间上先增后减，故错误．故选B.点睛：本题考查的是三角函数的图象变换.三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.5.在中，，，则“”是“”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由正弦定理可得，∴若，则，得，必要性成立；若，则，得，或，充分性不成立，∴“”是“”的必要不充分条件．故选．6.已知函数，，的图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.考点：基本初等函数的图象.7.已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：分段函数和过定点的直线在如图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示：计算切线斜率，假设直线与的切点为，对函数求导可得，那么可以得到如下三个方程：，讲后两个方程代入到第一个方程中，得到，即，解得，从而斜率，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率，故选D.考点：1函数图像;2数形结合思想.8.如图所示，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱，交于，，设，，给出以下四个命题：①四边形为平行四边形；②若四边形面积，，则有最小值；③若四棱锥的体积，，则是常函数；④若多面体的体积，，则为单调函数．其中假命题为（）．A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】D【解析】对于①，∵平面平面，∴，同理：，∴四边形为平行四边形，故①正确；对于②，四边形的面积，当为的中点时，即时，最短，此时面积最小，故②正确；对于③，连接，，，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以为底，以，为顶点的两个小棱锥，因为的面积是个常数，，到平面的距离和是个常数，所以四棱锥的体积是常函数，故③正确；对于④，多面体的体积为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④．故选．点睛：本题考查空间立体几何中的面面平行关系以及空间几何体的体积公式，本题把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高，对于几何体的体积的求解要会有体积分割法，或等价转化．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9.已知命题方程有解，则为__________．【答案】, 方程无解【解析】根据全称命题和存在性命题之间的关系，可知命题的否定：“，方程”．10.已知，且，则的值等于__________．【答案】【解析】∵，且，∴，，∴．故答案为：.11.若，，且与的夹角为，则__________．【答案】【解析】由题意可得，∴，∴．故答案为：.12.________.【答案】0【解析】试题分析：方法一：，故填.方法二：由于定积分性质可知，对于奇函数，若积分对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为（通过图像也可以判别），故填.考点：定积分运算.13.如图，，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，，则__________．【答案】36【解析】∵，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，∴四边形为菱形，∴，，∴，，∴．故选D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.本题就是利用几何意义处理的.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.已知函数的定义域为，，，若此函数同时满足：①当时，有；②当时，有，则称函数为函数．在下列函数中：①；②；③是函数的为__________．（填出所有符合要求的函数序号）【答案】①②【解析】对于①，函数为奇函数，当，即时，有，所以。

北京市2017届高三数学(理)综合练习34 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x x A x ,42211的元素个数有（） A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．无数个2. 若()014455513a x a x a x a x ++⋅⋅⋅++=+，则2a 的值为（） A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x3. 若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则921a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（） A ． 1023B ．1025C ．1062D ． 20474. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ 5.已知命题(1)∃ α∈R ，使sin cos 1αα=成立；(2) ∃ α∈R ，使()β+α=β+αtan tan tan 成立；(3) ∀α，β∈R ，有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立； (4)若B A ,是ABC ∆的内角，则“B A >” 的充要条件是“B A sin sin >”．其中正确命题的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．46.已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（）7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}654321，，，，，=S .令事件{}5,3,2=A ,事件{}65421，，，，=B ，则()B A P 的值为（） A ． 53B ．21 C ．52 D ．518. 如图抛物线1C ： px y 22=和圆2C : 42222p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则CD AB ⋅的值为（）A ． 42pB ． 32pC ． 22pD ．2p第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的值域是 . 10. 若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= . 11.如图，D C B A ,,,为空间四点,ABC △是等腰三角形，且o 90=∠ACB ,∆ADB 是等边三角形.则AB 与CD 所成角的大小为 .12. 如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ，则圆O 的半径等于．13.数列721,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有5个a ，2个b ()b a ≠，则不相同的数列共有个.A ． ()x x x f ln 2+=B ． ()x x x f ln 2-=C ．()x x x f ln +=D ．()x x x f ln -=DBAAEOBPCD14. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题： ①1cos =θρ与曲线y y x =+22无公共点； ②极坐标为 (23，π43)的点P 所对应的复数是-3+3i ； ③圆θ=ρsin 2的圆心到直线01sin cos 2=+θρ-θρ④()04>ρπ=θ与曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0相交于点P ,则点P 坐标是1212(,)55. 其中假命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο，相距10海里C 处的乙船.（Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与成θ角，求()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ=()R x ∈的值域.16. （本小题共13分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（Ⅰ）求这个组合体的表面积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形.（i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；北2010 A B ••C（ii ）设点P 为棱11D A 上一点，求直线AP 与平面D C AB 11所成角的正弦值的取值范围.17. （本小题共13分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；(Ⅱ)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.18. （本小题共13分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有12+=n n a S ．(I) 求1a ，2a 的值；(II) 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，kk k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n b 的前12+n 项和12+n T ．19. （本小题共14分）已知函数()xxx f ln =. （I ）判断函数()x f 的单调性；（Ⅱ）若=y ()x xf +x1的图像总在直线a y =的上方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()x f 与()3261+-=x m x x g 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值.20.（本小题共14分）已知0>p ，动点M 到定点F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2p .（I ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设B A ,是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0OA OB ⋅=uu r uu u r,求AOB ∆面积的最小值；（Ⅲ）在轨迹C 上是否存在两点Q P ,关于直线()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得2BC =202+102－2×20×10COS120°=700.∴BC =107. ……………………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ……………………………………13分 16. （本题满分13分）(Ⅰ)=表面积S 104421210810828822⨯⨯π+⨯π⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=π+56368. ………4分(Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………9分（ii ）建立直角坐标系xyz D -，则()0,0,10A ,()8,0,m P∴()8,0,10-=m ∵D C AB B A 111平面⊥∴()8,8,01-=B A 为平面D C AB 11的法向量()()64102428641064sin 22+-=⋅+-==θm m∵[]10,0∈m∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈θ22,41822sin . …………………………13分 17. （本题满分13分）解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：64141412121=⨯⨯⨯.………5分(Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：()649434321214=⨯⨯⨯==ξP ()64242434121212434321215=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==ξP()64226==ξP ()6487==ξP ()==ξ8P 64141412121=⨯⨯⨯分布列为：……………………………13分18. （本题满分13分）解： (I) 当1=n 时，1211+=a a ，∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，11222+=+a a ，∴212=+a ，32=a ;……………3分 (II) ∵12+=n n a S ，∴()214+=n n a S()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列，∴21=--n n a a ，∴12-=n a n ； …………………8分（Ⅲ）()[]()()[]()242312111123131++-++++-++=+a a a a b T n +⋅⋅⋅+()nn a 32+=1+()()()()[]nn n S 1113332122-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++=1+()()()()()()111113131322-----+--+nn n =()2182321nn n -++-+. …………………13分 19.（本题满分14分）解：（Ⅰ）可得'21ln ()xf x x -=. 当0x e <<时,'()0f x >,()f x 为增函数;当e x <时,'()0f x <,()f x 为减函数. ……4分（Ⅱ）依题意，转化为不等式xx a 1ln +<对于0>x 恒成立令1()ln g x x x=+，则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是(1)+∞，上的增函数，当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()g x 是()1,0上的减函数，所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，从而a 的取值范围是()1,∞-. …………………8分（Ⅲ）转化为m x x x -+=3261ln 2，x y ln =与m x x y -+=32612在公共点00(,)x y 处的切线相同由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=323113261ln 000200x x m x x x∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代人第一式，即有65=m . (4)20.（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵动点M 到定点F 与到定直线2px -=的距离相等 ∴点M 的轨迹为抛物线，轨迹C 的方程为：px y 22=. ……………4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A∵0OA OB ⋅=uu r uu u r∴02121=+y y x x ∵2221212,2px y px y == ∴2214p x x = ∴()()222222211221144AOBSOA OB x y x y ∆==++uu r uu u r =()()2221212241px x px x ++ =()()[]21221212214241x x p x x x px x x +++ ≥()[]212212122142241x x p x x x px x x +⋅+=416p ∴当且仅当p x x 221==时取等号，AOB ∆面积最小值为24p . ……………9分（Ⅲ）设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在轨迹C 上 ∴4243232,2px y px y ==两式相减得：()()()4343432x x p y y y y -=+-∴pk y y x x p y y 22434343-=--=+∴pk y -=0∵()00,y x D 在()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 上 ∴020<-=px ，点()00,y x D 在抛物线外 ∴在轨迹C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. ……………14分。

北京市2017届高三数学(理)综合练习42 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）第I 卷选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题纸上。

1. n S 是数列{}n a 的前项和，且2,111++=+n n a a a ，则5S =（） (A)40 (B)35 (C)30 (D) 252．参数方程2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是（）(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆3．正方形ABCD 的边长为1，||AB BC AC ++u u u r u u u r u u u r=（）（A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）22 4．在ABC ∆中，6A π=，1,2a b ==B = ( )(A)4π (B) 43π (C) 4π或43π (D)6π 或65π5．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）66. 如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有（）（A ）a 1>a 2 （B ）a 1<a 2 （C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关7．圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为( )(A) 250x y --= (B) 210x y --= (C)20x y --= (D) 40x y +-=8．已知定点(1,2)M ，点P 和Q 分别是在直线l ：1y x =-和y 轴上动点，则当△MPQ 的周长最小值时，△MPQ 的面积是( )0795455184464793m甲乙开始(A)45 (B) 56(C) 1 (D) 23第II 卷非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

北京市东城东直门中学2017-2018学年高三上期中数学试题(解析版)

北京市东直门中学2017-2018年度高三第一学期期中试题（数学理科）项符合要求.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分•在每小题给出的四个选项中,i•设集合「〔y乂弋；,则下列结论正确的是（）•A. .B. ；：•「丿•:C. . .D. l x；./【答案】D【解析】T集合■■:->1：，集合* ；八」、：■：： :■:或，•••齐匚•故选•2•复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）•A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】试题分析：由x ：|得，''：|,对应点为I :，位于第三象限，选C.1考点：复数运算3•如果平面向量，I； ; .1，,那么下列结论中正确的是（）.A. I计一打B. I- '：. ■:C. | "丄卜D. ■■ I 、【答案】C【解析】由平面向量^ =；-，：”：；，I；；. I，知：在中，卜一「，很=.,••卜密】，故错误；在中，：「匕•，故错误；在中,】=；「；］卜‘、' I•」丄I■，故正确；••• 的图象关于点对称，故正确;扩呷胡],/ 3E 皿\•函数在区间上先增后减，故错误.故选B.点睛：本题考查的是三角函数的图象变换•三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量否为1，如果x 有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”•兀 L L 兀5•在.中，•， .，则 “ .•”是“：”的（）•在中，T ,1 ]•与不平行，故错误. 综上所述. 故选•A.函数满足B.图象关于点对称兀C.图象可由函数L •'■|1-''：的图象向右平移个单位得到/ 兀 3T 1.D.函数在区间【答案】B，故错误;「•ii"的图象由函数「•’•:的图象向右平移个单位得到,故错误;•首x 的系数是 4•设函数=F 面结论中正确的是（【解析】处6S1O项，当; 时，:A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】AC Qr t .兀 ----••右..=» ,贝 y, 3 sin- siri-3 4得一 ---------- L ,必要性成立;sin —斗Tj'3sm- 得 • ■ sinB = —= {- x 2?c.',或.，充分性不成立,:—JJ2丸C=&”是P = f”的必要不充分条件.A. a > b > c B . a > c > bC . c > a > bD . c > b > a【答案】C 【解析】试题分析：由图象有 •• 1' I ■■■ I ，所以最小,对于］；=『「.=〔 .< = F ，看图象有I V :；，所以II"〔:对于/ n 1 ■-:,,看图象有 ,所以：，故，选C .考点：基本初等函数的图象.7•已知函数若关于的方程■:-有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）若..•，则,sinB sinA故选.A. | :'B. J 十。

2017届北京市东城区高三上学期期末考试理科数学试题及答案

东城区2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,1}A=，2=≤，则A B={|4}B x x（A）{0,1}（B）{0,1,2}（C）{|02}≤≤x xx x≤<（D）{|02}对应的点位于（2）在复平面内，复数i1+i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）设a∈R，则“2a a>”是“1>a”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于（A ）12 （B ）18（C ）22 （D ）44（5）当4n =输出的S 值为（A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（6）已知函数13log ,0,()2,0,xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a >，则实数a 的取值范围是（A）(1,0))-+∞ （B ）(1-（C ）(1,0))-+∞ （D ）(- （7）在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz 平面为投影面，则得到正视图可以为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠= （O 为坐标原点），则0x 的取值范围是（A ）[0,1]（B ）8[0,]5（C ）1[,1]2-（D ）18[,]25-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017北京市东直门中学高三(上)期中数学(理)

2017北京市东直门中学高三（上）期中数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设集合{}|1P x x =>，{}2|0Q x x x =->，则下列结论正确的是（）．A ．P Q =B ．P Q =RC ．Q P ÜD ．P Q Ü 2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（）．A ．||||a b =B ．22a b ⋅=C ．()a b b -⊥D ．a b ∥4．设函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，下面结论中正确的是（）． A ．函数()f x 满足π()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．图象C 关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移π3个单位得到 D ．函数()f x 在区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 5．在ABC △中，π4A =，2BC =，则“3AC =”是“π3B =”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数x y a =，b y x =，log c y x =的图象如图所示，则（）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 7．已知函数,0,(),0.x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎪⎩≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）．A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '，DD '交于M ，N ，设BM x =，(0,1)x ∈，给出以下四个命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =，(0,1)x ∈，则()f x 有最小值；③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =，(0,1)x ∈，则()p x 是常函数；④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数．其中假命题．．．为（）． A ．① B ．② C ．③ D ．④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．已知命题:0p c ∃>，方程20x x c -+=有解，则p ⌝为__________．10．已知π02α-<<，且4cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于__________． 11．若||3a =，||2b =，且a 与b 的夹角为π3，则||a b -=__________． 12．ππ(sin )d x x x -+=⎰__________． 13．如图，11AB C △，122C B C △，233C B C △是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C 上有2个不同的点1P ，2P ，则212()AB AP AP ⋅+=__________．14．已知函数()f x 的定义域为R ，a ∀，b ∈R ，若此函数同时满足：①当0a b +=时有()()0f a f b +=；②当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称函数()f x 为Ω函数．在下列函数中：①sin y x x =+；②133x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③0,01,0x y x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ 是Ω函数的为__________（填出所有符合条件的函数序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，3cos 3B =．（1）求ACD △的面积．（2）若23BC =，求AB 的长．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下，手机编号 1 2 3 4 5 6 7A 型待机时间（h ） 120 125 122 124 124 123 123B 型待机时间（h ） 118 123 127 120 124 a b其中，a ，b 是正整数，且a b <．（1）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数．（2）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列及其数学期望．（3）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且AF BE ∥，AB BE ⊥，平面ABCD平面ABEF AB =，22AB BE AF ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ．（2）若二面角D AB E --为直二面角，（i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小．（ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ？若存在，求出DP DE 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知函数2()e ()x f x x ax a =++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求()f x 的单调区间．（3）求证：当4a ≥时，函数()f x 存在最小值．20．（本小题满分13分）已知集合{}123,,,,n A a a a a =，其中i a ∈R ，1i n ≤≤，2n >．()l A 表示(1)i j a a i j n +<≤≤中所有不同值的个数．（1）设集合{}2,4,6,8P =，{}2,4,8,16Q =，分别求()l P 和()l Q ．（2）若集合{}2,4,8,,2n A =，求证：(1)()2n n l A -=．（3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．【答案】D【解析】∵集合{}|1P x x =>，集合{}{2|0|0Q x x x x x =->=<或}1x >， ∴P Q Ü．故选D ．2．【答案】C【解析】∵i 3i z ⋅=-， ∴223i (3i)i 3i i 13i 1i 1z ---====---， ∴其对应的点是(1,3)--，位于第三象限．故选C ．3．【答案】C【解析】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b =知：在A 中，||2a =，||2b =，∴||||a b ≠，故A 错误；在B 中，2a b ⋅=，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()a b b -⊥，故C 正确；在D 中，∵2011≠， ∴a 与b 不平行，故D 错误．综上所述．故选C ．4【答案】B 【解析】A 项．∵π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴πππsin 2πsin 2()233f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误； B 项．∵πππsin 2sin 00663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 的图象C 关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；∴()f x 的图象C 由函数()sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位得到，故C 错误； D 项，当ππ,122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,323x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 在区间ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭上先增后减，故D 错误．5．【答案】B 【解析】由正弦定理可得sin sin AC BC B A=， ∴若π3B =，则2ππsin sin 34AC =，得π2sin 33πsin 4AC ==，必要性成立；若3AC =，则32πsin sin 4B =，得π3sin 34sin 22B ==，π3B =或2π3，充分性不成立， ∴“3AC =”是“π3B =”的必要不充分条件．故选B ．6．【答案】C【解析】根据函数的图象知，函数x y a =是指数函数，且当1x =时，(1,2)y a =∈；函数b y x =是幂函数，且2x =时，2(1,2)b y =∈，∴(0,1)b ∈；函数log c y x =是对数函数，且当2x =时，log 2(0,1)c y =∈，∴2c >．综上所述，a ，b ，c 的大小是c a b >>．故选C ．7．【答案】D【解析】作出函数()y f x =的图象，如图所示，作出函数(1)y a x =+，则直线恒过点(1,0)-，关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，即为直线与曲线y x =相交时，当()f x 的图象有三个交点，当直线与曲线y x =相切时，设切点为(,)m m ，则112y x'=⋅，则切线斜率为112a m⋅=，又(1)a m m +=，由此解得12a =（负值舍去），所以实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选D ．8．【答案】D【解析】对于①，∵平面ADD A ''∥平面BCC B ''，∴EN MF ∥，同理：FN EM ∥，∴四边形MENF 为平行四边形，故①正确；对于②，四边形MENF 的面积1()()2S f x EF MN ==⨯，当M 为BB '的中点时，即12x =时，MN 最短，此时面积最小，故②正确；对于③，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以M ，N 为顶点的两个小棱锥，因为AEF △的面积是个常数，M ，N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥C MENF '-的体积()V P x =是常函数，故③正确；对于④，多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B C D V h x V ''''-===为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．【答案】0c ∀>，方程20x x c -+=无解【解析】在否定特称命题时，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论，故命题:0p c ∃>，方程20x x c -+=有解，则p ⌝为：0c ∀>，方程20x x c -+=无解．10．【答案】17【解析】∵π02α-<<，且4cos 5α=， ∴23sin 1cos 5αα=--=-，3tan 4α=-， ∴π1tan 1tan 41tan 7ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭．11．【答案】7 【解析】由题意可得π||||cos ,32cos33a b a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=， ∴222||29467a b a b a b -=+-⋅=+-=， ∴||7a b -=．12．【答案】0【解析】π2π22ππ111(sin )d cos πcos ππcos(π)0222x x x x x --⎛⎫⎛⎫+=-=----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．13．【答案】36【解析】∵11AB C △，122C B C △，233C B C △是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上， ∴四边形121AC B B 为菱形，∴21π6B AC ∠=，211AB B C ⊥， ∴213AB PC ⊥，23AB BC ⊥，∴21223313223π()(2)22236cos366AB AP AP AB AC C P C P AB AC ⋅+=⋅++=⋅=⨯⨯⨯=．14．【答案】①②【解析】若()f x 为Ω函数，则由0a b +=时有()()0f a f b +=可得()f x 为奇函数，又0a b +>时，()()0f a f b +>，故a b >-时，()()f a f b >-，即()()f a f b >-，故()f x 为增函数，∴若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且单调递增，则函数()f x 为Ω函数．易知，①②③都是奇函数，当sin y x x =+时，1cos 0y x '=-≥；当133xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，ln 3(33)0x x y -'=⋅+>； ∴①②都在定义域R 上单调递增；③在定义域R 上没有单调性．故是Ω函数的为：①②．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-， 23sin cos 3cos 2x x x =+-， 13sin 2cos222x x =+， πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令πππ2π22π232k x k -++≤≤，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -+≤≤，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间是5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）由题意得，π()()sin 223g x f x x αα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，∴(0)0g =，即πsin 203α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴π2π3k α+=，k ∈Z ，又∵0α>，∴α的最小值为π3．16．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2C B ∠=∠，3cos 3B =， ∴21cos cos22cos 13D B B ==-=-，222sin 1cos 3D D =-=，又∵1AD =，3CD =，∴ACD △的面积1122sin 132223S AD CD D =⋅⋅=⨯⨯⨯=．（2）在ACD △中，由余弦定理得：2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=， ∴23AC =，又∵23BC =， ∴由正弦定理得sin sin AC AB B ACB =∠，即23sin sin(π2)AB B B =-， ∴23sin sin 2AB B B =，即23sin 2sin cos AB B B B=，即232cos AB B =， ∴343cos 4343AB B ==⨯=．17．【答案】见解析．【解析】解：（1）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时．（2）由题意，X 可能的取值为0，1，2，3，4711(0)C 35P X ===， 133447C C 12(1)C 35P X ===， 223447C C 18(2)C 35P X ===， 3447C 4(3)C 35P X ===， ∴X 的分布列为： X 01 2 3 P 112184数学期望1121846012()012335353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．（3）124a =，125b =．18．【答案】见解析．【解析】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴D 是BD 中点，设G 是DE 的中点，连接OG ，FG ，则OG BE ∥，且12OG BE =， ∵四边形ABEF 为直角梯形，且AF BE ∥，22BE AF ==， ∴AF BE ∥，且12AF BE =， ∴AF OG ∥，且AF OG =， ∴四边形AOGF 为平行四边形，∴AO FG ∥，即AC FG ∥，又∵AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，∴AC ∥平面DEF ．（2）（i ）由已知，AF BE ∥，AB BE ⊥，∴AF AB ⊥，∵二面角D AB E --为直二面角，∴平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD ，∴AF AD ⊥，AF AB ⊥，又四边形ABCD 为正方形，∴AB AD ⊥，∴AD ，AB ，AF 两两垂直，以A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，由22AB BE AF ===得：(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ． ∴(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =，(2,0,2)CE =-．设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则：00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x z -=⎧⎨+=⎩，取1x =，则0y =，1z =-，∴(1,0,1)n =，设直线AC 与平面CDE 所成的角为θ，则有：21sin |cos ,|2222AC n θ===⨯， ∵090θ︒≤≤，∴30θ=︒，即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，设(01)DP DEλλ=≤≤，则DP DE λ=，设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，∵(2,2,2)DE =-，∴(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-，∴22x λ-=-，2y λ=，2z λ=，解得22x λ=-，2y λ=，2z λ=，即P 点坐标为(22,2,2)λλλ-，∵(0,2,0)B ，∴(22,22,2)BP λλλ--，又(2,0,1)DF =-，(0,2,1)EF =--，∴00BP DF BP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2(22)202(22)20λλλλ--+=⎧⎨---=⎩，解得23λ=． ∵2[0,1]3∈， ∴DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．19．【答案】见解析．【解析】解：（1）当1a =时，2()e (1)x f x x x =++，2()e (32)x f x x x '=++， ∴(0)1f =，(0)2f '=，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为：12(0)y x -=-，即21y x =+．（2）由2()e ()x f x x ax a =++得2()e [(2)2]e ()(2)x x f x x a x a x a x '=+++=++，令()0f x '=，解得：2x =-或x a =，①当2a -=-，即2a =时，2()e (2)0x f x x '=+≥，()f x 在R 上单调递增；②当2a ->-，即2a <时，令()0f x '>，得2x <-或x a >-；令()0f x '<，得2x a -<<-，∴()f x 的单调增区间是(,2)-∞-和(,)a -+∞，单调减区间是(2,)a --；③当2a -<-，即2a >时，令()0f x '>，得x a <-或2x >-；令()0f x '<，得2a x -<<-，∴()f x 的单调增区间是(,)a -∞-和(2,)-+∞，单调减区间是(,2)a --．综上所述，当2a =时，函数()f x 在R 上递增；当2a <时，()f x 的单调增区间是(,2)-∞-和(,)a -+∞，单调减区间是(2,)a --；当2a >时，()f x 的单调增区间是(,)a -∞-和(2,)-+∞，单调减区间是(,2)a --．（3）由（1）得：当4a ≥时，函数()f x 在[),x a ∈-+∞上有()(2)f x f -≥，且2(2)e (4)0f a --=-≤，∵4a ≥，∴(,)x a ∈-∞-时，()0x x a +≥，e 0x >，()e [()]0x f x x x a a =++>，∴4a ≥时，函数()f x 存在最小值(2)f -．20．【答案】见解析．【解析】解：（1）由246+=，268+=，2810+=，4610+=，4812+=，6814+=得()5l P =，由246+=，2810+=，21618+=，4812+=，41620+=，81624+=得()6l Q =．（2）证明：∵(1)i j a a i j n +<≤≤最多有2(1)C 2n n n -=个值， ∴(1)()2n n l A -≤，又集合{}2,4,8,,2n A =，任取i j a a +，(1,1)k l a a i j n k l n +<<≤≤≤≤，当j l ≠时，不妨设j l <，则22j i i j j l k l a a a a a a ++<=<+≤，即i j k l a a a a +≠+，当j l =，i k ≠时，i j k l a a a a +≠+，∴当且仅当i k =，j l =时，i j k l a a a a +=+，即所有(1)i j a a i j n +<≤≤的值两两不同， ∴(1)()2n n l A -=．（3）()l A 存在最小值，且最小值为23n -，不妨设123n a a a a <<<<，可得1213121n n n n a a a a a a a a a a -+++<<+<<<<+， ∴(1)i j a a i j n +<≤≤中至少有23n -个不同的数，即()23l A n -≥，取{}1,2,3A n =，则{}3,4,5,21i j a a n +∈-，即i j a a +的不同值共有23n -个，故()l A 的最小值为23n -．。

北京市2017届高三数学(理)综合练习48 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 A.0 B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的取值范围是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C.D. 4第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）（第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△ABC 内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是，点M 的运动轨迹的周长是 .正视图侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，==1EB EF ，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）CA FEBMD已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a L ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=L ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++L L ．设1()i i A T A +=，0,1,2i =L ．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ；（Ⅱ）证明存在唯一的数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个L 14243；（Ⅲ）若数列0A ，经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个L 14243．设1m m m n S a a a +=+++L ，1,2,,m n =L ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数．数学试卷（理工类）一、选择题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=，所以sin )210αα+=，所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin2sin cos cos αααα++=4925，所以 24sin 225α=. ……………6分（II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+sin )sin )x x x x +- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ，又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=((3,-2,0)2EM ,AD=u u u r u u u r，设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩ 令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅u u u r ，所以EM n ⊥u u u r，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD =u u u r是平面EBAF 的一个法向量.所以1cos <=2BD BD,BD n n n ⋅>=⋅u u u ru u u r u u u r，又二面角D-AF -B 为锐角，故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P （0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t u u u r u u u r.所以cos <PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r ， NCA F EBMD=化简得35-=，解得0t =<. 所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分（18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+. （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分（1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分（2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得1x a <,或1x a +>；由()0f x '<得11x a a<<.所以函数()f x 单调递增区间是1(,a --∞和1(,)a ++∞,单调递减区间. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x << 由()0f x '<得1x a +<,或1x a>.所以当10a -<<时,函数()f x单调递减区间是1(,a +-∞和1(,)a -+∞,单调递增区间11(,a a +. ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分）解:（Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a = 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设(1,)3A，(1,3B -，因为132233222k k -++=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a L 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---L L ．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分对于数列,0,0,,0n L 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n L 1T -−−→1,1,0,,0n -L 1T -−−→2,0,2,0,,0n -L 1T-−−→3,1,2,0,,0n -L1T -−−→L 1T -−−→01,,,n a a a L ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a L 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n L ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形．假设存在两个数列01,,,n a a a L 及01,,,n b b b L 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n L ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=L L 若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n L ；若n a n =，则120n a a a ====L ，经过一次T 变换，有0,0,,0,n L T−−→1,1,,1,0L 由于3n ≥，可知1,1,,1,0L （至少3个1）不可能变为,0,,0n L ．所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a L T−−→121,,,,n a a a '''L ，01,,,n b b b L T−−→121,,,,n b b b '''L ，则0nn a b ''==，所以1211n a a a n -'''+++=-L ，1211n b b b n -'''+++=-L ．因为110,,,n a a -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ， 110,,,n b b -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-L ．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a L T−−→111,,,,0n a a -''L ，01,,,n b b b L T−−→111,,,,0nb b -''L ，所以i i a b =，1,2,,i n =L ，从而唯一性得证． ………9分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =L ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n L 时，有0m S =，1,2,,m n =L ，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。

北京东直门中学2016—2017学年高三上学期期中考试理科数学试题

北京东直门中学2016—2017学年高三上学期期中考试理科数学试题数学试题（理）1.已知集合{}|12A x x =-<，{}211B x og x =，则A B =（）． A. (1,3)-B. (0,3)C. (2,3)D. (1,4)-2.“0x >”是“20x x +>”的（）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.设命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为（）． A. 0x ∀>，sin 21x x ≤- B. 0x ∃>，sin 21x x <- C. 0x ∀>，sin 21x x <-D. 0x ∃>，sin 21x x ≤-4.已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=（）． A. 35B. 35-C.45D. 45-，5.函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（）6.为得到sin3cos3y x x =+ 图象，可将y x = 的图象A. 向右平移π4个单位B. 向左平移π4个单位C. 向右平移π12个单位D. 向左平移π12个单位7.设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A. 若a b a b a b +=-⊥，则 B. 若,a b a b a b ⊥+=-则C. 若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D. 若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=-8.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,xf x x R ≥∈．（） A. 若()f a b ≤，则a b ≤ B. 若()2bf a ≤，则a b ≤ C. 若()f a b ≥，则a b ≥ D. 若()2bf a ≥，则a b ≥9.定积分21d 1x x ⎰-的值为__________． 10.在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________． 11.设π02θ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b ⋅=，则t a n θ=__________．12.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．13.已知函数2,()24,x x m f x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 14.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．15.已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．16.已知数列{}(1,2,3,)n a n =满足12n n a a +=，且1a ，21a +，3a 成等差数列，设23log 10n n b a =-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求数列{}n b 前n 项和n T ．17.在ABC △中，内角A 、B 、C 、所对边长分别为a 、b 、c ，且1cos 2B =-．（1）若2a =，b =求角C 的大小．（2）求sin sin A C ⋅的取值范围．18.已知函数1()e xxf x -=．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()ef x f x -≥-成立，求实数a 最小值．的19.如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率2. (I )求椭圆E 的方程；(II )经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由。

2017届北京市东城区高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞06．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为．11．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，由集合交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．故选：D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线和圆相切得到关于k的方程，解出即可．【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，则由得：（1+k2）x2﹣6kx+9=0，故△=72k2﹣36（1+k2）=0，解得：k=±1，故“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的充分不必要条件，故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，S的值，可得当S=时不满足条件S ≤，退出循环，输出k的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件S≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8．故选：B．5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可．【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；对于B：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．故选D6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，∵f（0）=0，∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），则x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞），故选：C7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）。

北京市东城区东直门中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题

北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11 考试时间：120分钟总分 150分第一部分（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）． 1．已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B =（）．A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-【答案】C【解析】{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<，{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23A B x x =<<．故选C ．2．“0x >”是“20x x +>”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】201x x x +>⇔<-或0x >，∴“0x >”是“20x x +>”的充分不必要条件．故选A ．3．设命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为（）．A ．0x ∀>，sin 21x x -≤B ．0x ∃>，sin 21x x <-C ．0x ∀>，sin 21x x <-D ．0x ∃>，sin 21x x -≤【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x -≤”．故选A ． 4．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=（）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-，【答案】D 【解析】∵π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴4sin(π)sin 5αα+=-=-．故选D ．5．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -=在同一直角坐标系下的图像大致是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数1()2x g x -=，当0x =时，函数值为2，过点(0,2)，排除B ，D ．对于函数2()1log f x x =+，当1x =时，函数值为1，过点(1,1)，排除A ．综上，故选C ．6．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x 的图像（）．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【解析】ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将y x 的图象向左平移π12个单位．故选D ．7．设a ，b 是两个非零向量（）． A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=-【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，|||||a b a b +-≥|，其中等号当且仅当向量a ，b 共线时成立，所以由||||||a b a b +=-，可得存在实数λ，使得a b λ=．故选C ．8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x ∈R ．（）． A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】由题意可得下图：A 项，1()||f a b '<，1a b '>，故A 项错误；B 项，若()f a b ≠，如图，1()2b f a <，1a b <，若()2bf a =，则等号成立，故B 项正确；C 项，2()||f a b >，2a b <，故C 项错误；D 项，2()2bf a >，2a b <，故D 项错误．综上所述，故选B ．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．定积分21d 1x x -⎰的值为__________．【答案】23【解析】1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰10．在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________．【答案】12【解析】12122-==>，31log 2log 2>．故三个数12，122-，3log 2中最小的数是12．11．设π02θ<<，向量(sin2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b ⋅=，则tan θ=__________．【答案】12【解析】∵22(sin2,cos )(1,cos )sin2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθθθθ⋅=⋅-=-=-=， ∴22sin cos cos θθθ=， ∵π02θ<<，∴cos 0θ>，∴2tan 1θ=，解得1tan 2θ=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x =x -;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．【答案】2 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以当1x >时，()(1)f x f x =-，故(6)(1)f f =；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以(1)(1)f f =-．当0x <时，3()1f x x =-，所以(1)2f =-，故(1)2f =．13．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．【答案】(3,)+∞ 【解析】)=x 22mx+4m (x>m )m m 2当0m >，函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨->⎩≤+的图象如图：∵x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-=-->-++， ∴y 要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则：24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得，3m >．故m 的取值范围是(3,)∞+．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB【答案】(0,4)【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，6,4F （），①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ≤≤，则(,4)PE x ==-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x ⋅=-+，∵[]0,6x <，∴716PE PF ⋅≤≤．∴当7λ=时有一解，当716λ<≤时有两解．②若P 在AD 上，设(0,)P y ，06y ≤≤，则(0,4)PE y =-，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴016PE PF ⋅≤≤．当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．③若P 在AB 上，设(,6)x x ，06x ≤≤，则(,2)PE x =--，(6,2)PF x =--， ∴2=64PE PF x x ⋅-+．∵06x ≤≤，∴74PE PF -⋅≤≤．∴当7λ=-时有一解，当72λ-<≤时有两解．④若P 在BC 上，设(6,)P y ，06y ≤≤，则(6,4)PE y =--，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴16PE PF ⋅0≤≤．∴当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．综上所述，∴04λ<<．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）根据题意得：222()sin 2sin cos cos 2cos f x x x x x x =-++ 21sin 22cos x x =-+ sin 2cos 2x x =-π24x⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数()f x的最小正周期2ππ2T==．由πππ2π22π+242k x k--≤≤，k∈Z，可得：3πππ88k x kλ-≤≤+，k∈Z故函数()f x的单调递增区间是π3ππ,π88k k⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+，()k∈Z．（2）∵π3π,44x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin24x⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦π24x⎛⎫⎡-∈-⎪⎣⎝⎭，即()f x⎡∈-⎣，故函数()f x在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．16．已知数列{}(1,2,3,)na n =满足12n na a+=，且1a，21a+，3a成等差数列，设23log10n nb a=-．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式．（2）求数列{}n b的前n项和n T．【答案】【解析】（1）12n na a=+，∴{}n a为等比数列，其公比为2．∵1a，21a+，3a成等差数列，∴2132(1)a a a=++，即1112(21)4a a a=++，解得：12a=．∴112n nna a q-==，222log103log210310nn nb a n=-=-=-，故2nna=，310nb n=-．（2）由310nb n=-，可得{}n b的前几项和为1(317)2nS n n=-．当13n-≤≤时，0nb<，即1(317)2n nT S n n=-=--；当4n≥时，可得：231317482(317)2422n nn nT S S n n-=-=-=++．综上可得，22317,132()31748,42nn nnT nn nn⎧-⎪⎪=∈⎨-⎪⎪⎩N≤≤≥++．17．在ABC △中，内角A 、B 、C 、所对边的长分别为a 、b 、c ，且1cos 2B =-．（1）若2a =，b =C 的大小．（2）求sin sin A C ⋅的取值范围．【答案】【解析】（1）在ABC △中，1cos 2B =-，(0,π)B ∈,∴2π3B =,sin B =．由正弦定理sin sin a b A B =，可得：2sin A =，∴1sin 2A =，∴π6A =． ∴ππ6C A B =--=．（2）π1sin sin sin sin sin sin 32A C C C C C C ⎫⎛⎫⋅=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111π12cos2sin 244264C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭++． ∵π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π2,666C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+．∴π1sin 2,162C ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，∴1π11sin 20,2644C ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，即1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦．故sin sin A C ⋅的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．18．已知函数1()e xxf x -=．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()e f x f x --≥成立，求实数a 的最小值．【答案】【解析】（1）∵1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，∴(0)1f =，(0)2f '=-， ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为2-，切点为(0,1)， ∴切线方程为：21y x =-+，即210x y -=+．（2）由()0f x =，可得1x =，即零点为1；由2x >时，()0f x '>，()f x 递增，2x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得：当2x =时，()f x 取得极小值，21()(2)e f x f ==-极小值，无极大值．【注意有文字】（3）当1x >时，1()0e x x f x -=<，当1x <时，1()0e xxf x -=>，若1a <，令12x =，2[,1)x a ∈，则1x ，[)2,x a ∈∞+，由于22()()0f x f x ⇔-<，则有121221()()()()e f x f x f x f x -<==-，不符合题意；若1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1()0f x ≤，2()0f x ≤，则有2()0f x -≥，所以121221()()()()e f x f x f x f x -=-≥≥，即1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1221()()e f x f x --≥成立．综上所述，实数a 的最小值是1．19．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -．（1）求椭圆E 的方程．（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），判断直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：c a =1b =，结合222a b =+c ，解得：a ，1b =，1c =，∴椭圆的方程为：2212x y =+．（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-≠+，将直线方程与椭圆方程联立，22(1)1,(2)12y k x k x y =≠⎧⎪⎨=⎪⎩+++，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k ---=++．由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -=++，1222(2)12k k x x k -=+，从而直线AP ，AQ 的斜率之和：12121212121211222(2)AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x --===-+++++++++ 4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=-⋅=--=-+．故直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．20．在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，n *∈N ．（1）当1m =时，求2a ，3a ，4a 的值．（2）是否存在实物m ，使2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列？证明你的结论．（3）当14m >时，证明：存在k *∈N ，使得2016k a >．【答案】【解析】（1）当1m =时，211n na a =++，10a =， ∴21a =，32a =，45a =．（2）∵2a ，3a ，4a 成等差数列，∴3243a a a a -=-，即222233a m a a m a -=-++，∴223232()()0a a a a ---=， ∴320a a -≠，∴3210a a -=+．将2a m =，23a m m =+，代入上式，解得1m =- 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．∴存在1m =-2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列．（3）∵221111244n n n n n a a a m a a m m ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+++，又14m >，∴令104d m =->． ∵1n n a a d --≥，12n n a a d ---≥，，21a a d -≥，∴1(1)n a a n d --≥，即(1)n a n d -≥．取正整数20161k d>+，则： 2016(1)2016k a k d d d ⎛⎫->⋅= ⎪⎝⎭≥．故当14m >时，存在*k ∈N ,使得2016k a >．。

北京市东直门中学2017届高三提高测试卷(六)(数学理)(含答案)word版

2016-2017北京东直门中学高三数学提高六(理)一、选择题1. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n项和，则3253S S S S --的值为（）A ．3B ．2C ．15D ．不存在2. 已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为)0,0(,>>±=b a x aby ，若双曲线上有一点()00,M x y ，使||||00x b y a >，那双曲线的焦点（）。

A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.当b a >时在x 轴上 D.当b a <时在y 轴上3. a 是实常数，函数()f x 对于任何的非零实数x 都有1()()1,(1)1f a f x x f x=--=且，则不等式()0f x x -≥的解集为（）A ．1(,](0,1]5-∞-⋃B ．1(,][1,)5-∞-⋃+∞C ．1[,0(0,1]5-⋃D ．1[,0)[1,)5-⋃+∞4. 已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆12222=+by a x 的两个焦点，P 为椭圆上一点且221c PF PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是 ( ) A． B ．11[,]32 C． D．二、填空题5. 过双曲线2212y x -=的右焦点作直线交双曲线于,A B 两点，且4AB =，则这样的直线有6.设11log )(2+-=x x x f ，∙∈-++=N n nn f n f n f a n ),1()2()1( ，则2011a = ．7.已知2n a n n λ=+，且1n n a a +>对一切正整数n 恒成立，则λ的取值范围．8. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2(*)nnS n N S ∈是非零常数，则称数列{}n a 为“和等比数列”。

（1）若数列{2}n b 是首项为2 ，公比为4的等比数列，则数列{}n b （填“是”或“不是”） “和等比数列”；（2）若数列{}n c 是首项为1c ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且数列{}n c 是“和等比数列”，则d 与1c 之间满足的关系为三、解答题9.对于函数()f x 和)(x g ，若存在常数,k m ，对于任意x R ∈，不等式)()(x g m kx x f ≥+≥都成立，则称直线y kx m =+是函数)(),(x g x f 的分界线. 已知函数()(1)(x f x e ax e =+为自然对数的底，a R ∈为常数）. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)设1a =，试探究函数()f x 与函数2()21g x x x =-++是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.10. 已知点列()0,n n x A 满足：0111n n A A A A a +⋅=-，其中N n ∈，又已知10-=x ，111>=a x ，.(1)若()()*+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式； (2)已知点)B，记()*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：n S <。

北京市东城区东直门中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题含解析

北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11 考试时间：120分钟总分 150分第一部分(选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）． 1．已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B =（）．A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-【答案】C【解析】{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<,{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23A B x x =<<．故选C ．2．“0x >"是“20x x +>”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】201x x x +>⇔<-或0x >，∴“0x >”是“20x x +>"的充分不必要条件．故选A ．3．设命题:0p x ∃>,sin 21x x >-，则p ⌝为( ）． A ．0x ∀>,sin 21x x -≤B ．0x ∃>，sin 21x x <-C ．0x ∀>，sin 21x x <-D ．0x ∃>,sin 21x x -≤【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x -≤"．故选A ． 4．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=( ）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-，【答案】D 【解析】∵π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴4sin(π)sin 5αα+=-=-．故选D ．5．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -=在同一直角坐标系下的图像大致是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数1()2x g x -=,当0x =时，函数值为2,过点(0,2),排除B ，D ．对于函数2()1log f x x =+，当1x =时，函数值为1，过点(1,1)，排除A ．综上,故选C ．6．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x =的图像( ）．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【解析】ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将y x 的图象向左平移π12个单位．故选D ．7．设a ,b 是两个非零向量（）． A ．若||||||a b a b +=-,则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=-【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，|||||a b a b +-≥|，其中等号当且仅当向量a ，b 共线时成立，所以由||||||a b a b +=-，可得存在实数λ，使得a b λ=．故选C ．8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x ∈R ．（）． A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥,则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】由题意可得下图：A 项，1()||f a b '<，1a b '>,故A 项错误；B 项，若()f a b ≠,如图，1()2b f a <，1a b <，若()2bf a =，则等号成立，故B 项正确；C 项，2()||f a b >，2a b <,故C 项错误；D 项，2()2bf a >,2a b <，故D 项错误．综上所述，故选B ．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分,共30分） 9．定积分21d 1x x -⎰的值为__________．【答案】23【解析】1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰10．在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________．【答案】12【解析】12122-==>，31log 2log 2>．故三个数12,122-，3log 2中最小的数是12．11．设π02θ<<，向量(sin2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b ⋅=，则tan θ=__________．【答案】12【解析】∵22(sin2,cos )(1,cos )sin2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθθθθ⋅=⋅-=-=-=， ∴22sin cos cos θθθ=， ∵π02θ<<，∴cos 0θ>，∴2tan 1θ=,解得1tan 2θ=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x =x -;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-;当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．【答案】2 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以当1x >时,()(1)f x f x =-，故(6)(1)f f =；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-,所以(1)(1)f f =-．当0x <时，3()1f x x =-，所以(1)2f =-,故(1)2f =．13．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．【答案】(3,)+∞ 【解析】)=x 22mx+4m (x>m )m m 2当0m >，函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨->⎩≤+的图象如图：∵x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-=-->-++， ∴y 要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则：24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得，3m >．故m 的取值范围是(3,)∞+．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB【答案】(0,4)【解析】以DC 为x 轴,以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，6,4F （），①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ≤≤,则(,4)PE x ==-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x ⋅=-+，∵[]0,6x <，∴716PE PF ⋅≤≤．∴当7λ=时有一解，当716λ<≤时有两解．②若P 在AD 上，设(0,)P y ,06y ≤≤，则(0,4)PE y =-，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴016PE PF ⋅≤≤．当0λ=或416λ<≤,有一解，当04λ<≤时有两解．③若P 在AB 上,设(,6)x x ，06x ≤≤，则(,2)PE x =--，(6,2)PF x =--, ∴2=64PE PF x x ⋅-+．∵06x ≤≤，∴74PE PF -⋅≤≤．∴当7λ=-时有一解,当72λ-<≤时有两解．④若P 在BC 上,设(6,)P y ，06y ≤≤，则(6,4)PE y =--，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴16PE PF ⋅0≤≤．∴当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．综上所述，∴04λ<<．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）根据题意得：222()sin 2sin cos cos 2cos f x x x x x x =-++ 21sin 22cos x x =-+ sin 2cos 2x x =-π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==．由πππ2π22π+242k x k --≤≤，k ∈Z ，可得:3πππ88k x k λ-≤≤+，k ∈Z故函数()f x 的单调递增区间是π3ππ,π88k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+，()k ∈Z ．（2）∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 24x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π24x ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭，即()f x ⎡∈-⎣，故函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．16．已知数列{}(1,2,3,)n a n =满足12n n a a +=，且1a ,21a +，3a 成等差数列，设23log 10n n b a =-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】【解析】（1）12n n a a =+，∴{}n a 为等比数列,其公比为2．∵1a ,21a +，3a 成等差数列,∴2132(1)a a a =++，即1112(21)4a a a =++，解得:12a =． ∴112n n n a a q -==，222log 103log 210310n n n b a n =-=-=-, 故2n n a =，310n b n =-．（2）由310n b n =-，可得{}n b 的前几项和为1(317)2n S n n =-．当13n -≤≤时，0n b <,即1(317)2n n T S n n =-=--；当4n ≥时，可得：231317482(317)2422n n n n T S S n n -=-=-=++．综上可得，22317,132()31748,42n n nn T n n n n ⎧-⎪⎪=∈⎨-⎪⎪⎩N ≤≤≥++．17．在ABC △中,内角A 、B 、C 、所对边的长分别为a 、b 、c ,且1cos 2B =-．(1）若2a =,b =求角C 的大小． (2）求sin sin A C ⋅的取值范围．【答案】【解析】(1）在ABC △中,1cos 2B =-，(0,π)B ∈，∴2π3B =，sin B =．由正弦定理sin sin a b A B=，可得:2sin A ，∴1sin 2A =,∴π6A =． ∴ππ6C A B =--=．（2）π1sin sin sin sin sin sin 32A C C C C C C ⎫⎛⎫⋅=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111π12cos2sin 244264C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭++． ∵π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π2,666C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+．∴π1sin 2,162C ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，∴1π11sin 20,2644C ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，即1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦．故sin sin A C ⋅的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．18．已知函数1()e xxf x -=． (1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()e f x f x --≥成立,求实数a 的最小值．【答案】【解析】（1）∵1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，∴(0)1f =，(0)2f '=-， ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为2-，切点为(0,1)， ∴切线方程为：21y x =-+，即210x y -=+．（2)由()0f x =，可得1x =,即零点为1；由2x >时，()0f x '>，()f x 递增，2x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得：当2x =时，()f x 取得极小值，21()(2)e f x f ==-极小值,无极大值．【注意有文字】（3）当1x >时，1()0e x x f x -=<，当1x <时，1()0e x xf x -=>，若1a <,令12x =,2[,1)x a ∈，则1x ，[)2,x a ∈∞+,由于22()()0f x f x ⇔-<，则有121221()()()()e f x f x f x f x -<==-，不符合题意；若1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1()0f x ≤，2()0f x ≤，则有2()0f x -≥，所以121221()()()()e f x f x f x f x -=-≥≥, 即1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1221()()e f x f x --≥成立．综上所述，实数a 的最小值是1．19．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -．（1）求椭圆E 的方程．（2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A )，判断直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值?若是定值,求出改定值;若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：c a =1b =,结合222a b =+c ，解得：a =，1b =，1c =，∴椭圆的方程为：2212x y =+．（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-≠+,将直线方程与椭圆方程联立,22(1)1,(2)12y k x k x y =≠⎧⎪⎨=⎪⎩+++,得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k ---=++．由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -=++，1222(2)12k k x x k -=+，从而直线AP ，AQ 的斜率之和： 12121212121211222(2)AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x --===-+++++++++ 4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=-⋅=--=-+．故直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．20．在数列{}n a 中,10a =，21n n a a m +=+,其中m ∈R ,n *∈N ．（1）当1m =时，求2a ，3a ,4a 的值．（2）是否存在实物m ，使2a ,3a ，4a 构成公差不为0的等差数列?证明你的结论．（3)当14m >时，证明：存在k *∈N ，使得2016k a >．【答案】【解析】（1）当1m =时,211n na a =++,10a =， ∴21a =,32a =，45a =．(2）∵2a ，3a ,4a 成等差数列，∴3243a a a a -=-，即222233a m a a m a -=-++,∴223232()()0a a a a ---=， ∴320a a -≠，∴3210a a -=+．将2a m =，23a m m =+，代入上式，解得1m =- 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．∴存在1m =-2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列．（3)∵221111244n n n n n a a a m a a m m ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+++，又14m >,∴令104d m =->． ∵1n n a a d --≥,12n n a a d ---≥，，21a a d -≥，∴1(1)n a a n d --≥，即(1)n a n d -≥．取正整数20161k d>+,则： 2016(1)2016k a k d d d ⎛⎫->⋅= ⎪⎝⎭≥．故当14m >时,存在*k ∈N ,使得2016k a >．。

北京市2017届高三数学(理)综合练习52 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5}A B ==，那么集合()U A B Uð等于（）A.{1,2,3,4,5}B.{3,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-o sin 60i ×o，则2z 等于（） A.734i - B.134i - C.734i + D.134i + 3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（） A.-2 B. 2 C. -1 D.1 5. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（）A.存在一条直线b ，//,a b b a ÌB.存在一条直线b ，,a b b a ^^C.存在一个平面,,//a ββαβ⊂D.存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥ 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。

若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是（） A ．2,32==n VB ．3,364==n V C ．6,332==n VD ．V=16，n=47．设 ,a b ÎR ，且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A.1a >B.1a <-C. 11a -<<D. ||1a > 8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-. 则1()2010f 等于（） A.1128 B.1256 C. 1512 D.164二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .9.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(,)x y 的概率是 . 10.522()x x+的展开式中2x 的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答) 11.若数列}{),,(11}{*1n nn n a d N n d a a a 则称数列为常数满足∈=-+为调和数列。

北京市2017届高三数学(理)综合练习43 含答案

北京市2017届高三综合练习数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上．1．已知集合M=｛x∈R｜x2﹣x=0｝,N={x｜x=2n+1，n∈Z｝，则M∩N 为（)A．｛0｝B．｛0,1｝C．｛1｝D．∅2．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m=（) A．4 B．2 C．D．3．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛,其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）A．24 B．48 C．72 D．1205．已知二次函数f（x）=ax2+bx，则“f(2）≥0"是“函数f(x)在(1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示,则该几何体的体积为（）A．7 B．C．D．7．向量=（2,0），=(x，y),若与﹣的夹角等于，则｜｜的最大值为( ）A．4 B．2C．2 D．8．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同），若汽车在时刻t的速度v（t）=t米/秒，那么此人( ）A．可在7秒内追上汽车B．不能追上汽车，但其间最近距离为16米C．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D．不能追上汽车,但其间最近距离为7米二、填空题:本大题共6小题,每小题5分，共30分．把答案填在答题卡指定位置．9．已知复数z满足(1+i)z=1﹣i，则复数z=__________．10．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8,则输出的s的值为__________．11．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是__________．12．如图所示,⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O,已知PA=6,AB=，PO=12，则⊙O的半径是__________．13．已知直线l过点P（3，2）,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为__________,此时，直线l的方程为__________．14．已知函数y=f（x）是R上的偶函数,对∀x∈R,都有f（x+4）=f （x）+f（2）成立．当x1,x2∈［0，2］，且x1≠x2时，都有,给出下列命题：（1)f（2）=0；（2)直线x=﹣4是函数y=f(x）图象的一条对称轴；（3）函数y=f(x)在[﹣4，4]上有四个零点;（4）f=f（1)．其中所有正确命题的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

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2016-2017年北京东直门中学高三数学提高测试四 (理)一、选择题1.设点P 是三角形ABC 内一点（不包括边界），且AP m AB n AC →→→=+,.m n R ∈,则22(2)m n +-的取值范围为（）AB (1,5)C 1(,5)2 D2. ,A B 是平面内的两个定点, 点P 为该平面内动点, 且满足向量AB 与AP夹角为锐角θ, |0PB||AB|+PA AB=⋅, 则点P 的轨迹是（）A ．直线（除去与直线AB 的交点 B ．圆（除去与直线AB 的交点）C ．椭圆（除去与直线AB 的交点）D ．抛物线（除去与直线AB 的交点）3.设函数x x f ln )(=,当210x x <<下列结论正确的是（）A ．21211)()(1x x x f x f x -->B ．21212)()(1x x x f x f x -->C ．21211)()(1x x x f x f x ++< D ．以上都不对。

4.已知2010200820062004262422201816141210864,++++-= 则bc ad d c b a =（） A ． 2008 B ．—2008 C ．2010 D ．—20105.已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为'(),'(0)0f x f >，对任意实数x ，都有()0,f x ≥则 (1)'(0)f f 的最小值为（） A ． 2 B ． 32 C ． 3 D ． 52二、填空题6. 若直线2+=kx y 与抛物线x y 42=仅有一个公共点，则实数=k .7. 平面上的向量22,4,0,PA PB PA PB PA PB +=⋅=满足且若向量||,3231PC PB PA PC 则+=的最大值为． 8.()f x 满足,()0,)7(),x R f x f x ∀∈≥-当[0,1)x ∈时，2(02)()21)x x f x x ⎧+≤<⎪=≤<，(2011f 则=9．数列}{n a （*N n ∈）满足⎩⎨⎧<-+≥-=+t a a t t a t a a n n n n n .,2,,1 且11+<<t a t ，其中2>t ．若n k n a a =+（*N k ∈），则k 的最小值为．10.已知函数()()122011122011f x x x x x x x x R =+++++++-+-++-∈ ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是．三、解答题11、椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为2，直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=．（1）求椭圆方程；（2）若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围．12.已知函数211()ln()22f x ax x ax =++-.（a 为常数,0a >）（Ⅰ）若12x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；（Ⅱ）求证：当02a <≤时，()f x 在1[, )2+∞上是增函数；（Ⅲ）若对任意．．的(1, 2)a ∈，总存在．．01[, 1]2x ∈，使不等式20()(1)f x m a >-成立，求实数m 的取值范围.13．已知数列{}n a 满足递推式： 112122(2),1,3n n n n a a n a a a a +--=-≥== （1）若1,{}1n n nb b a =+求数列的通项公式；（2）求证： *12|2||2||2|3,().n a a a n N -+-++-<∈2016-2017年北京东直门中学高三数学提高测试四(理)答案一、选择题1、B2、 B3、A4、D5、A二、填空题6、0，21； 7、34 89、4．10、6 三、解答题11.（1）由22a c c c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得1,22a c b ===∴椭圆C 的方程为：2221x y +=．（2）由AP PB λ= 得()OP OA OB OP λ-=- ， (1)OP OA OB λλ∴+=+又4,143OA OB OP λλλ+=∴+=⇒=设直线l 的方程为：y kx m =+，由2221y kx my x =+⎧⎨+=⎩得222(2)2km (1)0k x x m +++-= 222(2km)4(2)(1)k m ∴∆=-+-224(22)0k m =-+> 由此得2222k m >-． ①设l 与椭圆C 的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则21212222km 1,12m x x x x k k -+=-=++由3AP PB = 得 123x x -=，122212223x x x x x x +=-⎧∴⎨=-⎩，整理得212123()40x x x x ++=22222134022km m k k -⎛⎫∴-+= ⎪++⎝⎭，整理得222(41)22m k m -=- 214m = 时，上式不成立，2222122,441m m k m -∴≠=- ②由式①、②得2222222122(1)104141m m m m m -⎛⎫>-⇔-+< ⎪--⎝⎭2(1)(1)101(21)(21)2m m m m m m -+⇔<⇔-<<--+或112m << ∴m 取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．12.2212()22()211122a ax x a a f x x a ax ax --'=+-=++.（Ⅰ）由已知，得 1()02f '=且 2202a a-≠，220a a ∴--=，0a > ，2a ∴=.（Ⅱ）当02a <≤时，22212(2)(1)02222a a a a a a a a ----+-==≤ ,21222a a-∴≥, ∴当12x ≥时，2202a x a--≥.又201ax ax >+，()0f x '∴≥，故()f x 在1[, )2+∞上是增函数.（Ⅲ）(1, 2)a ∈时，由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]2上的最大值为11(1)ln()122f a a =++-，于是问题等价于：对任意的(1, 2)a ∈，不等式211ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立. 记211()ln()1(1)22g a a a m a =++-+-，（12a <<）则1()12[2(12)]11ag a ma ma m a a'=-+=--++，当0m =时，()01ag a a-'=<+，()g a ∴在区间(1, 2)上递减，此时，()(1)0g a g <=，由于210a ->，0m ∴≤时不可能使()0g a >恒成立，故必有0m >,21()[(1)]12ma g a a a m'∴=--+. 若1112m->，可知()g a 在区间1(1, m i n {2, 1})2m -上递减，在此区间上，有()(1)0g a g <=，与()0g a >恒成立矛盾，故1112m-≤，这时，()0g a '>，()g a 在(1, 2)上递增，恒有()(1)0g a g >=，满足题设要求，01112m m>⎧⎪∴⎨-≤⎪⎩，即14m ≥，所以，实数m的取值范围为1[, )4+∞. 13．解：（1）1211222321n n n n a a a a a a +--=-==-=-= ，121n na a +∴-=11[1()]32n n b ∴=-- ………………5分1111112(1)1111112(1),(1),121211(1)211111111(),()()()32332332n n n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a b b b b b b +++-+++=+=∴=⋅=-++++=-∴-=--∴-=--=--即即（2）由（2）知111[1()]132n n a =--+，3111()2n na ∴+=--2122122122122122124121412121()3332|2|3||,|2|,|2|,|(2)1|21211()211222211|2||2|3()333()2121221222nn k k n k kn k k k k k k k k k k k k ka a a a a -----------∴-==-=-=--+---++∴-+-=+=⋅<⋅=++-+-。