2008年高考数学试题分类汇编——直线与平面

2008年高考数学试题分类汇编
直线与平面
一． 选择题：
1.（全国一11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ B ）
A ．13
B ．3
C ．3
D ．
23
2.（全国二8）正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ B ） A ．3
B ．6
C ．9
D ．18
3.（全国二12）．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
4.（安徽卷3）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ B ）
A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
C ．,,m n m n αα若则‖‖‖
D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
5.（北京卷8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数
()
y f x
=的图象大致是（ B ）
6.（福建卷(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，
则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为D
A.
22
3
B.
2
3
C.
2
4
D.
1
3
7.（广东卷7.将正三棱柱截去三个角（如图1
所示A、B、C分别是GHI
∆三边的中点）得到
的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的
侧视图(或称左视图)为A
8.（海南卷12）已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直
线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定
．．．成立的是（ D ）
A. AB∥m
B. AC⊥m
C. AB∥β
D. AC⊥β
9.（湖北卷4）用与球心距离为1的平面去截面面积为π，则球的体积为D
A B
C
D
M
N
P
A B
C
D
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O
A.
323
π
B.83π
C.
D. 3
10.（湖南卷5）已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( D )
.A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n
11.（湖南卷9）长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，
11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( B )
A ．
42π B ．2
2π
C ．π2
D ．2π2 12.（江西卷9）设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是B A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．
可能与平面α垂直 13.（辽宁卷12）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ D ） A ．不存在
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有无数条
14.（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，
根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ） A ．9π
B ．10π
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
2
2
C ．11π
D ．12π
14.（陕西卷8）长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,
其中
1::AB AD AA =则两,A B 点的球面距离为( C ) A ．
4
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 15.（陕西卷10）如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的
距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ D ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，
D ．m n θϕ<>，
16.（上海卷13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ C ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件
17.（四川卷８）设M 是球心O 的半径OP 的中点，分别过,M O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D )
（Ａ）41 （Ｂ）12 （Ｃ）23 （Ｄ）34
19.（四川卷10）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( B )
A
B
a b l
α
β
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
20.（四川卷12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形，则该棱柱的体积等于( B )
（Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）21.（天津卷5）设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ C ）
A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，
B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥
C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥
D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，
22.（浙江卷9）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得B
（A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥
23.（重庆卷(11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为A
(A)模块①，②，⑤
(B)模块①，③，⑤
(C)模块②，④，⑥
(D)模块③，④，⑤
二． 填空题：
1.（全国一16）已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD △所在平面的距离等
于 ．
2
3
2.（全国二16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）
(两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
A B
C
D 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．)
3.（安徽卷16）已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =
AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是
43
π
4.（福建卷15
，则其外接球的表面积是 . 9π
5.（海南卷14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱柱的顶
3，那么这个球的体积
为 _________4
3
π
6.（江西卷15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB CD 、
的长度分别等于
最大值为 ．5
7.（辽宁卷14
）在体积为的球的表面上有A 、B ，C 三点，AB =1，BC
，A ，C
，则球心到平面ABC 的距离为_________．32
8.（天津卷13）．若一个球的体积
为，则它的表面积为 ．12π
9.（浙江卷（15）如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，
AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于 。

9π
2
三． 解答题：
1.（全国一18）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，
2BC =
，CD =AB AC =． （Ⅰ）证明：AD CE ⊥；
（Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的大小．
解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，
AB AC =，
∴AF BC ⊥，
又面ABC ⊥面BCDE ，
∴AF ⊥面BCDE ， ∴AF CE ⊥．
tan tan 2
CED FDC ∠=∠=
， ∴90OED ODE ∠+∠=，
90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，
CE ∴⊥面ADF ， CE AD ∴⊥．
（2）在面ACD 内过C 点做AD 的垂线，垂足为G ．
C
D
E A
B
CG AD ⊥，CE AD ⊥，
AD ∴⊥面CEG ， EG AD ∴⊥，
则CGE ∠即为所求二面角．
332=⨯=
AD CD AC CG
，3
DG =，
EG ==
，
CE =
则10
10
2cos 222-=⨯-+=∠GE CG CE GE CG CGE ，
πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭
．
2.(全国二20)．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．
（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小． 解法一：
依题设，2AB =，1CE =．
（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．
A
B
C D
E
A
B
C
D
由三垂线定理知，1BD A C ⊥． ··················· 3分 在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，
由于1AA AC FC CE
==，
故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，
CFE ∠与1FCA ∠互余．
于是1A C EF ⊥．
1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，
所以1A C ⊥平面BED ． ······················ 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥， 故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ·············· 8分
EF =
CE CF CG EF ⨯=
=
3EG ==． 13EG EF =
，13EF FD GH DE ⨯=⨯=
．
又1
AC ==
11A G A C CG =-=
1
1tan AG A HG HG
∠=
= 所以二面角1A DE B --
的大小为arctan ． ············ 12分 解法二：
A
B
C D E A
B
C
D F H G
精品文档
实用文档 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -． 依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．
(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DB DE D =， 所以1A C ⊥平面DBE ． ······················ 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则 DE ⊥n ，1DA ⊥n ． 故20y z +=，240x z +=． 令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ·············· 9分 1AC <>，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114
cos 42A C
A C A C <>=
=，n n n ．
所以二面角1A DE B --的大小为arccos 42． 12。