集[1,n]上几个特殊映射的个数
映射个数的公式解释
映射个数的公式解释一、映射的概念（人教版相关知识铺垫）1. 映射的定义。
- 设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A →B为从集合A到集合B的一个映射。
- 例如：集合A = {1,2,3}，集合B={a,b}，我们可以定义映射f：当x = 1时，f(1)=a；当x = 2时，f(2)=b；当x = 3时，f(3)=a。
这就是一个从A到B的映射。
二、映射个数公式。
1. 当集合A有m个元素，集合B有n个元素时，从A到B的映射个数为n^m的解释。
- 对于集合A中的每一个元素，它在映射到集合B时都有n种选择。
- 假设集合A=a_1,a_2,·s,a_m。
对于元素a_1，它可以映射到集合B中的n个元素中的任意一个，有n种映射方式；对于元素a_2，同样也有n种映射方式，因为它的映射选择与a_1的映射选择是相互独立的。
以此类推，对于集合A中的每一个元素都有n种映射方式。
- 根据分步乘法计数原理，从A到B的映射的总个数就是n× n×·s× n（共m个n相乘），即n^m。
- 例如：集合A = {1,2}，集合B={a,b,c}。
对于元素1，它有3种映射结果（可以映射到a，或者b，或者c）；对于元素2，它同样有3种映射结果。
所以从A 到B的映射个数为3^2=9种。
这9种映射可以具体列举出来：- f_1：f_1(1)=a,f_1(2)=a；- f_2：f_2(1)=a,f_2(2)=b； - f_3：f_3(1)=a,f_3(2)=c； - f_4：f_4(1)=b,f_4(2)=a； - f_5：f_5(1)=b,f_5(2)=b； - f_6：f_6(1)=b,f_6(2)=c； - f_7：f_7(1)=c,f_7(2)=a； - f_8：f_8(1)=c,f_8(2)=b； - f_9：f_9(1)=c,f_9(2)=c。
北师大版高中数学必修一学第二章映射讲解与例题
2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区 关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。
高考数学考点一-映射的概念
高考数学考点一-映射的概念高考数学考点一、映射的概念1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A 中的任意一个元素_，在集合B中都存在的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。
包括：一对一多对一高考数学考点二、函数的概念1.函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数_，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(_),_A.其中_叫自变量，_的取值范围A叫函数的定义域;与_的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3.区间的概念：设a,bR,且a①(a,b)={_a⑤(a,+∞)={__a}⑥[a,+∞)={__≥a}⑦(-∞,b)={__高考数学考点三、函数的表示方法1.函数的三种表示方法列表法图象法解析法2.分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。
②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
考点四、求定义域的几种情况①若f(_)是整式，则函数的定义域是实数集R;②若f(_)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;③若f(_)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;④若f(_)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(_)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;⑦若f(_)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题高中地理知识点分析(1)位置：①经纬度位置：(100E-140E)(10S-20N)②海陆位置：东临太平洋，西临印度洋，是亚洲和大洋洲的过渡地带(2)范围：东南亚包括中南半岛和马来群岛两大部分，是亚洲纬度最低的地区。
湘教版高中数学必修一课件1.2.1对应、映射和函数
课堂讲义
• 要点三 映射的个数问题 • 例3 已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A
到集合B的所有不同的映射有多少个？
解 分两类考虑： (1)集合 A 中的两个元素都对应 B 中相同元素的映射有 3 个．
课堂讲义
(2)集合 A 中的两个元素对应 B 中不同元素的映射有 6 个．
∴A 到 B 的映射共有 9 个．
• (2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是 从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映
解 射(1f)的可以个建数立．以下 8 个不同的映射：
课堂讲义
(2)符合要求的映射 f 有以下 3 个：
课堂讲义
要点四 函数的概念 例 4 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( )
有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜ －1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于 －1的元素没有原象．
课堂讲义
• 规律方法 1.解答此类问题的关键是： • (1)分清原象和象； • (2)搞清楚由原象到象的对应法则； • 2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法
则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的 原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．
60°相对应的 B 中的元素是________，与 B 中元素
2 2
相对应的 A 中的元素是________．
答案
(1)D
3 (2) 2
45°
课堂讲义
解析 (1)由映射定义知，B 中至少有元素 1,2,3,4，即 B 中至少 有 4 个元素，选 D. (2)60°角的正弦等于 23，45°角的正弦等于 22，所以 60°的象是 23， 22的原象是 45°.
都有 2 个 y 值与之对应，不是函数，C 项中由于 x－2≥0 且 1
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
—一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
高等工程数学课件--第1章 集合与映射
定义1.2.3 设X、Y、Z是三个非空集合，并设 有两个映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , 由 f1 , f 2 确定 X 到 Z 的映射 f3 : x f2 ( f1 ( x))( x X ) 称为映射 f1 和 f 2 的乘积(product)，记为 f 3 f 2 f1 定理1.2.1 设有映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , f3 : Z W , 则
lim An Ak .
n k 1
如果 An n 1是单调递减集合序列，则
lim An Ak .
n k 1
1.2 映 射(mapping)
定义1.2.1 设X、Y是两个非空集合，如果存在一
个X 到Y 的对应法则 f ，使得对 X中的每一个元素 x 都有Y中唯一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是X 到Y的一个映射,记为 y f (x).
若 B A ，则称 A\B 为B 在A中的余集或B c 的补集，记为 B 。
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合, Ai (i I )为集合X的 子集，则
(1) A ( B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C );
（2） f 是X 到 Y的满映射当且仅当 Y R( f ).
非空集合，X 到自身的双映射称为X的一 一变换(one-to-one transformation)；如果X 是有限集，X 的一一变换称为X 的置换 (permutation)。
非空集合X 上的恒等映射是一个双映射。 例. 微分算子，积分算子，矩阵。
定理1.2.3 映射f :X→Y是可逆映射的充分必 要条件是 f 是X到Y的双映射。 定理1.2.4 设映射f : X→Y ， g :Y→Z，则 (1) 如果 f 和 g 都是单映射，则g f 是单映射；
集合与映射
集合与映射【高考要求】【知识精讲】板块一：集合的含义与表示（一）知识内容1•集合的有关概念⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）•构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）•⑵元素用小写字母a,b,c,…表示；集合用大写字母A,B,C,… 表示•⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作.一.⑷集合的分类：有限集、无限集⑸集合元素的性质：确定性、互异性、无序性2•元素与集合间关系：属于•；不属于■'•3•集合表示法⑴列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“ ｛｝内'的表示集合的方法•例如：｛1, 2,3 , 4 , 5｝，｛1, 2,3, 4, 5；"｝⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如｛x|描述特点｝例如：大于3的所有整数表示为：｛x. Z|x 3｝方程x 2 _2x _5 =0的所有实数根表示为：｛x 三R | x 2「2x 「5 = 0 ｝ ⑶常用集合及符号： 自然数集N非零自然数集N*或N + 整数集Z 有理数集Q 实数集R（二）典例分析：1•集合的有关概念【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（）•A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程x 2 -1 0的实数解D.周长为10cm 的三角形垂A 1 :判断下列元素的全体能否构成集合，并说岀理由。
1、 所有的老人2、 所有的正方形3、 5~8岁的所有人4、 很小的实数可以构成集合【例2】已知x • R ，则集合｛ _1,x 2 _2x ｝中元素x 所应满足的条件为 _________________ .绘三2:已知x • R ，则集合｛3, x,x 2 -2x ｝中元素x 所应满足的条件为 ___________________ .2. 集合与元素间的关系【例3】用“ ”或填空：⑴ 若 A =｛ x | x 2 _3x _4 =0｝，贝U -1 A ; -4 ___________ A ;⑵ 0—0 ；⑶ 0 _｛0｝.的」 3:用符号“ ”或“”填空⑴ 0 ________ N ， 丘 ____________ N ， 716 ______ N⑵—— Q , n Q3•集合的表示方法【例4】下列命题正确的有（ ）⑴集合 込| y =x 2 -门与集合1 x,y | y =x 2 -心是同一个集合； ⑵-丄,0.5这些数组成的集合有5个元素；2 42⑶集合〈x , y | xy < 0 , x, y • R ［是指第二和第四象限内的点集.A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个2练債4:用列举法表示下列集合⑴方程2x2 x -6 =0的根;⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数y =3x • 2与y =丄的交点组成的集合.x板块二：集合间的基本关系（一）知识内容1•子集：对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A为集合B的子集，记作A §B （或B二A），读作“A包含于B ”（或’B包含A ”. 规定：；：二是任意集合的子集.2•真子集：如果集合A B，但存在元素x• B，但x - A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A二B （或B耳A）.-是任意非空集合的真子集.3.相等：如果集合A是集合B的子集（A B），且集合B是集合A的子集（B二A），此时，集合A与集合中的元素是一样的，我们说集合A与集合B相等，记作A =B .（二）典例分析【例5】用适当的符号填空：⑴■ _____ {0}⑵ 2_{（1, 2）}⑶ 0{x | x2 -2x +5 =0}⑷{3, 5} ______ {x | x2 -8x +15 =0}⑸{3, 5} ______ N⑹{x | x =2n +1, n W Z} ___{ x | x =4k ±1, k € Z}⑺{（2 , 3）} —{（3 , 2）}【例6】已知 A ={ x _2 _x _5} , B ={ x m • 1 _ x _2m _1}， B 二A，求m 的取值范围.録壬 5：设A ={ x| _仁：x ：：：3}, B ={ x I x .a},若A二B，则a的取值范围是 ____________ 【例7】{a , b, c} 4 A 4{ a , b , c , d , e , f}，求满足条件的A的个数.【例8】求集合{a,b}的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1, 2, 3, 4, 5/ ' , 100}的子集和真子集的个数.（推导结论）板块三：集合的基本运算（一）知识内容1.相关概念：⑴ 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A U B （读作’A 并 B ”，即A U B ={x |x€ A,或x€ B}.⑵ 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作 A ^B （读作“A 交 B ”，即A^B ={x |x€ A,且x€ B}.⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U .补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作ej A，即q A ={ x | x • U ,且x '' A}.（二）典例分析【例9】已知全集U ={ 1 , 2,3, , A 二{1, 2, 3, 4,5} , B ={4 , 5, 6, 7, 8},C ={3 , 5 , 7,9}求：A B , AB , A（e U B）, q A B , A （B C）粽习6：已知全集U =R , A ={ x 3x +2 a—1} , B ={ x x £/} , C ={ x _x —4 >0} 求：A B , AB , A (e U B) , Qj A B , A (B C)圾「:’7 :设全集U =R , M =fm |方程mx2 _x 一1 =0有实数根］,N -「n |方程x2-x - n =0有实数根［，求ej M N .【例10】若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）⑴若A B =_，则熔A心U B二U⑵若 A B =U，贝V 熔 A [U B⑶若 A B =._，贝V A =B =,A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个【例11】已知集合A =fa2,a • 1,七〉B =「a _3,2a _1,a2• 1?，若A B 亠3?，求实数a的值.離习8 :设全集I ={ x | x < 20 且x 为质数}.若 A 口^B ={3 , 5} , ］B = {7 ,19}且痧A ^={2,17求集合A,B .【例12】若集合A ={ -1,1} , B ={x| mx =1}，且A B二A，则m的值为（A. 1B. -1C. 1 或-1D. 1 或-1 或0统习9:设集合 A - ；x | x2-3x * 2 =0 ' B - ；x | x22( a ' 1)x ' (a^5^^。
北师大版高中数学必修一课件第二章223映射
已知集合 A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B 是 从 A 到 B 的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求 A 中元素 2的像和 B x＝ 2代入对应关系，得其像为( 2＋1，3)． 由xx＋ 2＋11＝＝3254，，得 x＝12. 所以 2的像为( 2＋1，3)，32，54的原像为12. 【方法总结】 关键是分清像与原像，以及像与原像间的对 应关系，通过方程或方程组求解．
4．根据下列所给的对应法则，回答问题： ①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B； ②A＝{x|x 为高一(2)班的同学}，B＝{x|x 为身高}，f：每个同 学对应自己的身高；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝x＋1|x|，x∈A，y∈B．
上述三个对应法则中，是映射的是________，是函数的是 ________．
答案：B
设集合 A＝{a，b，c}，B＝{m，n}，从 A 到 B 的映 射共有几个？将它们分别表示出来．
【解】
从 A 到 B 的映射共 8 个．
【方法总结】 在求从 A 到 B 的映射，确定 A 中每个元素的 像时，要按照一定的顺序，防止重复或遗漏．B 中的某些元素可 以无 A 中的元素与之对应．
3 基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．若 f：A→B 能构成映射，下列说法正确的有( )
(1)A 中的任一元素在 B 中必须有像且唯一；(2)A 中的多个元
素可以在 B 中有相同的像；(3)B 中的多个元素可以在 A 中有相同
的原像；(4)像的集合就是集合 B．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
答案：①② ①
5．判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射，其中哪些 是一一映射？哪些是函数？为什么？
1-4线性映射与线性变换
由于 T(V1n ) ⊂V2m , 由上述证明知它对 V中的线 n 线性运算封闭， 线性运算封闭， 故它是 Vn的子空间． 的子空间．
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( 5 ). 使 Tα = 0 的 α 的全体 N T = { α ∈ V1 n , T α = 0} α 是 V1 n 的子空间 , N T 称为线性变换 T 的核 .
说明： 说明：
那么, 就称 T为从 V1 n 到 V 2 m的线性映射
值域。 称T (V1n ) = R(T ) = { y y = T ( x ) , x ∈ V1n } 为 T 的值域。 线性变换。 若 V1n = V2 m = V ，则称线性映射 T 为线性变换。 满射. 若 T (V1n ) = R(T ) = V2 m , 则称 T 为满射
证明: 证明 若 α 1 , α 2 ∈ N T , ⇒ Tα 1 = 0, Tα 2 = 0, 则 T (α 1 + α 2 ) = Tα 1 + Tα 2 = 0 ⇒ α 1 + α 2 ∈ N T ;
若 α 1 ∈ N T , k ∈ R, 则
T (kα 1 ) = kTα 1 = k 0 = 0 ⇒ kα 1 ∈ N T .
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3. 线性映射与变换的举例 单位变换(恒等变换 ： 单位变换 恒等变换)： E : V → V , α a α , ∀α ∈ V 恒等变换 零变换： 零变换： 0 : V → V , α a 0, ∀α ∈ V 由数k决定的数乘变换 由数 决定的数乘变换： 决定的数乘变换：
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(2)设 x ∈ V1 , 设
01 集合与映射
一般的，任取一个正整数 m ，都能将 Z 分解成 m 个两两不相交的非空子集的并， ，使得每个子集恰好是由除以 m 余数相同 的整数组成的。特别地，取 m 2, Z 则被 分解成偶数子集和奇数子集的并。
设 M 2 ( R)
(a ) a
ij
ij
R; i , j 1, 2
是 R 上一切二阶矩阵组成的集合，令 A0 (aij ) 秩(aij ) 0 A1 (aij ) 秩(aij ) 1
例 A集合表示三个学生，B集合表示两门课,三个学 生 的某种选课法的集合表示可以： A {a, b, c}, B {1 2} ，
用A B的子集表示R {(a,1), (b,1), (b, 2)}
属于子集R表明：第一个分量与第二个分量有关系 不属于R表明：第一个分量与第二个分量无关系
二元关系
有序对集合中元素的个数
二元关系
定义 设A，B是两个集合， A B的子集R称为A，B 间的一个二元关系．当(a，b)∈R时，称a与b具有关 系R，记作aRb；当(a，b) R时，称a与b不具有关 系Ｒ，记作aＲ’b．
二元关系
例 A集合表示三个学生，B集合表示两门课。三个 A 学生选课的所有选法的数学表示可以： B
通过以上2个例子，可概括集合分类的定义.
设 A 为任一个集合，而 是 A 的一些 子集组成的集合， {Ai A i I }
定义
其中 I 是指标集，如果 iI （1） Ai （2） Ai A j i, j I且i j
历史上（困扰人们很久）的著名问题：
⑴二倍立方体问题：作一个立方体使其体积 为一已知立方体体积的两倍。 ⑵三等分任意角问题：给定一个任意角，将 其三等分。 ⑶圆化方问题：给定一个圆（已知半径为 r ），作一个正方形使其面积等于已知圆的面 积。 ⑷n等分一个圆周。 这些问题直到近世代数理论出现后才得到完 全的解决。
映射个数的原理
映射个数的原理
映射个数的原理是指在给定的两个集合间建立一个映射关系时，可以计算出映射的个数。
在数学中，如果一个集合A中的每
一个元素都可以通过一个对应关系与另一个集合B中的唯一
元素相对应，那么我们就称这个对应关系为映射，并且称A
为定义域，B为值域。
要计算映射的个数，其中一个重要的原理是乘法原理。
乘法原理指的是，如果一个实验由若干个步骤组成，且每个步骤都有
k个选项，那么整个实验的总方案数就是这些步骤选项数的乘积。
应用到映射个数的计算中，假设存在一个映射关系f，将集合
A中的元素映射到集合B中，且A中有m个元素，B中有n
个元素。
对于A中的第一个元素而言，有n个选项可以映射
到B中的元素；对于A中的第二个元素而言，也有n个选项；以此类推，对于A中的第m个元素也是有n个选项。
根据乘
法原理，映射的总个数为n * n * n * ... * n（共m个n相乘），即n的m次幂，表示为n^m。
除了乘法原理，还可以应用排列和组合来计算映射个数。
具体使用哪种方法取决于问题的要求和特点。
无论是用乘法原理、排列还是组合，最终都可以得到映射关系的个数。
总结起来，映射个数的计算涉及到乘法原理、排列和组合等数学原理。
通过灵活运用这些原理，可以计算出给定集合间映射的个数。
_近世代数_中的几则计数问题
文章编号:1006-7353(2002)06-0027(06)-02《近世代数》中的几则计数问题Ξ林志恒(玉林师范学院成人教育学院 广西 537000) 摘要:本文精选了近世代数学中涉及有限集合的几个基本概念中的计数问题,并给出了详细计数方法、过程和结果。
关键词:计数问题;映射;等价关系;置换中图分类号:O153 文献标识码:A 《近世代数》是一门十分抽象的课程,它以代数系为基本研究对象。
熟练掌握概念体系以及重要的结论是学好该课程的基本方法。
有限集合或代数系中的几则计数问题对于掌握一些基本概念很有帮助,本文列举数例,以飨读者。
1 有限集合间映射的个数设|A|=m,|B|=n,求A到B 可以定义(1)映射的个数;(2)单射(此时n≥m)个数;(3)满射(此时m≥n)的个数。
解 (1)集合A中的每一个元素在集合B中的象可以是集合B中的任意一个元素,有n 种取法,故映射的个数为n m;(2)单射要求不同的元素有不同的象,因此单射的个数是n 个元素中取m个的排列数P m n;(3)满射要求集合B中每一个元素至少有一个原象,先在集合A中任取n个元素,使得它们在集合B 中有不同的象,共C n m n!=P n m种方法,再让剩下的m-n个元素对应集合B中的任意元素,有n m-n种方法。
因此从集合A到集合B可以定义P n m・n m-n种不同的满射。
特例1 集合A上变换的个数是m m;一一变换的个数(等于单变换的个数也等于满变换的个数)为m!。
特例2 m次对称群S m是m个元素的集合上全部置换(一一变换)按变换的乘法构成的群,因此m次对称群S m的阶|S m|= m!。
2 有限集合的子集的个数设|A|=m,求集合A的子集个数。
解 注意到空集<和集合A本身都是集合A的子集,所以A的子集的个数是:C0m+C1m+C2m+…+C m m=(1+1)m=2m。
3 有限集合上代数运算的个数设|A|=m,求集合A上可以定义多少种不同的代数运算。
高等代数
为可逆映射， 也为可逆映射， ① 若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且 为可逆映射 ② σ : M → M ' 为可逆映射，a ∈ M，若 σ (a ) = a ', 为可逆映射，
则有
σ −1 ( a ′ ) = a .
③ σ为可逆映射的充要条件是 为1—1对应． 为可逆映射的充要条件是σ为 对应． 为可逆映射的充要条件是 对应 对应， 证：若映射 σ : M → M ' 为1—1对应，则对 ∀y ∈ M ' 对应 均存在唯一的 x ∈ M ，使σ(x)＝y，作对应 ＝ ，
空集：不含任何元素的集合，记为φ． ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为 ．
注意：｛ ｝≠φ,空集是任意集合的子集 ：｛φ｝
2、集合间的关系
如果B中的每一个元素都是 中的元素，则称B是 中的每一个元素都是A中的元素 ☆ 如果 中的每一个元素都是 中的元素，则称 是 A的子集，记作 B ⊆ A ，（读作 包含于 ） ，（读作 包含于A） 读作B包含于 的子集，
但是 A ⊆ B ,
因此无论哪一种情况， 因此无论哪一种情况，都有 x ∈ B . 此即， 此即，
A U B ⊆ B. 又因 B ⊆ A U B，∴ A U B = B ．
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 、 ´是给定的两个非空集合， 应法则σ，通过这个法则 对于 中的每一个元素a， 对于M中的每一个元素 应法则 ，通过这个法则σ对于 中的每一个元素 ， 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应 则称 σ为 都有 ´中一个唯一确定的元素 ´与它对应, 为
τ：τ(a)＝aE， ∀a ∈ （E为n级单位矩阵） （是） ： 级单位矩阵） ＝ ， P 为 级单位矩阵 5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个 ） 、 ´为任意两个非空集合， ´ 固定元素. 固定元素 σ：σ(a)＝a0， ∀a ∈ M ： 6）M＝M´＝P[x]（P为数域） ） ＝ ´ 为数域） （ 为数域 σ：σ(f (x))＝f ´(x)， ∀f ( x ) ∈ P[ x ] ： ＝ ， （是） （是）
数学分析 第一章 集合与映射
引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y x y f (x)
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像（也称为原像）. 集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
有理数集
Q
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q p
q Z, p N, p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
正实数集 R x x R, 且 x 0
特殊集合 x x R 且 x2 1 0
开区间 闭区间 半开区间 无限区间
点的 邻域
数学分析中常用 的实数集
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
pN+, qN+,q≤p, q，p互质。我们按以下方式排列这
些有理数。见P8.
作业：p10 2(2),5
5 .笛卡尔( Descartes )乘积集合
设A与B是两个集合，在集合A中任取一个元素x， 在集合B中任取一个元素y，组成一个有序对 (x,y)。
把这样的有序对 (x,y)作为新的元素，它们全体组成
集合论 第4章 无穷集合及其基数
第四章 无穷集合及其基数在第一章中介绍了有限集合及其基数的概念，在这一章中，我们将利用映射，特别是利用一一对应作为工具，建立可数集和连续统集的概念，并研究它们的一些性质，从而得出无穷集合的特征性质（无穷的本质）；然后把有穷集合元素个数的概念推广到无穷集合上去，建立起无穷集合基数的概念；接着建立基数的比较以及基数的算术运算，从而使无穷集合也有了“大小”与“多少”之分；最后，介绍一下集合的一些悖论。
§1 可 数 集N ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩当作标准集有限（穷）－最简单的集合自然数集合－最简单的－无限（穷）无穷不可数集1.1 对等定义1 设X,Y 是两个集合，若X 与Y 之间有一个一一对应，则称 X 与Y 对等，记为X ～Y 。
“～”这是一个关系， 而且是一个等价关系，于是就可以把集合分成几类。
1.2可数集定义定义2 凡与自然数集合N ＝｛1，2，3，…，n ，……｝对等的集合都称为无穷可数集合，简称可数（或可列集、可列）。
说明：(1) 以后无特殊说明，N 总是代表自然数集。
2.“无穷”与“无限”称为同义词，不加区分。
类似的，“有穷”与“有限”也是一样。
定义3 （等价定义）若从自然数集N 到集合X 存在一个一一对应f ：N→X，则称集合X 是无穷可数集合，或可数。
定义4 若X 有限或无穷，则称X 至多可数。
若X 不是可数集且也不是有限集，则称X 为不可数的无穷集，或不可数集。
（但是，在科学上很少有用否定词下定义的）说明：（1）有限集合既不是可数集也不是不可数集 （2）可数与不可数只是对无穷集合而言的。
例题例1．所有整数形成的集合是一个可数集。
12345670112233↓↓↓↓↓↓↓↓-+-+-+01122331234567---↓↓↓↓↓↓↓↓22:,()22n f N I f n n n ⎧⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭→=⎨⎪-⎪⎩不能整除；能整除。
210:,()2 0m m f I N f m m m +≥⎧⎪→=⎨⎪⎩当时当＜时显然，f 是一一对应。
第五章代数结构
称二元运算+k为模k加法。
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Nk上的二元运算×k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和 j，有
ij
ijk
ikj ij除k以 的余i数 jk
称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7
一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、可口
可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售
货机将按表5-1.1所示供应相应的商品。
表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。
这个例子中的二元运算*就是集合{一角硬币，二角五分硬币}
上的不封闭运算。
表 5-1.1
*
一角硬币 二角五分硬币
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二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于 任意的x,yA，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可 交换的。
【例5.2.2】设Q是有理数集合，Δ是Q上的二元运算，对任 意的a,bR，aΔb=a+b-a·b，问运算Δ是否可交换。 解：因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
a
为：aA，f(a)= 1 。容易看出f是A上的一元运算。
a
又如，f：N×N→N，定义为：m,nN，f(m,n)=m＋n，
f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通 减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减 可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自 然数集合N上的二元运算。
有关映射个数问题的求法
有关映射个数问题的求法摘要：有关映射计数问题频频出现在各类试题中，多以选择题或填空题的形式出现。
本文介绍了有关映射个数问题的求法。
关键词：映射；求法；问题作者简介：田尚俊，任教于河南濮阳市职业中专。
近年来有关映射计数问题频频出现在各类试题中，多以选择题或填空题的形式出现。
其解题的关键在于映射定义，欲得从A到B的一个映射即完成“A中每个元素在B中均有唯一元素与之对应”一事。
显然完成这种有特定对应关系的“事”，就要用分类计数原理和分步计数原理。
一、一般型映射的计数问题这类问题是指课本中介绍的映射知识，这类问题常涉及求元素个数、集合个数、映射个数等，较简单的可用枚举法、图表法、分类讨论法，适当时要借助于排列组合的知识。
例1 已知映射：A→B，其中，集合A＝{－3，－2．－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是( )(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7解：本题题意叙述虽长，但转换成图表语言，则非常简洁。
如右图，即可选(A)。
例2集合A含有5个元素，B含3个元素．⑴若从A到B可有多少个不同映射？⑵若从B到A可有多少个不同映射？分析：⑴要建立一个从A到B的映射，必须使A中的任意一个元素在B中都有唯一的象，一般要分步考虑；⑵同理可解决B到A的映射。
解：⑴ A中的任一元素去选择象都有3种方法，且要完成一个映射应该使A中的每一个元素都能找到唯一的象，由分步计数原理知：共有3×3×3×3×3＝35＝243个。
⑵同理可得从B到A可有53＝125个不同映射。
评注：一般地，对于集合A中有n个元素，B中有m个元素，则可建立A到B的映射mn个映射。
二、特殊型映射的计数问题这类问题是指特殊的映射即满射、单射、一一映射、函数等的计数问题。
例3 我们称映射f：A→B为一个“满射”，如果集合B中任意一个元素都有原象的话，已知集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，则这样不同满射的个数为()(A) 24 (B) 81 (C) 64 (D) 36解：由题意可知，A中必有两个元素的象是B中的一个元素，而A中的另两个元素与B中的另两个元素分别对应，因此，从A到B可确定的满射个数为·＝36，故应选(D)。
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Ｏ 引 言
集 ［ ，］到其 自身 的映 射 已有 许多研究 ， １ｎ 大家 知道 的如集 ［ ，］ 自身 的满射 构成 阶为 ｎ 的对称群 ， １ｎ 到 ！ ［ ，］ 到 自身 的单增 映射有 ［ ］／ ！＝ｎ ｎ＋１ …（ ｎ一１／ ！ １ｎ 集 ｎ “ｎ （ ） ２ ）ｎ 个等等 ． 本文 针对实 数集 Ｒ上 的 函数特 征 ， 出集 ［ ，］ 的几种 不 常见 的映射 ， 提 １ｎ 上 讨论 其计数 问题． 全 面计也 给 出现 已有 的相 关结 果 或重 给证 为
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第３卷 第２ ３ 期 昆 明 理 工 大 学 学 报 （理 工 版 ） ２０ ０ ８年 ４月 Ｊｕ ａ ｏ ｕ ｍｉｇＵ ｉｅｓ ｙｏ ｃｅｃ ｎ ｅ ｈｏｏｙ（ ｃｅ ｃ ｄＴ ｃｎ ｌ ｙ ｏｒ ｌ ｆ ｎ ｎ ｎｖｒｉ ｆ ｉｎｅａｄＴ ｃｎ ｌ ｎ Ｋ ｔ Ｓ ｇ Ｓｉｎｅａ ｅｈ ｏ ｇ ） ｎ ｏ
明． 在本文 中 ：
［ ，］ ＝ ｛ ， … ， ｝ １ｎ １２， ｎ Ｓ ｎｋ （ ，）表示第 ２类 Ｓｉｉｇ ｔｌ 数． ｒｎ Ⅳ ０＝ ｛， ，… ｝即非负 整数集． ０ １２
１幂等映射
关 于幂等映射 ［ ］中给 出了如下结 果 ： １ 命题 １¨： ［ ，］到其 自身 的幂等 映射个 数． 集 １ｎ
ｏ ｉ ｈ ｉ ｂｔｉ ｅ ｉｃ ｌ ｔ ｇ ｄ ｃ ｍｐ ｓｔｏ ｆｐ ｒ ｕ ａｉ ｎ ｇ ｏ ｐ ．Ｔｈ ｅ ｎｔｏ ｓｏ ｍａｌｐ ｅ ｅ ｖｎ ｐ－ ｆｗｈ ｃ ｓｏ ａ ｎ ｄ ｂｙ ｃｒｕ ａ ｎ ｅ ｏ ｏ ｉ ｎ ｏ ｅ ｉ ｉ ｍ ｔｔ ｒｕ ｓ ｏ ｅ ｄ ｆ ｉ ｎ ｆｓ ｌ ｒ ｓ ｒ ｉｇ ｍａ ｉ ｉ ｐ ｎ ｎ ｏ ｎ ｃｅ ｍａ ｅ ｍａ ｐ ｎ ｒ ｉ ｅ ｆｅ ｗａ ｄ ｏ ｅｈ ｒｗｉ ｅｒｃ ｕｎ ｎ ｏ ｕ ａ，ａ ｒｌ ｔ ｎ ｌｆ ｒ ｕ ａ ｉ ｇ ａ ｄ ｃ ｎ ｅ ｔｄ ｉ ｇ ｐ ｉ ｇ ａ ｅ ｇｖ ｎ ａｔｒ ｒ ｓｔｇ ｔ ｅ ｔ ｔ ｉ ｏ ｔ ｇ ｆｒ ｌ ｈ ｈ ｉ ｍ ｅａｉ ａ ｏ ｏ ｍ ｌ ｏ ｈ ｅ ｏ ｄ ｓｉ ｉ ｕ ｅ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｔｅ ｄ ｏ ｘ ｏ ｅ ｔａ ｅ ｒ ｔ ｇ ｆ ｃ ｏ ｏ ｆ ｃｅ ｔｏ ｅ ｔｔ ｌａ ｕｎ ｆ ｆｔ ｅ ｓ ｃ ｎ ｔ ｎｇ ｎ ｍｂ ｒ ｎ ｒ ｎ ｆｅ ｐ ｎ ｎｉ ｇ ｎｅａｉ ｕｎ ｔ ｎ ｃ ｅｆ ｉ ｎ ｆｔ ｏａ ｍｏ ｔｏ ｌ ｆ ｈ ｌ ｎ ｉ ｉ ｈ ｓ ｌ ｐ ｅ ｅ ｉ ｇ ｍａ ｐｎｇ ｈｅ ｃ ｎ ｅ ｔ ｆａｔｒ ａｉｅ ｍａ ｐ ｎ ｓ ｗｅ ｓ ｔｐ ａ ｄ ｂｏｔｍ ｅ ｕ ａ ｏ ｒ ｓ ｍａ ｒ ｓ ｒ ｎ ｐ ｉ ．Ｔ ｏ ｃ ｐ ｓ ｏ ｅ ｎ ｔｖ ｐ ｉ ｇ ａ ｌ ａ ｏ ｎ ｔｏ ｐ ｒ ｔｔ ｎ ａｅ ａ ｏ ｖ ｌ ｍ ｉ ｌ ｍａ ｅ ｃ ｅ ｒ ｈ ｅ ｃ ｎ ｉｅ ｅ ｐ ｅ ｓｏ ｆ ｅ ｐ ｎ ｎ ａ ｅ ｅ ａｉ ｇ ｆ ｎｃ ｏ ｆｔｐ ａ ｄ ｂｏｔｍ ｅ ｕ ａ ｏ ｓ ｆｎ ｌ ｄ ｌａ ．Ｔ ｏ ｃｓ ｘ ｒ ｓｉｎ ｏ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌｇ ｎ ｒ ｔｎ ｕ ｔ ｎ ｏ ｏ ｎ ｔｏ ｐ ｒ ｔｔ ｎ ｉ ａ ｙ ｉ ｉ ｍ ｉ ｉ ｐ ｏ ｅ ｉ ｌ ｒ ｖ ｄ ｓｍｐｙ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ：ｉ ｅ ｏｅ ｔｍａ ｐ ｎ ｄ ｄ ｍｐ ｔ ｎ ｐ ｉ ｇ；ｃ ｎ ｅ ｔ ｄ ｉ ｇ ｐｐｎ ｏ ｎ ｃｅ ｍａ ｅ ｍａ ｉ ｇ；ａｔｒ ａｉｅ ｍａ ｐ ｎ ｌｅ ｔｖ ｐ ｉ ｇ ｎ
Ａ ｓ ａｔ Ｔ ｅｋ ｈｉｅ ｏ ｎ ｍ ｐｉｇｏ ｅｓｔ １ｎ ｓ ｒｔ ｅｎｄｉ ｔｉｐｐｒ ｔｅｃｕｔｇｆｒ ｌ ｂｔ ｃ： ｈ —ｔ ｄｍｐｔ ｔ ａｐｎ ｎｔ ［ ， ］ｉｆｓｙｄｆ ｅ ｓ ａｅ，ｈ ｏｎｉ ｍｕａ ｒ ｅ ｈ ｅ ｌ ｉ ｉ ｎｈ ｎ ｏ
个第 ２类斯特林 数 的关 系式及 保 小映射 总数 指母 函数 系数 的 变化 趋 势 ， 最后 给 出交错 映射 及上 下置换的概 念并给 出关 于上 下置 换指母 函数 简明表达 式的一 个简单证 明． 关键词 ：幂等 映射 ； 象映射 ； 连 交错 映射
中图分 类号 ： ５ ７ ０ １ 文 献标识 码 ： 文章编 号 ：０ ７— ５ Ｘ（ ０ ８ ０ Ｏ １ ０ Ａ １０ ８ ５ ２ ０ ）２一 １８— ４
Ｎ ｍｂｒｏ ｅｅａ Ｓ ｅｉ ｐ ｉｇｏ １ｎ ｅ ｕ ｅ ｆ ｖｒｌ ｐｃ ｌ Ｓ ａ Ｍａ ｐｎ ｎ［ ， ］Ｓｔ
ＹＵ Ｇｕ． ｏ ｇ ｉ ｎ ｄ
（ ｃｏｌ ｆ ｔｅ ａ ｃ ， ｎ ｉｇＴａｈｒ Ｃ Ｈ ｇ ， ｎｉｇ Ａ ｈｉ ４ ０ １ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ｏ ｈｍ ｔ ｓ Ａ ｑ ｅｃｅ ｏ ｅｅ Ａ ｑｎ ， ｎ ｕ ２６ １ ， ｈｎ ） Ｍａ ｉ ｎ ｓ
Ｖ １ ３ Ｎ ． ｏ ３ ｏ２ ． Ａ ｒ ０８ ｐ．２ ０
集 ［ ，］ １ ｎ 上几 个特 殊 映射 的个 数
余 桂 东
（ 庆 师 范 学 院 数 学 与计 算 科 学 学 院 ， 徽 安庆 ２６ １ ） 安 安 ４ ０ １
摘要： 本文 首先给 出集 ［ ，，上 ｋ １ｒ ／ ］ 一次幂等 映射 的概 念 ， 用置 换群的循 环分 解给 出集［ ，］ ｋ一 １ｒ 上 ／ ， 次幂等映射 的计数公 式 ， 着定 义 了连 象映射和保 小映射 ， 接 不但 得 到 它们 的计数 公 式 ， 还得 到 一