2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第7讲正弦定理与余弦定理练习(含解析)

第7讲 正弦定理与余弦定理

[基础达标]

1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2

＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A ．

2

4

B ．－

24

C ．34

D ．－34

解析：选B.由题意得，b 2

＝ac ＝2a 2

，b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 2

2a ×2a

＝

－

2

4

，故选B. 2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )

A ．2∶3

B ．4∶3

C ．3∶1

D ．3∶2

解析：选C.由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，选C.

3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22

3

，a ＝3，S △

ABC

＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2

D ．2或3

解析：选D.因为S △ABC ＝22＝1

2bc sin A ，

所以bc ＝6，又因为sin A ＝

223，所以cos A ＝13

，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2

－2bc cos A ＝b 2

＋c 2

－4，b 2

＋c 2

＝13，可得b ＝2或b ＝3.

4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2

＝ac ，则

a ＋c

b

的值为( ) A ．

2

2

B ． 2

C ．2

D ．4

解析：选C.在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0， 利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0， 所以tan B ＝3，故B ＝π

3

.

由余弦定理得b 2

＝a 2

＋c 2

－2ac ·cos B ＝a 2

＋c 2

－ac ， 即b 2

＝(a ＋c )2－3ac ，

又b 2

＝ac ，所以4b 2

＝(a ＋c )2

，求得

a ＋c

b

＝2. 5．(2019·杭州市高三期末检测)设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左到右运动，设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ，当点P 不与B ，C 重合时( )

A ．λ先变小再变大

B ．当M 为线段B

C 中点时，λ最大 C ．λ先变大再变小

D ．λ是一个定值

解析：选D.设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为r 1，r 2，则2r 1＝

AB

sin ∠APB

，2r 2＝

AC

sin ∠APC

，

因为∠APB ＋∠APC ＝180°， 所以sin ∠APB ＝sin ∠APC ， 所以r 1r 2＝

AB

AC

， 所以λ＝r 21

r 22＝AB 2AC

2.故选D.

6．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →

|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A ．21 B ．3214

C ．

212

D ．321

解析：选B.设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为AC →·AB →＝|AC →－AB →

|＝3， 所以bc cos A ＝a ＝3.

又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A

2

，

所以cos A ≥25，所以0<sin A ≤21

5

，

所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝321

4，故△ABC 面积的最大值为

321

4

. 7．在△ABC 中，A ＝π4，b 2

sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为________．

解析：因为b 2

sin C ＝42sin B ， 所以b 2

c ＝42b ，所以bc ＝42，

S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×

2

2

＝2. 答案：2

8．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 解析：由面积公式，得S ＝1

2×AB ×AC ×sin A ＝103，

所以sin A ＝2035×8＝32.因为 A ∈(0，π2)，所以A ＝π

3.

由余弦定理，得BC 2

＝AB 2

＋AC 2

－2AB ×AC ×cos A ＝25＋64－2×5×8×cos π

3＝49，所以BC ＝7.

答案：7

9．(2019·温州市高考模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，记

S 为△ABC 的面积，若A ＝60°，b ＝1，S ＝

33

4

，则c ＝________，cos B ＝________． 解析：因为A ＝60°，b ＝1，S ＝334＝12bc sin A ＝12×1×c ×3

2，所以解得c ＝3.

由余弦定理可得a ＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ＝

1＋9－2×1×3×1

2

＝7，

所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝7＋9－12×7×3

＝57

14.

答案：3

5714

10．(2019·金丽衢十二校联考模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、

c ，a cos B ＝b cos A ，4S ＝2a 2－c 2，其中S 是△ABC 的面积，则C 的大小为________．