例谈韦达定理在数学解题中的应用
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例谈韦达定理在数学解题中的应用
华 中 师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 学 院 (430079) 王 蓬 苁 胡 典 顺
1.问题的提出 韦达定理(Vietatheorem) 是人教版九年级上册 学习的一个重要定理,贯穿整个中学阶段的数学学 习.九年级学习的重要内容之一是方程,而判定方程 是 否 有 根 是 根 据 根 的 判 别 式 来 断 定 的 ,运用根的判 别 式 判 定 一 元 二 次 方 程 有 根 的 情 况 下 ,通 过 韦 达 定 理就可以说明根与系数蕴含的是一种什么关系. 《义 务 教 育 数 学 课 程 标 准 (2 0 1 1 年 )》 明确指 出,要 通 过 具 体 实 例 ,了 解 定 理 的 意 义 . 明 确 定 理 的 意义不仅意味着明确定理在整个数学学习中的地位 和 作 用 ,而 且 要 明 白 该 定 理 在 实 际 解 题 中 的 基 本 运 用 . 只 有 对 定 理 有 了 更 清 晰 准 确 的 认 识 ,对其应用有
L a . ( - 6 ) = c2 + 4 c + 2 0 ,
理后得到以a , - 6 为两个根的关于%的方程x2
+ (c2 + 4 c + 20) = 0.
韦达定理在中学数学中独特的存在使得对于这 部分内容的教学也尤为重要. 初中阶段的教师让学 生 掌 握 韦 达 定 理 的 基 本 运 用 是 远 远 不 够 的 ,还要将 其往更广的地方拓展,扩大学生的眼界,让学生体会
2018年第4 期
中学数学研究
43
到 数 学 知 识 存 在 着 千 丝 万 缕 的 联 系 ,数 学 学 科 本 身
了 更 广 泛 的 理 解 ,才 能 深 刻 的 体 会 到 它 在 整 个 数 学 学习中所起到的作用.数学是一门基础性学科,具有 庞大的知识体系.初中时期对于韦达定理的基本研 究虽然在高中阶段并没有继续进行下去,但是在高 中的解题过程中经常会涉及到相关知识,运用韦达 定理解出某些数值或变量有时会成为解题的关键所 在 . 因 此 ,韦达定理在初中阶段掌握的熟练程度在很 大意义上影响着高中阶段数学的学习.
|
,
=
5.,’ 或或
广
r
=
11,
Ly = 11, Lj = 5,
=52+ i i 2 = I I 2+52
= 146.
2.2 解分式方程
例2 解
X2
2.
%
分析: 观察 发 现 等 式 只 有 一 个 未 知 数 %,等式的
每一项并没有什么特别之处,但综合起来观察发现 等式仅有的两个项是呈倒数关系的. 所谓倒数就是 指与某数相乘的积为1 的数,即这两个项的乘积为 1.整 理 本 题 所 得 到 的 所 有 信 息 我 们 发 现 ,两个项的 和 为 2,两个项的乘积为1 ,又出现了和与积的形式,
的难度很大,初中阶段的学生并不能达到这么高的
水平.观察方程组后我们发现可以尝试换元用韦达 定理求解.需要注意的是,对 于 式 子 1 和 2 ,x ,y 的地
位 是 等 同 的 ,因 此 我 们 可 以 得 到 换 元 后 的 两 个 字 母
的地位也是等同的,所以我们最后一定得到两个结
果 ,在此基础上进行进一步的讨论.
此时,我们可以考虑到韦达定理.但是却有未知数
C ,此刻我们可以先将其看作某个已知的数字,进行
化简整理成含有未知数x 和 c 的式子,再观察式子特 征和根的个数,进行求解.
解 析 :等 式 2 可 得 a . ( - 6 ) = £2 + 知 + 2 0 ,整
理后为|a _ 6 = 8 ’ ,
运用韦达定理整
也是一个庞大的学科系统.正因为数学是具有系统
框 架 的 ,教 师 在 教 学 过 程 中 不 能 把 定 理 与 其 他 知 识
完全分离. 2.韦达定理的应用 2. 1 解方程组
\xy + x + y = 1\ ,
例 1 已知
%,y 为整数,求 %2
y + xy2 = 880,
+ / 的值.
分 析 :观察题目后我们可以发现这是一个有关 x ,y 的方程组.一般来说我们可以通过直接求解x ,y 的数值,然后求两数值平方之和即可.但是求解x ,y
=16,
U == 5 5 , U - y = 55,
由 韦 达 定 理 得 到 以 为 两 个 根 的 关 于 2 的一
元二次方程Z - 55z + 16 = 0.
有 Zi = ( - 55)2 - 4 x 16 > 0 , 解 得
55 + y^ 9 6 l
或, 55 - / 2 9 6 1
- y^96l
因此我们可以考虑应用韦达定理求解.
解 析 :令-
x2 - 1
^
「a + 6 = 2 , 有{l^a:abb = 1 ,
由韦达定理得到以a 为两个根的关于z 的一
元二次方程Z - 2 z + l 0,有 4 = ( - 2 ) 2 - 4 = 0•
解得
X2
x -\
1 ,进而求得;*1
J + V5 2 _,《2
V5
2.3 解不定方程组
例 3 解方程 a - b = 8 ,
ab + c2 + 4c + 20 = 0.
分析:对题目进行观察发现整个方程组是一个 含 有 三 个 未 知 量 两 个 等 式 的 方 程 组 . 我 们 知 道 ,只有
三个未知量三个等式才可以将未知量求出,因此,这 道题通过简单的解方程组是无法求出这三个未知数 的.等式l :a = 8 中是两数之差的形式,却可以转 换为两数之和的形式.等式2 中也存在有两数之积,
~2 (因 为
55 + /2961
2
-
整 数 ,舍 去 ).
② 若 广 = 5 5 ,则有广” 5 5 ’ 由韦达定理得
1-6=16,
\~x + y = 16,
到 以 为 两 个 根 的 关 于 z 的一元二次方程' -16z
+ 55 = 0 , 有 A = ( - 16)2 - 4 x 55 > 0 , 解得
解析:整理方程组得: Jxy + x + y = xy + (x + y ) = 7 1 ,人 | xy = a ,
^x2y + xy2 = x y (x + y ) = 880,
l-x + j = b ,
a+ 整理后得< 6 = 7 1 ’解得.
ab = 880,
\a①若{aFra bibliotek= 1 6 ’则 有 广
华 中 师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 学 院 (430079) 王 蓬 苁 胡 典 顺
1.问题的提出 韦达定理(Vietatheorem) 是人教版九年级上册 学习的一个重要定理,贯穿整个中学阶段的数学学 习.九年级学习的重要内容之一是方程,而判定方程 是 否 有 根 是 根 据 根 的 判 别 式 来 断 定 的 ,运用根的判 别 式 判 定 一 元 二 次 方 程 有 根 的 情 况 下 ,通 过 韦 达 定 理就可以说明根与系数蕴含的是一种什么关系. 《义 务 教 育 数 学 课 程 标 准 (2 0 1 1 年 )》 明确指 出,要 通 过 具 体 实 例 ,了 解 定 理 的 意 义 . 明 确 定 理 的 意义不仅意味着明确定理在整个数学学习中的地位 和 作 用 ,而 且 要 明 白 该 定 理 在 实 际 解 题 中 的 基 本 运 用 . 只 有 对 定 理 有 了 更 清 晰 准 确 的 认 识 ,对其应用有
L a . ( - 6 ) = c2 + 4 c + 2 0 ,
理后得到以a , - 6 为两个根的关于%的方程x2
+ (c2 + 4 c + 20) = 0.
韦达定理在中学数学中独特的存在使得对于这 部分内容的教学也尤为重要. 初中阶段的教师让学 生 掌 握 韦 达 定 理 的 基 本 运 用 是 远 远 不 够 的 ,还要将 其往更广的地方拓展,扩大学生的眼界,让学生体会
2018年第4 期
中学数学研究
43
到 数 学 知 识 存 在 着 千 丝 万 缕 的 联 系 ,数 学 学 科 本 身
了 更 广 泛 的 理 解 ,才 能 深 刻 的 体 会 到 它 在 整 个 数 学 学习中所起到的作用.数学是一门基础性学科,具有 庞大的知识体系.初中时期对于韦达定理的基本研 究虽然在高中阶段并没有继续进行下去,但是在高 中的解题过程中经常会涉及到相关知识,运用韦达 定理解出某些数值或变量有时会成为解题的关键所 在 . 因 此 ,韦达定理在初中阶段掌握的熟练程度在很 大意义上影响着高中阶段数学的学习.
|
,
=
5.,’ 或或
广
r
=
11,
Ly = 11, Lj = 5,
=52+ i i 2 = I I 2+52
= 146.
2.2 解分式方程
例2 解
X2
2.
%
分析: 观察 发 现 等 式 只 有 一 个 未 知 数 %,等式的
每一项并没有什么特别之处,但综合起来观察发现 等式仅有的两个项是呈倒数关系的. 所谓倒数就是 指与某数相乘的积为1 的数,即这两个项的乘积为 1.整 理 本 题 所 得 到 的 所 有 信 息 我 们 发 现 ,两个项的 和 为 2,两个项的乘积为1 ,又出现了和与积的形式,
的难度很大,初中阶段的学生并不能达到这么高的
水平.观察方程组后我们发现可以尝试换元用韦达 定理求解.需要注意的是,对 于 式 子 1 和 2 ,x ,y 的地
位 是 等 同 的 ,因 此 我 们 可 以 得 到 换 元 后 的 两 个 字 母
的地位也是等同的,所以我们最后一定得到两个结
果 ,在此基础上进行进一步的讨论.
此时,我们可以考虑到韦达定理.但是却有未知数
C ,此刻我们可以先将其看作某个已知的数字,进行
化简整理成含有未知数x 和 c 的式子,再观察式子特 征和根的个数,进行求解.
解 析 :等 式 2 可 得 a . ( - 6 ) = £2 + 知 + 2 0 ,整
理后为|a _ 6 = 8 ’ ,
运用韦达定理整
也是一个庞大的学科系统.正因为数学是具有系统
框 架 的 ,教 师 在 教 学 过 程 中 不 能 把 定 理 与 其 他 知 识
完全分离. 2.韦达定理的应用 2. 1 解方程组
\xy + x + y = 1\ ,
例 1 已知
%,y 为整数,求 %2
y + xy2 = 880,
+ / 的值.
分 析 :观察题目后我们可以发现这是一个有关 x ,y 的方程组.一般来说我们可以通过直接求解x ,y 的数值,然后求两数值平方之和即可.但是求解x ,y
=16,
U == 5 5 , U - y = 55,
由 韦 达 定 理 得 到 以 为 两 个 根 的 关 于 2 的一
元二次方程Z - 55z + 16 = 0.
有 Zi = ( - 55)2 - 4 x 16 > 0 , 解 得
55 + y^ 9 6 l
或, 55 - / 2 9 6 1
- y^96l
因此我们可以考虑应用韦达定理求解.
解 析 :令-
x2 - 1
^
「a + 6 = 2 , 有{l^a:abb = 1 ,
由韦达定理得到以a 为两个根的关于z 的一
元二次方程Z - 2 z + l 0,有 4 = ( - 2 ) 2 - 4 = 0•
解得
X2
x -\
1 ,进而求得;*1
J + V5 2 _,《2
V5
2.3 解不定方程组
例 3 解方程 a - b = 8 ,
ab + c2 + 4c + 20 = 0.
分析:对题目进行观察发现整个方程组是一个 含 有 三 个 未 知 量 两 个 等 式 的 方 程 组 . 我 们 知 道 ,只有
三个未知量三个等式才可以将未知量求出,因此,这 道题通过简单的解方程组是无法求出这三个未知数 的.等式l :a = 8 中是两数之差的形式,却可以转 换为两数之和的形式.等式2 中也存在有两数之积,
~2 (因 为
55 + /2961
2
-
整 数 ,舍 去 ).
② 若 广 = 5 5 ,则有广” 5 5 ’ 由韦达定理得
1-6=16,
\~x + y = 16,
到 以 为 两 个 根 的 关 于 z 的一元二次方程' -16z
+ 55 = 0 , 有 A = ( - 16)2 - 4 x 55 > 0 , 解得
解析:整理方程组得: Jxy + x + y = xy + (x + y ) = 7 1 ,人 | xy = a ,
^x2y + xy2 = x y (x + y ) = 880,
l-x + j = b ,
a+ 整理后得< 6 = 7 1 ’解得.
ab = 880,
\a①若{aFra bibliotek= 1 6 ’则 有 广