2020届高考数学仿真押题卷04 北京卷 理 新人教A版 精

x
y
O π2π
1
-1
2020届高考数学仿真押题卷——北京卷（理4）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项． 1．在复平面内，复数121i
z i
-=
+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限
(D) 第四象限
2．下列四个命题中，假命题为
(A) x ∀∈R ，20x
> (B) x ∀∈R ，2
310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >
(D) x ∃∈R ，12
2x =
3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，x
y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨
=⎩，
，
为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是
(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是
(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 48 6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是
(A) 441sin()555y x =+
(B) 31
sin(2)25y x =+
(C) 441
sin()555y x =-
(D) 41
sin(2)55
y x =+
本题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母
的意义。

7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若
1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则
O
O O O x x x
x
y
y
y
y
1 1
1 1
1
1
1 1
(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交
(B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交 (D) 直线l 与线段P 1P 2相交
本题就是考查线性规划问题。

关键是1）1122()()0Ax By C Ax By C ++++>的含义：点在直线的同侧；2）1122Ax By C Ax By C ++>++的含义：点到直线的距离的大小关系。

8．已知函数2
()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得
f (x 1)=
g (x 2)，则实数a 的取值范围是
(A) 1(0,]2
(B) 1[,3]2
(C) (0,3] (D) [3,)+∞
本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．圆C ：2
2
2220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 10．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D =46°，则∠A = ． 11．函数23sin cos sin y x x x =
-的最小正周期为 ，最大值
为 ．
考查的目的是没考三角，
12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a =___．
14．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n
点处所需要的时间为__秒．
1 1
正视图
侧视图
2
0.6
2.4 俯视图
0.6
A
B
D
O
开始
3
5
a =，1n =
结束
11a a
=-
1n n =+
2011n ≤
输出a 是
否
O
A 1
A 2
A 3 A 4
B 1 B 2 B 3 B 4 A
B
本题考查了弧度制的定义，数列的基础知识。

解题关键是由特殊到一般，通过对特殊情况的观察，就可得到应进行分类讨论。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4， S 5=35． （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足n a
n b e =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
本题是由下面的题经过改编后得到的，可作为练习。

已知等比数列{}n a 中，a 2=9， a 5=243． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式a n ； （Ⅱ）若数列{}n b 满足3,
(),
log ,()n n n a n b a n ⎧=⎨
⎩为偶数为奇数．
求数列{}n b 的前100项的和。

（Ⅰ）通项公式3n
n a =。

（Ⅱ）因为等比数列{}n a ，所以偶数项构成首相为a 2=9，公比为32
=9的等比数列。

因为 2222
32132133322
23log log log 23
log 23
log 223k
k
k k k k a a -+--⋅-=⋅-⋅==⋅(k ∈N)，
所以 奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列。

1001299100313339924100=(log +log ++log )+(++)S b b b b a a a a a a =+++++L L L
505150499(19)17
(5012)9249821988
⨯-=⨯+⨯+=⋅+-
所以数列{}n b 的前100项的和是51
1
7924988
8
⋅+。

若再增加难度，可将100改成n 。

16.（本小题共14分）
张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），
L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
12
；L 2
1
路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，3
5
． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．
遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条
最好的上班路线，并说明理由．
关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习。

17.（本小题共13分）
已知平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8，E 是线段AD 的中点．沿BD 将△BCD 翻折到△BC D '，使得平面BC D '⊥平面ABD ． （Ⅰ）求证：C D '⊥平面ABD ； （Ⅱ）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D BE C '--的余弦值．
本题重点考查的是翻折问题。

在翻折的过程中，哪些是不变
的，哪些是改变的学生必须非常清楚。

18.（本小题共13分） 已知函数2
()ln (2)f x x ax a x =-+-． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值．
19.（本小题共14分）
已知抛物线P ：x 2
=2py (p >0)．
（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P 的方程；
（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线
的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．
20.（本小题共13分）
用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈
，定义
5
1
(,)[i f m k ==∑
，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按
照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；
（Ⅲ）求证：在数列{}n a
中，不大于m 的项共有00(,)f m k 项．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．3 10．67° 11．π，
12
12．12 13．23- 14．6，(1)
,2
(3),2
n n n n a n n n +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 2=4， S 5=35． （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足n a
n b e =，求数列{}n b 的前n 项的和n T ．
解：（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ．
则
114
5(51)5352
a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ∴
11
3a d =⎧⎨=⎩
， ………………5分
∴ 32n a n =-．
∴
前
n
项和
(132)(31)
22
n n n n n S +--=
=
． ………………7分 （Ⅱ）∵32n a n =-，
∴
32
n n b e -=，且
b 1=e ． ………………8分 当n ≥2时，
32
33(1)21n n n n b e e b e
----==为定
值， ………………10分
∴ 数列{}n b 构成首项为
e ，公比为e 3的等比数
列． ………………11分 ∴
3313
3(1)11
n n n e e e e T e e +--==--． ………………13分 数列{}n b 的前n 项的和是3131
n n e e T e +-=-．
16.（本小题共14分）
张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1
2
；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
34，35
． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．
遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上
述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则
031
2331111()=()()2222
P A C C ⨯+⨯⨯=． ……
…………4分
所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为
1
2
． （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为
，
1
，
2． ………………5分
1
331
(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=，
33339
(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=
， 339
(=2)=4520
P X ⨯=
． ………………8分
01210202020
EX =⨯+⨯+⨯=
． ………………10分
（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1
(3,)2
Y B :，
所
以
13
322EY =⨯=．
………………12分 因为EX EY
<，所以选择L 2路线上班最好． ………………14分
17.（本小题共13分）
已知平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8，E 是线段AD 的中点．沿直线BD 将△BCD 翻折成△BC D '，使得平面BC D '⊥平面ABD ．
（Ⅰ）求证：C D '⊥平面ABD ；
（Ⅱ）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D BE C '--的余弦值．
证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8， 沿直线BD 将△BCD 翻折成△BC D ' 可知CD =6，BC ’=BC =10，BD =8，
即222''BC C D BD =+， 故
'C D BD ⊥． (2)
分
∵平面BC D '⊥平面ABD ，平面BC D 'I 平面ABD =BD ，C D '⊂平面BC D '， ∴
C D '⊥平面
A
B
D
E
C ' C
ABD ． ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C D '⊥平面ABD ，且CD BD ⊥，
如
图
，
以
D 为原点，建立空间直角坐标系
D xyz -． ………………6分
则(0,0,0)D ，(8,6,0)A ，(8,0,0)B ，'(0,0,6)C ． ∵E 是线段AD 的中点，
∴(4,3,0)E ，(8,0,0)BD =-u u u r
．
在平面BEC '中，(4,3,0)BE =-u u u r ，'(8,0,6)BC =-u u u u r
， 设平面BEC '法向量为(,,)n x y z =r
，
∴ 0'0
BE n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r
，即430860x y y z -+=⎧⎨-+=⎩， 令3x =，得4,4y z ==，故
(3,4,4)n =r
． ………………8分
设直线BD 与平面BEC '所成角为θ，则
||sin |cos ,|||||
n BD n BD n BD θ⋅=<>==⋅r u u u r
r u u u r r u u u r ……
…………9分
∴ 直线BD 与平面BEC '
所成角的正弦值为
． ………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BEC '的法向量为(3,4,4)n =r
， 而平面DBE 的法向量为(0,0,6)DC '=u u u u r
，
∴
cos ,||||
n C D n C D n C D ''<>=='⋅r u u u u r
r u u u u r g r u u u u r ，
因为二面角D BE C '--为锐角，
所以二面角D BE C '
--的
余
弦
值
为
41． ………………13分
18.（本小题共13分）
已知函数2
()ln (2)f x x ax a x =-+-． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2
[,]a a 上的最大值． 解：（Ⅰ）∵
2()ln (2)f x x ax a x =-+-， ∴函数的定义域为
(0,)+∞． ………………1分
∴2112(2)(21)(1)
()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x
-+---+'=-+-==． ……
…………3分
∵()f x 在1x =处取得极值，
即(1)(21)(1)0f a '=--+=，
∴1a =-． ……
…………5分
当1a =-时，在1(,1)2
内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， ∴
1
x =是函数
()
y f x =的极小值点． ∴
1a =-． ………………6分
（
Ⅱ
）
∵
2a a
<，
∴01a <<． ………………7分
2112(2)(21)(1)
()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x
-+--+'=-+-==-
∵ x ∈(0,)+∞， ∴10ax +>， ∴
()
f x 在
1(0,)2上单调递增；在1
(,)2
+∞上单调递
减， ………………9分
①当102
a <≤
时， ()f x 在2
[,]a a 单调递增， ∴32
max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-； ……
…………10分
②当2121
2
a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
，即122a <<时，()f x 在21(,)2a 单调递增，在1(,)2a 单调递减，
∴max 1
2()()ln 21ln 22424
a a a f x f -==--
+=--； ………………11分
③当
21
2
a ≤
，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 单调递减， ∴2532
max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-． ……
…………12分
综上所述，当102
a <≤
时，函数()y f x =在2
[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；
当
122a <<时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是1ln 24
a --；
当2
a ≥
时，函数()y f x =在2
[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．
……
…………13分
19.（本小题共14分）
已知抛物线P ：x 2
=2py (p >0)．
（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P 的方程；
（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线
的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ． 解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等， 即(,2)M m 到2
p
y =-的距离为3； ∴ 232
p
-
+=，解得2p =． ∴
抛
物
线
P
的方程为
24x y =． ………………4分
（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，
显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．
由
241
x y y kx ⎧=⎨
=-⎩， 消y 得
2440x kx -+=， ………………6分
216160
k ∆=-=，
解
得
1k =±． ………………7分
∴
切
线
方
程
为
1y x =±-． ………………8分
（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2
p y kx =+
， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由222
x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 消y 得 2220x pkx p --=． 且0∆>． ∴ 122x x pk +=，2
12x x p ⋅=-；
∵ 11(,)A x y ， ∴ 直线OA ：1
1
y y x x =
， 与
2
p y =-
联立可
得
11(,)22
px p C y -
-， 同理得
22(,)22
px p
D y -
-． ………………10分 ∵ 焦点(0,)2
p
F ， ∴
11
(,)
2px
FC p y =--u u u r ，
22
(,)2px
FD p y =--u u u r ， ………………12分
∴ 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--u u u r u u u r 22
212121212
224px px p x x p p y y y y =+=+ 24422
212222
12120422p x x p p p p p x x x x p p p
=+=+=+=- ∴ 以CD
为直径的圆过
焦
点
F ． ………………14分
20.（本小题共13分）
用[]a 表示不大于a 的最大整数．令集合{1,2,3,4,5}P =，对任意k P ∈和N*m ∈
，定义
5
1
(,)[i f m k ==∑
，集合{N*,}A m k P =∈∈，并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{}n a ． （Ⅰ）求(1,2)f 的值； （Ⅱ）求9a 的值；
（Ⅲ）求证：在数列{}n a
中，不大于m 的项共有00(,)f m k 项． 解：
（Ⅰ）由已知知(1,2)f =++++ 110002=++++=．
所
以
(1,2)2f =． ………………4分
（Ⅱ）因为数列{}n a
是将集合{N*,}A m k P =∈∈中的元素按从小到大的顺序
排成而成，
<<<
<<
<<<
<<‥‥
所
以
9a =
． ………………8分
（Ⅲ）任取12,*m m ∈N ，12,k k P ∈
，
若m
m =，则必有1212,m m k k ==．
即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．
对于m 而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有1m 的数不大于
m ， 则1
m
m ≤1m
≤
，所以1
m =，
同理，第二行共有2m 的数不大于m ，有2m =，
第i 行共有i m 的数不大于m ，有i m =．
所以，在数列{}n a 中，不大于m 的项共有
5
1
[i m =∑项，即00(,)f m k 项．
……
…………13分。