2019高考数学文一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形 第6讲 含解析

一、选择题
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )
A ．π
6
B.π4 C ．π3
D.π2
解析：选C.易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－（7）22×3×2＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π
3，
故选C.
2．(2018·宝鸡质量检测(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin(A ＋B )＝1
3
，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( )
A ．23
B.14 C ．34
D.16
解析：选B.因为a sin A ＝c sin C ，即3sin A ＝4sin C ，又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝1
3，
所以sin A ＝1
4
，故选B.
3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
解析：选B.依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B ·cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，所以A ＝π
2，故选B.
4．(2018·南昌第一次模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )
A ．12
B ．14
C ．1
D ．2
解析：选A.由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝1
2(负值舍去)，由bc ＝2，
可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝1
2
.故选A.
5．(2018·云南第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π
2，
a ＝6，sin 2 B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S △ABC ＝( )
A ．3
2
B ．3
C ． 6
D ．6
解析：选B.由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ①，又B ＝π
2，所以a 2＋c 2＝
b 2②，联立①②解得a ＝
c ＝6，所以S △ABC ＝1
2
×6×6＝3，故选B.
6．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( ) A ．32 B.332
C ．
34
D. 3
解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，因为AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，所以7＝AB 2＋4－4×AB ×1
2，所以AB 2－2AB －3＝0，所以AB
＝3，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则在Rt △ADB 中，AD ＝AB ×sin 60°＝33
2，即BC 边上的
高为332
.
二、填空题
7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4，3sin A ＝
2sin B ，则c ＝________.
解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝3
2a ＝3.由余弦定理cos C ＝
a 2＋
b 2－
c 22ab ，得－14＝22＋32－c 2
2×2×3
，解得c ＝4. 答案：4 8．(2018·贵阳检测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________．
解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4b 2＋b 2－2×2b ×b ×⎝⎛⎭⎫－1
2＝7b 2，所以c ＝7b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b ＝2
7，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－47＝37
，所以tan A ＝sin A cos A ＝32
. 答案：
32
9．(2018·广西三市第一次联考)设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．
解析：由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，所以cos B ＝
74，则sin B ＝34，所以S △ABC ＝1
2
ac sin B
＝32
. 答案：32
10．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________．
解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝2
5.又
∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝
1－sin 2∠ACD ＝
1
5
.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4，AD sin ∠ACD ＝CD
sin A ，sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC
中，AC sin B ＝BC sin A ，BC ＝AC ·sin A
sin B
＝4.
答案：4 三、解答题 11．(2018·兰州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝25，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0， 所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0，
由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π
4＝0，而A 为三角形的内角， 所以A ＝3π
4
.
(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， 即20＝c 2＋4－4c ⎝
⎛⎭
⎫－
22， 解得c ＝－42(舍去)或c ＝22， 所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22×2
2
＝2.
12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2
A
2＝5
2
b . (1)求证：2(a ＋
c )＝3b ； (2)若cos B ＝1
4
，S ＝15，求b .
解：(1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝5
2b .
在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则
a cos C ＋c cos A ＝
b .
所以a ＋c ＝3
2b ，即2(a ＋c )＝3b .
(2)因为cos B ＝14，所以sin B ＝15
4
.
因为S ＝12ac sin B ＝15
8ac ＝15，所以ac ＝8.
又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，
2(a ＋c )＝3b ， 所以
b 2＝
9b 2
4
－16×⎝⎛⎭⎫1＋14.所以b ＝4.
1．(2018·河北三市联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭
⎫A ＋π
3. (1)求A ；
(2)若△ABC 的面积S ＝
34
c 2
，求sin C 的值． 解：(1)因为a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， 所以由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π
3， 即sin A ＝－12sin A －3
2cos A ，
化简得tan A ＝－
3
3
， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝5π
6.
(2)因为A ＝5π
6，
所以sin A ＝1
2，
由S ＝
34c 2＝12bc sin A ＝1
4
bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝7
14
.
2．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3
a cos C .
(1)求角C ；
(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)根据a sin A ＝c
sin C
，可得c sin A ＝a sin C ，
又因为c sin A ＝3a cos C ，所以a sin C ＝3a cos C ， 所以sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝sin C
cos C ＝3，
因为C ∈(0，π)，所以C ＝π
3
.
(2)因为sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin(A ＋B )， 所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝5sin 2A ， 所以2sin B cos A ＝5×2sin A cos A .
因为△ABC 为斜三角形，所以cos A ≠0， 所以sin B ＝5sin A .
由正弦定理可知b ＝5a ， ①
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
所以21＝a 2＋b 2－2ab ×1
2＝a 2＋b 2－ab ， ②
由①②解得a ＝1，b ＝5，
所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝53
4.。