2019-2020学年福建省福州市福建师大附中高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省福州市福建师大附中高一上学期期末
数学试题
一、单选题
1．方程3log 3x x +=的解为0x ，若0(,1),x n n n N ∈+∈，则n =（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】令()3log 3f x x x =+-，
∵()()311320,22log 20f f =-=-<=-+<,()3
3log 310f ==>. ∴函数()f x 在区间()2,3上有零点。

∴2n =。

选C 。

2．如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）
A ．21
36c b a =
- B ．41
33c b a =
+ C ．4133
c b a =- D ．2136
c b a =
+ 【答案】C
【解析】利用向量的线性运算即可求出答案. 【详解】
13c OC OB BC OB AB ==+=+()
141333OB OB OA OB OA =+-=-41
33
b a =-.
故选C . 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基
础题型．
3．有一组试验数据如图所示：
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ） A ．21x y =- B ．21y x =- C ．22log y x = D ．3y x =
【答案】B
【解析】将x 的数据代入依次验证各模型对应的y 值，排除偏差较大的选项即可得到结果. 【详解】
当 2.01x =时， 2.01
2
13y =-≈，22.0113y =-≈，22log 2.012y =≈，32.018y =≈
当3x =时，3
217y =-=，2
318y =-=，22log 34y =<，3
327y == 可知,C D 模型偏差较大，可排除,C D ； 当 4.01x =时， 4.01
2115y =-≈，24.01115y =-≈
当 5.1x =时， 5.1
2
131y =-≈，25.1124y =-≈
可知A 模型偏差较B 模型偏差大，可排除A ，选择B 故选：B 【点睛】
本题考查根据数据选择函数模型，关键是能够通过验证得到拟合度最高的模型，属于基础题.
4．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,A AB a b a b R C λμλμ=-=+∈，若,,A B C 三点共线，则,λμ满足（ ） A ．2λμ+= B ．1λμ=-
C ．4λμ+=
D ．4λμ=-
【答案】D
【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。

【详解】
由,,A B C 三点共线，则AB 、AC 共线， 所以存在不为零的实数m ，使得AB mAC =
即2(2),,a b m a b R λμλμ-=+∈ ， 又因为,a b 是不共线的向量，
所以22m m λμ
=⎧⎨-=⎩，消m 解得4λμ=-
故选：D
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题。

5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载 ：“今有宛田，下周八步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（ ） A ．8平方步 B ．6平方步
C ．4平方步
D ．16平方步
【答案】A
【解析】利用扇形面积计算公式即可得出． 【详解】
∵弧长8步，其所在圆的直径是4步， ∴由题意可得：S 1
2
=⨯2×8＝8（平方步）， 故选A ． 【点睛】
本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．已知1
2
tan θ=-，则2cos sin cos θθθ-的值为（ ） A ．65
-
B ．35-
C ．35
D ．
6
5
【答案】A
【解析】观察所给式子是二次齐次式，因此可以用“1的代换“，整式除以22sin cos θθ+，再进行化简． 【详解】
解：22
222
cos 1cos sin cos tan 1
sin cos tan sin cos θθθθθθθθθθ---==++， 将12tan θ=-，代入得，原式6
5
=-． 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．
7．2011年12月,某人的工资纳税额是245元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( )
注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500(起征点)后的余额. A ．7000元 B ．7500元
C ．6600元
D ．5950元
【答案】A
【解析】根据不超过1500部分的纳税总额可确定月收入必超过5000元；利用比例关系可计算出月收入超过5000的额度，进而得到所求月收入. 【详解】
15003%45245⨯=< ∴该人的月收入必超过150035005000+=元
()2454510%2000-÷= ∴该人月收入为500020007000+=元
故选：A 【点睛】
本题考查根据给定模型解决实际问题，关键是明确所给的数据表实际体现了分段函数的特点，采用分段的方式依次求解即可. 8．若2()4sin 23
f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭在,12πθ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域为[2,4]-，则θ的值是（ ） A ．0 B ．
12
π
C ．
6
π D ．
4
π 【答案】D
【解析】由()f x 值域可确定21sin 2,13
2x π⎛⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦；利用x 的范围可确定223x π+的范围，结合值域和正弦函数图象可确定223
π
θ+的值，进而求得结果. 【详解】 当,12x πθ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦时，222,2323x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦
()24sin 23f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭的值域为[]2,4- 21sin 2,132x π⎛
⎫⎡⎤
∴+∈-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
27236
ππθ∴+
=，解得：4πθ=
故选：D 【点睛】
本题考查根据正弦型函数的值域求解参数值的问题，关键是能够采用整体对应的方式，利用正弦函数的图象得到角的整体对应的值. 9．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（
2
π，32π
）内的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {
2sin ,tan sin x x x
x x x
<≥
分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．
10．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若
()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）
A ．以A
B 为底面的等腰三角形 B ．以B
C 为底面的等腰三角形
C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形 【答案】B
【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+
OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为
故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 【考点】本试题主要考查了向量的数量积的运用．
点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．
11．若函数()2sin()f x x
ω=在区间[,]54
ππ
-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[6,)+∞ C ．5
(,2][,)
2
-∞-+∞
D ．15
(,][6,)2
-∞-
+∞ 【答案】C
【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54
ππ
-
上存在最小值2-,然后对ω大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围.
【详解】
函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54
ππ
- ①当0>ω时,,54x ππωωω⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦ 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54
ππ
-
上存在最小值2-
∴ 5
2
π
π
ω-
≤-
可得:52
ω∴≥
②当0ω<时,,4
5x π
πωωω⎡⎤∈-⎢
⎥⎣⎦
函数()2sin()f x x ω=在区间[,]
54
ππ
-
上存在最小值2-
∴
4
2
π
π
ω≤-
可得:2ω≤-
综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
. 故选:C. 【点睛】
本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合. 12．已知M 是函数()21
12sin 2x f x e x π--⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦在[]3,5x ∈-上的所有零点之和，
则M 的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 【答案】C
【解析】因为()212
1
12s i n 2c o s
2x x f x e
x e
x ππ---
-⎡⎤⎛⎫=+-=-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，所以()()2f x f x =-，因为()10f ≠，所以函数零点有偶数个，两两关于1x =对称.当[]1,5x ∈时， ()(]210,1x y e --=∈，且单调递减； []2cos π2,2y x =∈-，且在[]1,5上
有两个周期，因此当[]
1,5x ∈时， ()
21x y e --=与2cos πy x =有4个不同的交点；从而
所有零点之和为428⨯=，选C.
点睛：对于确定方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
二、填空题
13．已知向量a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，若(2)()a b x a b +⊥-，则实数x 的值为___________. 【答案】3
【解析】由题意可得：12cos601a b ⋅=⨯⨯=，且2
2
1,2a b ==， 则：()()
()2
2
2212a b xa b xa x a b b +⋅-=+-⋅-，
据此有：(21)80x x +--=，解得：3x =.
14．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对任意的实数x 都成立，
则ω的最小值为__________． 【答案】
2
3
【解析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值. 【详解】
因为()4f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，
所以
22π()8()463
k k Z k k Z ωωπ
π
-
=∈∴=+∈，，
因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为2
3
.
【点睛】
函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π
.T ω
=
（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()2
2
k x k k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+∈Z 求增区间；由
322()2
2
k x k k π
π
πωϕπ+≤+≤
+∈Z 求减区间. 15．如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若
3,5AB AC ==，则()()
AP AQ AB AC +⋅-的值为 .
【答案】-16 【解析】试题分析：
()()()()()()()()
22AP AQ AB AC PQ AQ AB AC AQ AB AC AB AC AB AC +⋅-=+⋅-=⋅-=+-
22
92516.AB AC =-=-=uu u r uuu r
【考点】向量数量积
16．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________. 【答案】
112
π
【解析】由2
x k π
ωπ=+
可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特
点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】
由2
x k π
ωπ=+
，k Z ∈得：()212k x πω
+=
，k Z ∈
1,12A πω⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则2
12232,2,240A A A A πππ
ωωω
⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得：2
π
ω=
，即12
π
ω=
同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470
A A A A ⋅= 232π
ω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则16611
0A A A A ⋅= 352
π
ω∴=
以此类推，可得：()212
n n πω-= 6
112
π
ω
∴=
故答案为：112
π
【点睛】
本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.
三、解答题
17．按要求完成下列各题 （1）已知51sin 123
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，求sin 12πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭的值；
（2）解不等式：tan 2x <
【答案】（1）；（2）,6262k k x x k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】（1）利用诱导公式可知5sin cos 1212ππαα⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，根据同角三角函数关系可求得结果；
（2）将不等式变为tan 2x <<2x 的范围，进而求得解集. 【详解】 （1）
51
sin sin cos 12212
123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
sin 123πα⎛⎫∴-===±
⎪⎝⎭
（2）由tan 2x <tan 2x <<23
3
k x k π
π
ππ∴-
+<<
+，k Z ∈ 6
262
k k x π
πππ∴-
+
<<+，k Z ∈ ∴不等式的解集为,6262k k x x k Z ππππ⎧⎫
-+
<<+∈⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查三角函数值的求解、根据三角函数值域求解自变量的取值范围的问题，涉及到
诱导公式和同角三角函数关系的应用；本题中求解三角不等式的关键是能够结合正切函数图象确定角整体所处的范围.
18．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =r
.
（1）若c =r //c a r r
，求c 的坐标；
（2）若()1,1b =r ，a 与a λb +的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）()2,4c =r 或()2,4-- （2）()5,00,3
λ⎛⎫
∈-+∞ ⎪
⎝⎭
【解析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；
（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】
解：（1）因为()1,2a =r ，且//c a r r ，
则(,2)c a λλλ==r r
，
又c =r
，所以22
(2)20λλ+=，即2λ=±，
故()2,4c =r
或()2,4--；
（2）由()1,1b =r
，则()1,2a λb λλ+=++，
由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53
λ>-
， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，
故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5
,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题. 19．函数()()10,06f x Asin x A πωω⎛⎫
=-+>> ⎪⎝
⎭
的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式和当[]0,x π∈时()f x 的单调减区间； (Ⅱ)()f x 的图象向右平行移动
12
π
个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到()g x 的
图象,用“五点法”作出()g x 在[]0,π内的大致图象. 【答案】(Ⅰ)2216sin x π⎛⎫
-
+ ⎪⎝
⎭，5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦；(Ⅱ)图象见解析. 【解析】(Ⅰ) 由函数()()10,06f x Asin x A πωω⎛
⎫
=-
+>> ⎪⎝
⎭
的最大值为3,可求得A 的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
可求得周期，从而确定ω的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，k 取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到()g x 的解析式，列表、描点、作图即可得结果. 【详解】
(Ⅰ)∵函数f (x )的最大值是3, ∴A +1=3,即A =2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
π, ∴最小正周期T =π, ∴ω=2.所以f (x )=2sin(2x -6
π)+1 令
2π+2kπ≤2x−6π≤32
π+2kπ,k ∈Z, 即3
π
+kπ≤x≤56π+kπ,k ∈Z,∵x ∈[0,π], ∴f (x )的单调减区间为[3π,56
π
].
(Ⅱ)依题意得g (x )=f (x -12π)-1=2sin(2x -3
π), 列表得：
描点
连线得g (x )在[0,π]内的大致图象. 【点睛】
本题主要考查三角函数的解析式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把
x ωϕ+看作是一个整体，由22
k x ππωϕ+≤+≤()322
k k Z ππ+∈求得函数的减区
间，222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式
先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
20．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.
（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天.）
【答案】（1）()300,
02002300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩；
()()2
1150100,0300200
g t t t =
-+≤≤；
（2）从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
【解析】（1）根据函数图象可知()f t 为分段函数，每一段均为依次函数；()g t 为二次函数；由函数图象所过点即可求得函数解析式；
（2）令()()()h t f t g t =-，得到函数解析式，纯收益最大即为()h t 最大；分别在
0200t ≤≤和200300t <≤两种情况下，结合二次函数性质确定最大值点和最大值，
综合可得最终结论. 【详解】
（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为()300,
02002300,200300
t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩
由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为()()2
1150100,0300200
g t t t =
-+≤≤ （2）设t 时刻的纯收益为()h t ，则()()()h t f t g t =-
即()2211175,020020022
171025,200300200
22t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨
⎪-+-<≤⎪⎩ 当0200t ≤≤时，配方得到()()2
150100200
h t t =-
-+
∴当50t =时，()h t 取得区间[]0,200上的最大值为()50100h =；
当200300t <≤时，配方整理得到：()()2
1350100200
h t t =-
-+ ∴当300t =时，()h t 取得区间(]200,300上的最大值为()30087.5h =
综上所述，()h t 在区间[]0,300上的最大值为100，此时50t = 即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 【点睛】
本题考查根据函数图象求函数解析式、利用函数模型求解实际问题，涉及到二次函数最值的求解问题；关键是能够准确的构造出函数模型，利用函数的思想来解决问题. 21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点
,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==，请求出x y 、的关系式，并记()y f x =
（1）求函数()y f x =的表达式；
（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围． （参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）
【答案】（1）()41x y f x x ==
-，1(1)3x ≤≤；（2）11
[,]43
k ∈ 【解析】（1）利用,AB AC 表示AM 可知11
44
AM AB AC =+；由,,P Q M 三点共线
可知()1AM AP AQ λλ=+-，由此得到()1AM xAB yAC λλ=+-，从而构造方程消掉变量λ即可得到所求函数表达式；
（2）设21S =，则1S xy =，由（1）中结论可表示为关于x 的函数；利用1
2
S k S =
，结合换元法可将问题转化为对号函数值域的求解问题，通过参数t 的范围，结合对号函数单调性可确定最值，进而得到所求范围. 【详解】
（1）D Q 为BC 的中点，M 为AD 的中点
∴11111
122224
4AM AD AB AC AB AC ⎛⎫=
=+=+ ⎪⎝⎭ 又
,,P Q M 三点共线 ()()11AM AP AQ xAB yAC λλλλ∴=+-=+-，
故()141
14x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，消去λ得：
11144x y += 当Q 与C 重合时，1y =，此时1
3
x =
()41x y f x x ∴==
-113x ⎛≤≤⎫
⎪⎝⎭
（2）设ABC ∆的面积为21S =
则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-1
13x ⎛≤≤⎫ ⎪⎝
⎭ 令41t x =-，则1,33t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
()2
111116216t S t t t +⎛⎫∴==++ ⎪⎝⎭
1211216S k t S t ⎛⎫∴=
=++ ⎪⎝⎭，1,33t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
当1t =时，min 14k =；当13t =或3时，max
13k = 11,43k ⎡⎤
∴∈⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用、函数解析式和值域的求解问题；涉及到平面向量基本定理的应用、对号函数的性质的应用等知识；易错点是在求解函数解析式时，忽略自变量的范围限制，造成求解错误.
22．定义在R 上的函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>≤≤
⎪⎝
⎭
，若已知其在()0,7x π∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时函数取得最大值为3；当6x π=，函数取得最小值为3-．
（1）求出此函数的解析式；
（2）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的
1
3
得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数
()lg ()g x y e h x =+的最大值为e ，求满足条件的0ϕ的最小值；
（3）是否存在实数m ，满足不等式
()()
sin sin A A ϕϕ>？若存在，求出m 的范围（或
值），若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()133sin 510f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭；（2）10π；（3）存在，1,22m ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
【解析】（1）利用最大值和最小值确定A 和T ，进而得到ω；利用()3f π=可求得ϕ
的取值，进而得到所求函数解析式；
（2）由图象平移和伸缩变换原则得到()(),g x h x ，由x
y e =与函数lg y x =的单调性
可知只有当()1g x =，()1h x =同时取得时，函数取最大值，由此可得到010k ϕπ=，根据00ϕ>得到最终结果；
（3）由偶次根式被开方数大于等于零可确定m 的范围，进而得到两角整体所处范围，
>. 【详解】 （1）
()()max 3f x f π==，()()min 63f x f π==-
3A ∴=，()22610T π
πππω
=
=⨯-= 15
ω∴=
()3sin 35f ππϕ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
252k ππϕπ∴+=+，k Z ∈
解得：3210k πϕπ=+
，k Z ∈，又02πϕ≤≤ 310
π
ϕ∴=
()1
33sin 5
10f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭
（2）由题意知：()13sin 510g x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，()01
31sin 5105h x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ 函数x
y e =与函数lg y x =均为单调增函数，且()11g x -≤≤，()01h x <≤
∴当且仅当()13sin 1510g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭与()01
31sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++=
⎪⎝
⎭同时取得才有函数的最大值为e
由()1
3sin 15
10g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得：1321025x k πππ+
=+，k Z ∈ 又()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++=
⎪⎝⎭ 01c o s 15ϕ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
010k ϕπ∴=，k Z ∈ 又00ϕ> 0ϕ∴的最小值为10π
（3）m 满足22
230
40
m m m ⎧-++≥⎨-+≥⎩，解得：12m -≤≤ ()2
223144m m m -+=--++≤ 02∴≤≤
同理02≤
1
5ω=，310
πϕ=
323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎣∴⎥⎦，323,10510ππϕ⎡⎤
∈+⎢⎥⎣⎦
由（1）知函数在[]4,ππ-上递增
若有()()
sin
sin A A ϕϕ>
>，即1
2
m >
成立即可
∴存在1,22m ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，使()()
sin sin A A ϕϕ>成立
【点睛】
本题考查三角函数与函数部分知识的综合应用问题，涉及到根据函数性质求解函数解析式、三角函数的平移和伸缩变换、根据函数最值求解参数值、利用单调性求解函数不等式的问题；本题综合性较强，属于较难题.。