福建省 高三数 3月质量检查试题 理(扫描版)

高三数学3月质量检查试题理（扫描版）
2012年福州市高中毕业班质量检查 数学（理科）试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1. A
2. B
3. D
4. D
5. C
6. A
7. C
8. D
9. B 10. C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 11．
30x y += 13. 1
8 14. ①②③ 15. 3、6、3
三、解答题（本大题共6小题，共80分．) 16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知得12n n a a +=，所以
1
2n n
a a += 又12a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ············ 3分 所以1*122()n n n a a n -=⋅=∈N ． ····················· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n a =，所以2log ,n n
b a n == ··········· 7分 所以
11111
(1)1
n n b b n n n n +==-⋅⋅++, ··················· 10分 所以1111111
11223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1111
n
n n =-
=
++. ······················· 13分 17．(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，(4,0.5)X
B ， ··· 1分
∴4
0411(0)216P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭，4
1411(1)24
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 42413(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，4
3411(3)24
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 4
44
11(4)216
P X C ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭， ···················· 6分
X ∴的分布列为
········· 7分
（Ⅱ）Y 的所有可能取值为3，4，则 ·················· 8分
1
(3)(3)4P Y P X ====
， ······················ 9分 3
(4)1(3)4P Y P Y ==-==， ···················· 11分
Y ∴的期望值1315
()34444E Y =⨯+⨯=.
答：Y 的期望值()E Y 等于15
4. ···················· 13分
18．(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）依题意，得1b =． ····················· 1分
∵c e a =
=2221a c b -==，∴2
4a =． ·············· 3分 ∴椭圆的标准方程为2
214
x y +=． ··················· 4分
（Ⅱ）（法一）
证明：设()00,P x y ，00x ≠，
则0(0,)Q y ，且2
20014
x y +=． ∵M 为线段PQ 中点， ∴00,2x M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
． ················ 5分
又()0,1A ，∴直线AM 的方程为00
2(1)
1y y x x -=
+． 000,1,x y ≠∴≠
令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
． ···················· 8分
又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，∴0
0,12(1)x N y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． ········· 9分
∴00
00,122(1)x x NM y y ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭
． ···················
10分 ∴22
200000000000(1)222(1)44(1)
x x x x x OM NM y y y y y y ⎛⎫⋅=-+⋅+=
-++ ⎪--⎝⎭ =222
0000000()1(1)044(1)
x x y y y y y +-+=-++=-． ········ 12分 ∴OM MN ⊥． ··························· 13分
（法二）同（法一）得： 00,2x M y ⎛⎫
⎪⎝⎭，00,12(1)x N y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭． ········· 9分
当00y =时，02x =，
此时()()()2,0,1,0,1,1P M N -，
∴0OM k =，MN k 不存在，∴OM MN ⊥．
······ 10分
当00y ≠时，00
0022
OM y y k x x =
=， ()()
()2000
00000000002111221221MN
y y y x k x x x y x y y y y -------====---，
∵1OM MN k k ⋅=-，∴OM MN ⊥ ···················· 12分 综上得OM MN ⊥． ························· 13分 19．(本小题满分14分) （Ⅰ）证明：
∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，
∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥， ····················· 1分 ∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥． ∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，
且PO ⊂平面PEF ，
∴ PO ⊥平面ABFED , ······················ 2分 ∵ BD ⊂平面ABFED ，
∴ PO BD ⊥. ··························· 3分 ∵ AO
PO O =，
∴ BD ⊥平面POA . ························ 4分 （Ⅱ）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -. ·········· 5分 （ⅰ）设.AO BD H =
因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形， 故4BD =
，2,HB HC ==又设PO x =
，则OH x =
，OA x =. 所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x
，,2,0)B x ，
故
,2,)PB OB OP x x =-=-， ·················· 6分
所以(2PB
=
当
x =
min PB =此时PO =OH =
·········· 7分 由（Ⅰ）知，
PO ⊥平面,BFED
所以221142)333P BFED BFED V S PO -=⋅⋅=⋅四棱锥梯形. ·····
8分 （ⅱ）设点Q 的坐标为(),0,a
c ，
由（i
）知，OP
A
，B ，
2,0)D -，P . 所
以
(
)3
,0,
A
Q a c =
-，()
QP a c =-， ··························· 9分
∵AQ=QP λ，
∴,a a c c
λλ⎧--⎪⎨=-⎪⎩
⇒a c ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
．
∴
Q ， ∴3(OQ =． (10)
分 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PB n BD ⋅=⋅
=．
∵(
3,2,PB =
，()0,4,0BD =-，∴20,
40y y +=-=⎪⎩
，
取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n =. ············· 11分 设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ，
∴sin cos ,OQ n OQ n OQ n
θ
⋅=<>===⋅
== ········ 12分 又∵0λ>∴sin θ>
． ······················· 13分 ∵[0,]2
πθ∈，∴4π
θ>．
因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于4
π
，即结论成立． ········ 14分 20.（本小题满分13
分）
解：（Ⅰ）由已知可得ABC △为等边三角形. 因为CD AD ⊥，所以水下电缆的最短线路为CD .
过D 作DE AB
⊥于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ······· 3分
又1,2CD DE AB ==
=， 故该方案的总费用为
14220.5⨯+⨯
5=+ …………6分
（Ⅱ）因为0,3DCE πθθ⎛
⎫∠=≤≤ ⎪⎝
⎭
所以
1
,tan ,tan cos CE EB ED AE θθθ
====.
·············· 7分 则
)
113sin 42tan 22cos cos cos y θ
θθθ
θ
-=
⨯+⨯+⨯=⨯
+
········ 9分
令()3sin ,cos g θ
θθ
-=则()()()222cos 3sin sin 3sin 1cos cos g θθθθθθθ-----'=
= ， ···· 10分 因为03
πθ≤≤
，所以0sin θ≤≤
， 记001sin ,(0,),33
π
θθ=∈
当1
0sin 3
θ≤<，即0≤0θθ<时，()0g θ'<，
当1sin 3θ<≤
0θ<θ≤3
π
时， ()0g θ'>， 所以(
)0min
1
3()g g θθ-
==
=
y ≥， ·········· 12分
此时0tan ED θ==
，
因此施工总费用的最小值为（
）万元，其中ED =··· 13分 21．（本小题满分7分） 选修4-2，矩阵与变换
解：方程组可写为312423x y ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ················· 2分
系数行列式为32412⨯-⨯=，方程组有唯一解.
利用矩阵求逆公式得1
1131242322-⎛
⎫- ⎪
⎛⎫=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
- ⎪⎝⎭
， ··············· 5分 因此原方程组的解为111222331222x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1,2
1.2
x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ ········ 7分
（2）（本小题满分7分） 选修4-4：坐标系与参数方程 解：∵直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=，
∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=， ················ 2分
又圆C 的普通方程为222(1)(1)x y r -+-=，
所以圆心为(1,1)，半径为r . ···················· 4分 因为圆心到直线l
的距离d =
， ··············· 6分 又因为直线l 与圆C
相切，所以r =
. ················ 7分 （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
（法一）解：∵ a ，b ，R c ∈，2221a b c ++=,
∴ 22222222()(111)()(111)3a b c a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅≤++++=. ······ 5分
当且仅当a b c ===
时，a b c ++ ··········· 7分 （法二）解：∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥ ∴ 2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++
222222222()()()a b c a b b c a c ≤+++++++++ ············· 3分
∵ 2221a b c ++=,
∴2()3a b c ++≤，当且仅当a b c ===
时等号成立， ·········· 6分
∴a b c ++ ······················ 7分。