二项式定理十大典型例题配套练习

精锐
1
n n n n +1) n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
1. 二项式定理：
，
2. 基本概念：
(a + b )n = C 0a n + C 1a n -1
b +
+ C r a n -r b r
+
+ C n b n (n ∈ N * )
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。

r +1 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 (r = 0,1C , r 2,⋅⋅⋅, n ) (r b a n
④通项： 展开式中的第项叫做二项式展开式的 T C =r r a C +nr -1a r b nr -r b r 通项。

用表示。

3. 注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。

r +1 n n
(n +1) ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。

与是不同 (b r +
b a +a 1)n 的。

③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。

的指数从
b 0n a 逐项减到，是升幂排列。

各项的次数和等于. ④系数： 注意正确区分二项式系数与项的 C 0 , C 1 , C 2 , ⋅b a ⋅⋅, C r ,⋅⋅⋅, C n . 系数， 二项式系数依次是项的系数
是与的系数（包括二项式系数）。

4. 常用的结论：
令 令 5. 性质：
(1+ x )n = C 0 + C 1x + C 2a x 2=+1,b =+ C x ,r x r ++ C n x n (n ∈ N *) (1- x )n = C 0 - C 1x + C 2x 2a -=1,+b C = r -x x r ,++ (-1)n C n x n
(n ∈ N *) ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的 C C k 0 ==C C kn
-1
两个二项式系数相等，即，···
nn
nn
②二项式系数和：令,则二项式系数的C 0 + C 1 + C 2 +a = +b C = r 1+ + C n = 2
n
和为， 变形式。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二
项式系数和：
C 1 + C 2 ++ C r ++ C n = 2n -1
C 0 - C 1 + C 2 - C 3a +=1, b + =(--11)n C n = (1-1)n = 0 在二项式定理中，令，则， C 0 + C 2 + C 4 ⋅⋅⋅ +C 2r + ⋅⋅⋅ = C 1 + C 3 ++ C 2r +1 + ⋅⋅⋅ = 1
⨯ 2n = 2n -1
从而得到：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
n n n n n n n
2
(a + x )n = C 0a n x 0 + C 1a n -1x + C 2a n -2 x 2 ++ C n a 0 x n = a + a x 1 + a x 2 +
+ a x n
n
n n
n
1 2
n
(x + a )n
= C 0a 0
x n
+ C 1
ax
n -1
+ C 2a 2 x
n -2
++ C n a n x 0
= a x n
++ a x 2
+ a x 1
+ a
⑤ 二 项 式 系
n n
n n n n n 2 1 0 令x = 1, 则a + a + a + a
+ a = (a +
C 12)n - - - - - - - - - ① 数 的 最 大
0 1 2 3 n
n
项 ： 如 果 二令x = -1,则a - a + a - a +
+ a = (a -1)n - - - - - - - -②
项 式 的 幂 指
1
2
3
n
(a +1)n + (a -1)n 数 是 偶 数① + ②得, a 0 + a 2 + a 4
+ a n = 时 ， 则 中 间
一 项 的 二 项① - ②得, a 1 + a 3 + a 5 + a n =
式 系 数 取 得最大值。

2
(a +1)n - (a -1)n
2
(奇数项的系数和)
(偶数项的系数和) 如果二项式的幂指数是奇数
n n +-1 时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。

C n
2
n n n n n n n n n n n n n nn ⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用 (a + bx )n
待定系数法。

设展开式中各项系数分别
为，设第项系数最大，应有，从而解出来。

T A ⎧1,A A =r 2C
,+⋅≥r ⋅1a ⋅,A n A -r b + r r ⎨
+1 r +1 n r n 1
⎩ A r +1 ≥ A r +2
专题一
题型一：二项式定理的逆用； 例：
解：与已知的有一些差距， C 1 + C 2 ⋅ 6 + C 3 ⋅ 62 ++ C n ⋅
6n -1 = . (1+ 6)n = C 0 + C 1 ⋅ 6 + C 2 ⋅ 62 + C 3 ⋅ 63 ++ C n ⋅ 6n ∴C 1 + C 2 ⋅ 6 + C 3 ⋅ 62 ++ C n ⋅ 6n -1 = 1
(C 1 ⋅ 6 + C 2 ⋅ 62 ++ C n ⋅ 6n )
n n n n
6 n
n n = 1 (C 0 + C 1 ⋅ 6 + C 2 ⋅ 62 ++ C n ⋅ 6n -1) = 1 [(1+ 6)n -1] = 1
(7n -1)
练： 6 n n C 1 + 3n C 2 + 9C 3 + n + 3n -1C n =6 . 6 解：设， 3S = C 13 + C 2 32 + C 333 +S + C = n C 31n +=3C (C 102
+++3C )9n C 13-3+1
+C 243+n 2-3+n 1-C 1C 33n 3 ++ C n 3n -1 = (1+ 3)n -1 n n n n 则 n ∴n S n = n n n n = n
n n n 3 3
题型二：利用通项公式求的系数； 例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求 含有的项的系数？ x
n
1
4x 353 ( 4 + 3 x 2 )n
x
解：由条件知，即，，解得，由 n =∴-n 9C 2(C 舍-n -2n 2去=-=)49或4505n ==010 ，由题 1-01 - r 22
-10-r + 2 r T = C r (-x 4 )10-r +(x 3 )r r ==3C , 解r x 得r
4 =36 意， r +1 10 4 3 10 T = C 62x 7130= 210x 3 则含有的项是第项,系数为。

练：求展开式中的系数？ 解：，令,则 T = C r (x 2 )9-r (- 6+1 10
(x 2 -x 9
1 )9 1 )r =18 -r r 3=18r 2-3x 2=r 9- 1 )r x -r = C r
(- 1)r x 18-3r r +1 9 C 9 x 9 ( 9 故的系数为。

题型三：利用通项公式求常数项；
2x C 3 (- 1x )3
= - 221 2 9
2 2
例：求二项式的展开式中的常数项？ (x 2 + 1 )10
解：，令，得，所以 8r 5=21 88x 45 1 20- 5 r T = C r (x T 2 )=102-C 0r (-( )r )==r 0= C r ( )r x 2
练：求二项式的展开式中的常数 r +1 10 9 10 2 1
6 25610 2 项？ 解：，令，得，所以 r 6-r T (2x 2- x ) 2x = r (6--1r 1)23=r C r 3=3 0= -20r r 6-r 1 r
6-2r
T r +1 = C 6 (2x ) (-4 1) n ( = ) 6= (.-1) C 6 2 ( ) x 练：若的二项展开式中第项为常数项，则 解：，令，得. T = 4
(x 22x +5 1 )n
x 22n n n --41=216=40 2 4 2n -12
题型四：利用通项公式，再讨论而确定
5 C n
(x ) ( ) x = C n x
n
- n n n n n n n ( + 1747
n 85的4的n 系数=n =C C 8 ((5 )) 22 7304,3,2 n 6 n 15 82 45 77
( + 0 1 2 3 n n 2x ) n = ( n ) (1
( 1 1 n -n 1
8
1)
有理数项； 例：求二项式展开式中的有理项？ 解：，令,()得， ( x - 3 x )9
1
r 2=07≤3-或r 1≤r =9 9 T = C r (x 2 )9-r (-x 3∈)r Z = (-1)r C r x
27-r 6
3 3 2
4 7 - r r = 34
时，，，
r +1
9
T 6
= (2
-71r )-3=C r 99 x 3 = -x 3 9
所以当
当时，，。

T 4 = (-1) C 9 x = -84=x 4
6
10 9= 3
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系 6
数和；
例：若展开式中偶数项系数和为，求. 解：设展开式中各项系数依次设为
( x 2
-2n 561 )n
a 0 ,2a 1,⋅3⋅⋅1x a 2 , n ( x - n )
,则有①，,则有② a - a + a 0 +- 令a 令1 x
+x =⋅⋅=3⋅-a 1x +12(=-10),n a = 2n , 将①-② 得： 有题意得，，。

练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。

∴2(a 11 + a 33 + a 55 +
⋅⋅⋅)==--22 , -2n -1 ∴= -n 2=569 = -28 1024 3 + 5 )n x x 2
解：，，解得 所以中间两个项分别
C 0 + C 2 + C 4 ⋅⋅⋅ +C 2r ∴+ ⋅2⋅n ⋅n -=1==C 11110+2C 4 3 ++ C 2r +1 + ⋅⋅⋅ = 2n -1 n 1= 6, n 1= 7- 61
T = C 5 (T 3 =)64( 562 ⋅ x )515= 462 ⋅ x -4
为，， 题型六：最大系数，最大项；
5+1 n 6+x 1 x 2
例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式
系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大 项的系数是多少？
1 765 2x )n
2
解：解出，当时，展开式中二项式
系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。

C ∴∴4T +T C 6 =n 2=C T n 75n 4,或和∴=T =741n 3n T 7412=1-1374424173n ==+3958 = 0, 22 2
练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项
式系数最大，即，也就是第项。

练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则
展开式中的常数项是多少？ 解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式 (a + b )2n
T 2n n 2+=n 1T n +1
+1
2
( x -51 )n
2 3 x
=C (+ ==
57 中常数项为第七项等于 2 2 练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小 解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项() 的二项式系数相等，且同时取得最大值，从
而有的系数最小，系数最大。

练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展
(a - b )7 的项？
T T 第==-4C 7,C 543项a a 3b 4b 43
1 79 2x )n
开式中系数最大的项？ 解：由解出,假设项最大， 2
( 1 C + 0 + C 12n 1T =+r +1C 1
122 1=2 79+,4x )12
2 2 ，化简
A 1 12 ⎧ r 9.4r ≤0∴≤r r ≤r -11≤=01T r .-2401 ⎧T r +=1 ≥( A )r C 10 ⎪4C 101x 2140 =≥1C 6182964x 101
得到，又，，展开式中系数最大的项为,有
∴⎨ 11 2 =12 ⎨ r r r +1 r +1
练：在的展开式中系数最大的项是多少？
(1+ 2x )10
⎩ A r +1 ≥ A r +2 ⎪⎩C 12 4 ≥ C 12 4
解：假设项最大，
T =T C r + r ⋅ 2r x r
r +1
10
n
5 4 5 5 5 5 5 5
5 5 5 3 3 4 4
3 4 3 4 3 4 ⎩ ⎩ ⎩
6 10 6 10 6 10 n n n 1 3 5 2005 r +1 25 5 4r 5+1
3
⎧ A ≥ A T ⎧⎪C =r C 26r 7.≥32∴07≤C ≤x r k r 7r -=1≤=≤2717r 1-5.013360x 7 .⎧2(11- r ) ≥ r ，化简得到，又，，展
∴⎨ r +1 r = ⎨8 10 10 10 解得⎨ ⎩ A ≥ A ⎪C r 2r ≥ C r +1 2r +1, ⎩r +1 ≥ 2(10 - r )
开式中系数最大的项为
题型七：含有三项变两项；
r +1 r +2 ⎩ 10 10
例：求当的展开式中的一次项的系数？
解法①：，，当且仅当时，的展开式中 才有 x 的一次项，此时，所以
得一次项为
(x 2
+ 3x
x + 2)5
(x 2T + 3x =+T C C 2r )=1(5C r x T C =24x =12[+(14x 2x 322)x 5++-r 2(3)4x +3)x 3r x ]5
C 1C 4 243 = 240
它的系数为。

解法②： 故展开 (x 2 + 3x + 2)5 = (x +1)5 (x + 2)5 = (C 0 x 5 + C 1x 4 + ⋅⋅⋅ + C 5 )(C 0 x 5 + C 1x 4 2 + ⋅⋅⋅ + C 5 25 ) C 4 xC 5 25
+ C x 4 x 24 = 240x 式中含的项为，故展开式中的系数为 240. 练：求式子的常数项？
解：，设第项为常数项，则，得,, .
r ∴T 1r ( x + 1 - 2)3 =66(--r 3-r 21=+x r )1133=C 03 = -2106 6r
6-2r T = C ( x (+-1)3+1-x 2) (= ( )r 6x = -(-1) C ) x
题型八：两个二项式相乘； r +1 6 x x x 例： 求(1+ 2x )3(1- x )4 展开式中x 2的系数.
解： (1+ 2x )3的展开式的通项是C m ⋅ (2x )m = C m ⋅
2m ⋅ x m , (1- x )4的展开式的通项是C n ⋅(-x )n = C n
⋅-1n ⋅ x n , 其中m = 0,1, 2,3, n = 0,1, 2, 3, 4,
的展开令式m +中n x =2的2,系则数m 等= 于0且C n 0 =⋅ 220,⋅m C 2=⋅1(且-1n )2=+1C , m 1 ⋅=212⋅且C 1n ⋅ (=-01,)因1 +此C (21⋅+222⋅x C )30(⋅1(-1x ))04 = -6 . 练： 求(1+ 3 x )6 (1+ 1
)10 展开式中的常数项.
解：
1 4 x m - n 4m -3n (1+ 3 x )6 (1+ )10 展开式的通项为C m x 3 ⋅ C n x 4 = C m ⋅ C n ⋅ x 1
2 4 x
6 10 ⎧m = 06, 1⎧0
m = 3, ⎧m = 6, 其中m = 0,1, 2,⋅⋅⋅, 6, n = 0,1, 2,⋅⋅⋅,10,当且仅当4m = 3n ,即⎨n = 0, 或⎨n = 4, 或⎨n = 8,
时得展开式中的常数项为C 0 ⋅ C 0 + C 3 ⋅ C 4 + C 6 ⋅ C 8
= 4246
.
练： 已知(1+ x + x 2
)(x + 1 )n 的展开式中没有常数项, n ∈ N *且2 ≤ n ≤ 8,则n = . 解：
(x + 1 )n
x 3 C r ⋅ x n -r ⋅ x -3r = C r ⋅ x n -4r , 通项分别与前面的三项相乘可得 展开式的通项为 n n
题型九：奇数项
x C r ⋅ x n -4r , C r ⋅ x n -4r +1, C r ⋅ x n -4r +2
, 展开式中不含常数项, 2 ≤ n ≤ 8
∴n ≠ 4r 且n ≠ 4r +1且n ≠ 4r + 2，即n ≠ 4,8且n ≠ 3, 7且n ≠ 2, 6,∴n = 5.
的系数和与偶数项的系数和；
例： 在(x - 2)2006的二项展开式中, 含x 的奇次幂的项之和为S ,当x = 2时, S = .
解： 设(x - 2)2006 =a + a x 1 + a x 2 + a x 3 ++ a x
2006---------- ① (-x - 2)2006 =a 0 1 2 3
2006
- a x 1 + a x 2 - a x 3 +
+ a
x 2006 --------- ②
0 1 2 3
2006
① - ②得2(a x + a x 3 + a x 5
+
+ a x
2005
) = (x - 2)2006 - (x +
2)2006
∴(x - 2)2006
展开式的奇次幂项之和为S (x ) = 1 [(x - 2 2)2006 - (x + 3⨯2006
2)2006 ]
当x = 2时, S ( 2) = 1 [( 2 - 2)2006 - ( 2 + 2)2006
] = - 2 2
= -23008
2 2
6
⎭ 题型十：赋值法；
例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有
二项式系数的和为,若
(33
p s
1 x + )n
x
解：若，有，， p + s n = 272 3 1 S P n ==C a 0 + a ⋅⋅ ++C ⋅⋅n ⋅ += 2
a 2n ,则等于多少？ n
(3 x + ) = a 0n + a 1x + n a x n + ⋅⋅⋅ + a x 令得，又,即解得，. 练：若的展开式中各项系数之和 为，则展开式的常数项为多少？ 4n + 2n 2x =n =27126或p ⇒0∴+P 2x (s n n 2==1=n =41+2-4n 71272)((舍2n 去-)16) =n 0
⎛ 64 1 ⎫n
3 x - ⎪ x 解：令，则的展开式中各项系数之和为，所 ⎝ =n n
x -=541604 ⎭n C 3⎛(3 2x )3
⋅ (1- ⎫1 )3 以，则展开式的常数项为. 练： 6 3 x - ⎝ x ⎪ x a a a 若(1- 2x )2009 = a + a x 1 + a x 2 + a x 3 ++ a x 2009 (x ∈ R ),则 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2009
的值为 解： 0
1 1
2 a a
3 a 2009 a a 2 2a 2 22009 令x = ,可得a 0 + 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2009 = 0,∴ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2009 = -a 0 2 2 22 2200a 9 a 2 2a 2 22009
在令x = 0可得a 0 = 1,因而 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2009 = -1. 练： 若(x - 2)5 = a x 5 + a x 4 + a x 3 + a x 2 + a x 21 + a 22,则a +2a 200+9 a + a + a = .
解：
题型十一：整除性； 例：证明：能被 64 整除证：
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
令x = 0得a 0 = -32, 令x = 1得a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = -1,
32n +2 - 8n - 9(n ∈ N *)
32n +2 - 8n - 9 = 9n +1 - 8n - 9 = (8 +1)n +1 - 8n - 9
∴a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 31.
= C 0 8n +1 + C 1 8n + ⋅⋅⋅ + C n -182 + C n 81 + C n +1 - 8n - 9 n +1 n +1 n +1 n +1 n +1
= C 0 8n +1 +=C C 10 88n n ++1 ⋅+⋅⋅C +1C 8n -n 18+2⋅⋅+⋅ +8(C n n +-118)2+1- 8n - 9
n +1
nn ++11
n +1 n +1
n +1
1、(x －1)11
展开式中 x 的偶次项系数之和是
1、设 f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是 2 、 2 、 f (1) + f (-1) = (-2)11 / 2 = -1024 C 0 2+ 3C 1 + 32 C 2 ++ 3n C n =
2、4n
3 、的展开式中的有理项是展开 式 的 第 项 n
n
(3 5 +
n n
1
)20 5
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5
展开式中各项系数绝对值之和是
4 、(2x-1)
5 展开式中各项系数
新 疆
王新敞
奎屯
由于各项均能被 64 整除
∴32n +2 - 8n - 9(n ∈ N *)能被64整除
奎屯 奎屯 n n C 2 x 212 2 + C n
= +-C n x )2 + 2
+ C 2 + 2C n -1 + C n ) C 4 + (C 1 + C 3 2C n -1
+ C C 5 + + n n n n n n n 1⋅ (80 ) + 5x(32 = 240x
系数绝对值之和实为(2x+1)5 展开式系数之和，故令 x=1，则所求和为 35
5 、 求(1+x+x 2)(1-x)10
展开式
中x 4
的系数
5、,要得到含 x 4 的项，必须第一个因式中的 1 与(1-x)9 展开式中的项作积， 第一个因式中的－ x 3 与(1-x)9 展开式中的 项作积，故 x 4 的系数是
(1 +
新疆 新疆
x)9
6 、 求 (1+x)+(1+x)2
+…
+(1+x)10 展开式中 x 3
的系数 6、=，原式中 x 3 实为这分子
(1 +
王新敞 王奎新屯敞
)10 ]
中的 x 4
，则所求系数为
7、若展开式中，x 的系数为
21，问m 、n 为何值时，x 2
的系数最小？
新疆 王新新疆敞
11 时上式有最小值， 也就是m=11 和 n=10 ， 或 m=10 和n=11 时，x 2 的系数最小 8 、 自然数 n 为偶数时， 求证：
王新敞 新奎疆屯 王新敞
9 、求被 9 除的余 数 9、 , ∵ k ∈Z,∴9k- 1∈Z ，∴被 9 除余 8
8011 = (81 - 1) 80 1
奎屯 新疆
81k - 1(k ∈ Z )
10 、 在 (x 2
+3x+2)5
的 展 开 式 中，求 x 的系数 10、
在(x+1)5 展开式中，常数项为1 ， 含 x 的项为， 在(2+x)5 展开式中，常数项为 25=32，含x 的项为
王新新疆敞 屯敞 王新敞 展开式中 x 的系数为 240 11 、求(2x+1)12
展开式中系数最大的项
11 、设 T r+1 的系数最大， 则T r+1 的系数不小于 T r 与 T r+2 的系数，即有
新奎 疆屯 王奎新屯敞奎屯
∴展开式中含 x 的项为 ，此 (C 0 + C 1 + C 2
8、原式= 为，则因 n ∈N ，故当 n=10 或 7、由条件得 m+n=21，x 2 的项
1
+ 2n -1 = 3.2n -1
⎛C r 212-r ≥ C r -1 213-r C 2 ≥ C 12 12 r 12-r r +1 ⇒111-r 1 12 ⇒ ⎨ ⎧C r 12 ≥ 2C r -1 12 ∴ 展开式中系数最大项为第 5 项，T 5=
⎝ 12 3 136C 4 x 4
=
37920x 4 ≤12r ≤ 4 , ∴ r = 4 ⎩ 12 C 12
2C ≥ r r +1
12。