山东省淄博六中2010届高三上学期期末考试(数学)

2009-2010学年度第一学期第二次模块考试
高三数学试题（文理通用）
第Ⅰ卷 （选择题）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

）
（1）设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U C S T
⋃等于（ ）
A ．∅
B ．{2,4,7,8}
C ．{1,3,5,6}
D ．{2,4,6,8}
（2）不等式
11
2
x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞
（3）为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图象，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图象上
的所有点（ ）
A ．向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）
B ．向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）
C ．向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D ．向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（4）“3x >”是2
4x >“的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
（5）若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
（6）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A B ．13π C ．2
3
π D
（7）直线1x y +=与圆2
2
20(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是
A ．1)
B ．1)
C ．(1)
D ．1) （8）对于函数()sin 1
(0)sin x f x x x
π+=
<<，下列结论正确的是（ ）
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
（9）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量
,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6y x π
=+
B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π
=+
D ．sin(2)3
y x π
=-
（10）如果实数x y 、满足条件10
1010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3-
（11）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
B ．111A B
C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
（12）理：在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰．．三角形的概率为（ ）
A ．
17 B ．27 C ．37 D ．4
7
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相
应位置。

（13）（理科：）设常数0a >，4
2ax x ⎛ ⎪⎝⎭展开式中3
x 的系数为32，则a ＝_____。

（14）在A B C D 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

（用a b 、表示）
（15）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=
，若()15,f =-则()()5f f =__________。

（16）平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧， 已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶 点到平面α的距离可能是：
①1； ②2； ③3； ④4； 以上结论正确的为______________。

（写出所有正确结论的编号．．）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分12分）已知4
0,sin 25
παα<<=
（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2αα
αα
++的值；
（Ⅱ）求5tan()4
π
α-的值。

（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； （Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；
（19）（本大题满分12分）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。

（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；
（Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。

A
B
C
D
第16题图
α
（20）（本大题满分12分）设函数()3
2
()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

（21）（本大题满分12分）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件
242
,1,2,1
n n S n n S n +==+，
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记(0)n a
n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

（22）（本大题满分14分）如图，F 为双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点。

P 为双
曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。

已知四边形OFPM 为平行四边形，PF OF λ=。

（Ⅰ）写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式；
（Ⅱ）当1λ=时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 点，若12AB =，求此时
的双曲线方程。

A
B
C
D E
F
O P
第19题图
H
参考答案：
一：选择：
1、解：{1,3,5,6}S T ⋃=，则()U C S T ⋃＝{2,4,7,8}，故选B
2、解：由
112x <得：112022x x x
--=<，即(2)0x x -<，故选D 。

3、C
4、解：条件集是结论集的子集，所以选B 。

5、解：椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D 。

6、解：此正八面体是每个面的边长均为a
的正三角形，所以由8=知，1a =，
，故选A 。

7、解：由圆22
20(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。

8、解：令sin ,(0,1]t x t =∈，则函数()sin 1
(0)sin x f x x x
π+=<<的值域为函数
11,(0,1]y t t =+∈的值域，而1
1,(0,1]y t t
=+∈是一个减函减，故选B 。

9、解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移，平移后的图象所对应的解
析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262
πππ
ω+=
，所以2ω=，因此选C 。

10、解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。

11、解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐
角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
，那么，2222A B C π++=，
所以222A B C ∆是钝角三角形。

故选D 。

12、（理）解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得3
8C 个三角形，要得直角非等腰．．三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得38
24C ，所以选C 。

二：填空
13、（理）解：14822
14
r r r
r
r T C a
x
x
---+=，由18232
,2,r r
x
x
x r --==得4431=22
r r
C a -由知a=。

14、解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，1
2
AM a b =+，所以
3111
()()4244
MN a b a b a b =+-+=-+。

15、解：由()()12f x f x +=得()()
1
4()2f x f x f x +=
=+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()11
5(5)(1)(12)5
f f f f f =-=-=
=--+。

16、解：如图，B 、D 到平面α的距离为1、2，则D 、B 的中点
到平面α的距离为3
2
，所以C 到平面α的距离为3； B 、C 到平面α的距离为1、2，D 到平面α的距离为x ，则1221x x +=+=或，即1x =，所以D 到平面α的距离为1；
C 、
D 到平面α的距离为1、2，同理可得B 到平面α的距离为1；所以选①③。

三：解答题
17、解：(Ⅰ)由40,sin 25π
αα<<=，得3
cos 5
α=，所以22sin sin 2cos cos 2αααα++＝
22
sin 2sin cos 203cos 1
ααα
α+=-。

（Ⅱ）∵sin 4tan cos 3ααα==，∴5tan 11
tan()41tan 7
πααα--==+。

18、解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种
不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故2()15
P A =。

（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)，故22661113()1(
)15
P B C C =-+=。

19、解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形，
∵P 在平面ABC 内的射影为O ，∴PO ⊥平面ABF ，∴AO 为PA 在平面ABF 内的射影；∵O 为BF 中点，∴AO ⊥BF ，∴PA ⊥BF 。

（Ⅱ）∵PO ⊥平面ABF ，∴平面PBF ⊥平面ABC ；而O 为BF 中点，ABCDEF 是正六边形 ，∴A 、O 、D 共线，且直线AD ⊥BF ，则AD ⊥平面PBF ；又∵正六边形ABCDEF 的边长为1，∴12
AO =
，3
2
DO =
，2BO =。

过O 在平面POB 内作OH ⊥PB 于H ，连AH 、DH ，则AH ⊥PB ，DH ⊥PB ，所以AHD ∠为所求二面
角平面角。

在AHO 中，
OH=4
1
tan 4
AO
AHO OH ∠==
=
3。

在DHO
中，3
tan DO
DHO OH ∠===
tan tan()3AHD AHO DHO +∠=∠+∠==- （Ⅱ）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，1
2
-,0)，
B(2，0,0)，
D(0,2，0)，∴1
(0,,1)2
PA =-
-，3(1)2PB =-，(0,2,1)PD =-
设平面PAB 的法向量为111(,,1)n x y =，则1n PA ⊥，1n PB
⊥，得11
1
102
10
2
y x ⎧--=⎪⎪-=⎪⎩，
123(,2,1)3
n =-；
设平面PDB 的法向量为222(,,1)n x y =，则2n PD ⊥，2
n PB ⊥，得22210102
y x -=⎧-=⎩，
2231(,1)32
n =；
121212cos ,||||
n n
n n n n ⋅<>==⋅
20、证明（Ⅰ）∵()3
2
f x x bx cx =++，∴()2
32f x x bx c '=++。

从而
322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3
()
6g x x x =-，从而2(
)36g x x '=-，由此可知，
(,-∞
和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；
(
是函数()g x 是单调递减区间；
()g x
在x =
，()g x 在x =值为-。

21、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由
2421
n n S n S n +=+得：1
2
13a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1
211
122()42212
n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++⨯+++===
+++⨯＝2(1)
1n n a n a +++，所以n a n =。

（Ⅱ）由n a
n n b a p =，得n
n b np =。

所以23123(1)n n n T p p p n p np -=+++
+-+，
当1p =时，1
2
n n T +=； 当1p ≠时，
234123(1)n n n pT p p p n p np +=+++
+-+，
23
1
1
1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p
p np
np p
-++--=+++
++-=--
即11
,12(1),11n n
n n p T p p np p p
++⎧=⎪⎪
=⎨-⎪-≠⎪-⎩。

22、解：∵四边形OFPM 是，∴||||OF PM c ==，作双曲线的右准线交PM 于H ，则2||||2a PM PH c =+，又22
22222||||||
2222
PF OF c c e e a a PH c a e c c c c
λλλλ=====----，
220e e λ--=。

（Ⅱ）当1λ=时，2e =，2c a =，22
3b a =，双曲线为2222143x y a a
-=，设P 00(,)x y ，则
203||||2
a a x MP ON c c =-=-=
，0||2y MN ===，所以直线OP 的
斜率为3
，则直线AB
的方程为(2)3y x a =-，代入到双曲线方程得：22420290x ax a +-=，
又12AB =，
由AB =
1212a ==，
解得1a =，则2
3b =，所以2213
y x -=为所求。