2022年重庆郁山职业中学校高一数学文月考试题含解析

2021-2022学年重庆郁山职业中学校高一数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列{a n}，若，则{a n}的前7项的和是（）
A. 112
B. 51
C. 28
D. 18
参考答案：
C
由等差数列的通项公式结合题意有：，
求解关于首项、公差的方程组可得：，
则数列的前7项和为：.
本题选择C选项.
2. sin2010°的值等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
参考答案：
C
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】先利用诱导公式把sin2010°整理成sin，进而利用150°的正弦求得答案．
【解答】解：sin2010°=sin=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣．
故选：C．
3. 如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起使得平面BEFC⊥平面ADFE.若动点平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为（均不为0）.若，则动点P的轨迹围成的图形的面积为
（）A．B． C. D．
参考答案：
D
由题意，PE=BEcotθ1，PF=CFcotθ2，
∵BE=CF，θ1=θ2，
∴PE=PF．
以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，
设E（﹣，0），F（，0），P（x，y），则
（x+）2+y2=[（x﹣）2+y2]，
∴3x2+3y2+5ax+a2=0，即（x+a）2+y2=a2，轨迹为圆，面积为．
故答案选：D．
4. 在中，若角成公差大于零的等差数列，则的最大值为().
A. B. C.2 D.不存在
参考答案：
D
5. 如图，已知正三棱柱ABC- A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为（）cm．
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
参考答案：
B
【分析】
将三棱柱的侧面展开，得到棱柱的侧面展开图，利用矩形的对角线长，即可求解．
【详解】将正三棱柱沿侧棱展开两次，得到棱柱的侧面展开图，如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，
即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值，
由已知求得的长等于，宽等于，
由勾股定理得，故选B．
【点睛】本题主要考查了棱柱的结构特征，以及棱柱的侧面展开图的应用，着重考查了空间想象能力，以及转化思想的应用，属于基础题．
6. 设集合，，则等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
7. 设点M是棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BC C1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BC C1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是()
A. B. C. 2 D.
参考答案：
B
【分析】
以为原点，为轴为轴为轴，建立空间直角坐标系，计算三个平面的法向量，根据夹角相等得到关系式：，再利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】`以为原点，为轴为轴为轴，建立空间直角坐标系.
则
易知：平面的法向量为
平面的法向量为
设平面的法向量为：
则，取
平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等
或
看作平面的两条平行直线，到的距离.
根据点到直线的距离公式得，点到点的最短距离都是：
故答案为B
【点睛】本题考查了空间直角坐标系，二面角，最短距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8. 若，则
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
本题首先可以利用二倍角公式将转化为，即关于的函数，然后将转换为并化简，即可得出结果。

【详解】因为，
所以，故选A。

【点睛】本题考查三角函数的相关性质以及函数的相关性质，主要考查函数之间的转换以及二倍角公式，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。

9. 设，从到的四种对应方式如图，其中是从到的映射的是( )
A B
C D
参考答案：
C
略
10. 已知△ABC的一个内角为，并且三边的长构成一个公差为4的等差数列，则△ABC的面积为（）
A. 15
B.
C. 14
D. 参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （3分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b 的值为．
参考答案：
1
考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：函数的性质及应用．
分析：首先把函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）转化为顶点式g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，从而确定函数的对称轴方程x=1，又因为a＞0，所以x∈[1，+∞）为单调递增函数，函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，所以g（2）=1，g（3）=4，进一步建立方程组求的结果．
解答：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b转化为：
g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a
∴函数的对称轴方程x=1，
∵a＞0，
∴x∈[1，+∞）为单调递增函数
在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，
∴
即
解得
∴a+b=1
故答案为：1
点评：本题重点考查的知识点：二次函数的顶点式与一般式的互化，单调性在函数值中的应用，及相关的运算问题．
12. 已知指数函数在内是增函数，则实数
的取值范围
是 ．
参考答案：
a>1
略
13. 已知函数f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1有四个零点，则a 的取值范围是 ．
参考答案：
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到a 的范围． 【解答】解：由f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1=0， 得a ﹣1=﹣x 2+|x|， 作出
y=﹣x 2+|x|与
y=a ﹣1的图象，
要使函数f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1有四个零点， 则y=﹣x 2+|x|与y=a ﹣1的图象有四个不同的交点， 所以0＜a ﹣1＜， 解得：a ∈ 故答案为：
14. 函数
的定义域是
．
参考答案：
15. 已知中，点M 满足.若存在实数使得成立，
则 参考答案： 3
略
16. （5分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，3，4}，B={4，5}，则A∩（?U B ）= ．
参考答案：
{2，3}
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 欲求两个集合的交集，先得求集合C U B ，为了求集合C U B ，必须考虑全集U ，再根据补集的定义求解即可．
解答： ∵?U B={1，2，3}， ∴A∩（?U B ）={2，3}．
故填：{2，3}．
点评： 这是一个集合的常见题，本小题主要考查集合的简单运算．属于基础题之列． 17. 已知m ，n 表示两条不同的直线，，
表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题
的序号为 ▲ ． ① 若，，则； ② 若，，则； ③ 若
，
，则
； ④ 若
，
，则
．
参考答案：
②③
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ＝PC ，E 为PB 的中点．
（1）求证：PD∥平面AEC；
（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．
参考答案：
略
19. （12分）已知函数f（x）=（c为常数），1为函数f（x）的零点．（1）求c的值；
（2）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．
参考答案：
考点：函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据零点的定义，f（1）==0，从而可求出c=1；（2）先得到f（x）=，根据单调性的定义设x2＞x1＞﹣1，作差证明f（x2）＞f（x1）即可．解答：解：（1）1为f（x）的一个零点，∴f（1）=；
∴c=1；
（2）由（1）可知f（x）=；
证明：设任意x2＞x1＞﹣1，则：
=；
∵x2＞x1＞﹣1；
∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0；
∴；
∴f（x2）＞f（x1）；
所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．
点评：考查函数零点的定义，以及函数的单调性定义，根据单调性定义证明函数单调性的方法与过程．
20. （本小题满分12分）
已知集合
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围。

参考答案：
21. 直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】直线的一般式方程．
【分析】（1）通过讨论2﹣a是否为0，求出a的值即可；
（2）根据一次函数的性质判断a的范围即可．
【解答】解：（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等，
∴a=2，方程即3x+y=0；（2分）
若a≠2，则=a﹣2，即a+1=1，
∴a=0即方程为x+y+2=0，
∴a的值为0或2．（6分）
（2）∵过原点时，y=﹣3x经过第二象限不合题意，
∴直线不过原点（10分）
∴a≤﹣1．（12分）
【点评】本题考查了直线方程问题，考查分类讨论，是一道基础题．
22. 已知，, 且
(1) 求函数的解析式;
(2) 当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的x的值. 参考答案：
（1）函数的最小正周期π
（2）,此时,.
(1)
即——4分(2)
——6分
由,,,
,——8分
, 此时,. ——10分。