抛物线

α
︒
π
O
k
抛物线
（一）定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F 的距离与到定直线
l 的距离之比是常数
e
（
e=1）。

（二）图形：
（三）性质：方程：-->=p p px y
),0(,22
；
焦点： )0,2
(
p ，通径p AB 2=； 准线： 2
p x -=；
注意：px y 22
=上的动点设为P ),2(2
y p
y 、或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2
=其中
抛物线中的常用结论
①过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的弦AB 长的最小值为2p
②设A(x 1，y1)， 1B(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px 上的两点， 则AB 过F 的充要条件是y 1y 2＝－p 2
③设A ， B 是抛物线y 2＝2px 上的两点，O 为原点， 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p ，0)
④圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 直线和圆的方程
1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2
tan ()k παα=≠
(如右图)：
3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线
方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为
1121
21
y y x x y y x x ----=
,它不包括垂直于坐标
轴的直线. ⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为
1x y a
b
+
=,它不
包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.
提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)⑵直线两截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)； ⑵相交⇔12210A B A B -≠；(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.
5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.
6.夹角公式：1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角2
,(0,]π
θθ∈且2112
121tan |
|(1)k k k k k k θ-+=≠-.
7.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式002
2
Ax By C
d A B
++=
+；
两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是122
2
C C d A B
-=+.
8. ⑴圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=.
⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.
特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为
2
2
(,)D E -
-
,半径为
2
2
142
D
E
F
+-的圆(二元二次方程220Ax Bxy C y D x Ey F +++++=表
示圆0A C ⇔=≠,且2
2
0,40B D E AF =+->).
9.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程
2
2
2
()()x a y b r -+-=. ①2
2
2
00()()x a y b r -+->⇔点P 在圆外；
②22200()()x a y b r -+-<⇔点P 在圆内；③22200()()x a y b r -+-=⇔点P 在圆上. 10.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >⇔相离 ②d r =⇔相切 ③d r <⇔相交
11. 圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为,r R ：d R r >+⇔两圆相离；d R r =+⇔两圆相外切； ||R r d R r -<<+⇔两圆相交；||d R r =-⇔两圆相内切； ||d R r <-⇔两圆内含；
0d =⇔两圆同心.
12. 过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程.
13. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,割线定理、弦切角定理等等). 直线与圆锥曲线的位置关系：
直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离
1、已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则A B P ∆的面积为
2、圆C 与圆x 2+（y-3）2
=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为
3、已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB
的中点到y 轴的距离为
4、设M （0x ，0y ）为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM
为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是
5、过原点的直线与圆0342
2=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直
线的方程是 6、过抛物线()02
>=a ax
y
的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线
段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q
p 11+等于
7、已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆
C 的方程为
8、设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0
，
则FA FB FC ++=
9、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为
10、已知F 是抛物线2
4C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为
(22)M ，，则A B F △的面积等于 ．
11、已知直线y=k(x+2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2
=8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )
12、已知AC,BD 为圆O:x 2+y 2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1, 2
),则四边
形ABCD 的面积的最大值为_____________.
13、已知抛物线C ：y 2=2px （p>0）的准线l ，过M （1,0）且斜率为3的直线与l 相交于
A ，与C 的一个交点为
B ，若AF M B =
，则
p=_________
14、抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是
15、在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切．
（1）求圆O 的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求
P A P B
的取值范围．
16、已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).A F F B λλ=>
过
A 、
B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（I ）证明FM AB
为定值；
（II ）设A B M ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。